第二单元长方体（一）（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年五年级数学下册培优讲练测（北师大版）
文档属性
| 名称 | 第二单元长方体（一）（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年五年级数学下册培优讲练测（北师大版） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 764.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-03 00:00:00 | ||
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文档简介
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第二单元长方体（一）（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、长方体的6个面有时不都是长方形。
2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3.、在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。
4、长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。
5、判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。
6、正方体的棱长扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。
7、用几个相同的正方体拼成一个长方体后，有几个接合处，表面积就减少（接合处的个数×2）个面的面积。
8、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
9、相同个数的小正方体摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。
高频易错题
一、选择题
1．如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（ ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米）
A．96 B．82 C．102 D．116
2．为了庆祝“八一”建军节，工作人员正在制作一些灯笼。用一根长铁丝制作一个棱长为8dm的正方体灯笼框架（铁丝无剩余），如果用同样长的铁丝制作一个长方体灯笼框架（铁丝无剩余），长和宽都为6dm，那么这个长方体灯笼框架的高为（ ）。
A．12dm B．16cm C．48dm D．2dm
3．下列四个平面图形中，不能折叠成长方体或正方体的是（ ）。
A． B．
C． D．
4．把一个长、宽、高分别是3m、2m、4m的长方体切成两个小长方体，两个小长方体表面积之和比原来长方体的表面积最多增加（ ）m2。
A．16 B．24 C．12 D．36
5．一个长方体木块的表面积是96cm2，下面是面积为12cm2的正方形，在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体上面各边的中点，这个组合体的表面积是（ ）cm2。
A．120 B．126 C．108 D．132
6．如图，4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（ ）平方厘米。
A．90 B．900 C．360 D．3600
7．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（ ）。
A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号
二、填空题
8．用彩带捆扎一种礼盒（如图），接头处要用掉彩带25cm，那么捆扎这个礼盒至少需要( )cm的彩带。
9．哪几个面可以围成下面的长方体？（单位：cm，填序号）
围成长方体的面是( )。其中前面可以是( )，右面可以是( )，上面可以是( )。
10．如下图所示的是一个正方体的展开图。已知相对的面上两个数字的和是10，那么A代表数字( )，B代表数字( )，C代表数字( )。
11．学校发了新书，笑笑要在它的外面（三个面）粘上一层书皮，分别是正面、背面、左侧面（如图），包装这本数学书，至少需要( )平方厘米的书皮。
12．做一个无盖的长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。
(1)用上面的( )号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号）
(2)做好这个鱼缸，至少需要( )平方分米的玻璃。
13．一大正方体由若干个棱长为1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体有24个，大正方体的表面积是( )平方厘米。
14．下图是由棱长2厘米的正方体木块堆成的形体。
(1)它的表面积是( )平方厘米；
(2)至少再堆上( )个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。
三、判断题
15．把一个长20cm，宽10cm，高15cm的长方体木块锯成两个体积相等的小长方体，表面积最多增加300。( )
16．下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。( )
17．已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的4倍，王叔叔给小正方体表面涂防锈油正好用了1罐，那么要给大正方体表面涂防锈油，需要准备8罐。( )
18．用4根8cm的小棒，6根5cm的小棒和2根6cm的小棒可以搭成长方体框架。( )
四、计算题
19．下面是一个长方体的展开图，求它的表面积。
五、作图题
20．试着把下列图形补充完整，使补充后的图形能折成长方体或正方体。
六、解答题
21．四川成都自古被誉为“天府之国”，又是熊猫的故乡。商店准备为熊猫玩偶专门制作售卖柜台。柜台长0.9米，宽0.4米，高1.8米。需要先用角铁做一个长方体框架再安装其他部件，制作这个售卖柜台至少需要多少米的角铁？
22．在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米）
23．如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。
24．乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计）
25．在下面的长方体展开图上，先把相对的面涂上相同的颜色，再标出每个面的长和宽。（单位：厘米）
说一说，如何得到这个长方体的表面积？
26．用硬纸板做一个鞋盒，鞋盒分为盒体和盒盖。盒体长33厘米、宽20厘米、高12厘米，盒盖的长和宽分别比盒体的长和宽长1厘米，盒盖的高是3厘米（如下图）。制作这个鞋盒至少需要多少平方厘米硬纸板？
27．某超市的仓库里有6个棱长为20cm的正方形纸箱，如下图。
（1）一共有（ ）个面露在外面。
（2）李阿姨想给露在外面的面贴上防潮膜，她至少要买多少平方厘米的防潮膜？
（3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？
参考答案
1．C
【分析】丝带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处长度。
【详解】15×2＋10×2＋8×4＋20
＝30＋20＋32＋20
＝102（厘米）
至少需要102厘米长的丝带。
2．A
【分析】已知用一根长铁丝制作一个棱长为8dm的正方体灯笼框架，那么铁丝的全长等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出铁丝的全长；
如果用同样长的铁丝制作一个长方体灯笼框架，长和宽都为6dm，那么铁丝的全长等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的高＝（棱长总和÷4）－长－宽，代入数据计算，求出这个长方体灯笼框架的高。
【详解】8×12＝96（dm）
96÷4－6－6
＝24－6－6
＝12（dm）
这个长方体灯笼框架的高为12dm。
故答案为：A
3．A
【分析】正方体展开是完全相同的六个面，正方体展开图有如下类型：
长方体展开后的类型也符合上述规律，只不过只有相对的面的大小形状一样。
【详解】
A．，不能折叠成任何长方体或正方体，因为它上下两个面应该是长方形，而不是正方形。
B．符合“1－3－2”型。
C． 符合“1－4－1”型。
D．符合“1－4－1”型。
4．B
【分析】通过实际操作可知有三种切法分别增加两个长×宽的面、长×高的面、宽×高的面，要使表面积增加的最多，则增加的两个面是原长方体中最大的面。先分别计算三种情况下增加的表面积，再比较即可判断。
【详解】①4×3×2＝24（m2）；
②2×4×2＝16（m2）；
③3×2×2＝12（m2）；
24＞16＞12，即最多增加24m2。
故答案为：B
5．A
【分析】因为正方体的四个顶点正好落在长方体上面各边的中点，如图，连接对边的中点，把正方形分成相等的8份，正方体的一个面正好占4份，即正方体一个面的面积是长方体底面面积的一半。据此先求出正方体一个面的面积；再根据组合体的表面积等于长方体的表面积加上正方体4个面的面积，求出组合体的表面积。
【详解】12÷2＝6（cm2）
96＋6×4
＝96＋24
＝120（cm2）
6．B
【分析】从前面看有3个正方形，从上面看有3个正方形，从右面看有3个正方形，正方形面积＝边长×边长，1个正方形面积×露在外面的个数＝露在外面的面积。
【详解】10×10×（3×3）
＝100×9
＝900（平方厘米）
露在外面的面积是900平方厘米。
7．A
【分析】观察取出一块小正方体后增加小正方体面的个数，增加面的个数最多时，增加的表面积最大。由此判断。
【详解】A．取走①号后减少了小正方体1个面的面积，增加了上下左右后5个小正方体面的面积，相当于增加了4个小正方体面的面积。
B．取走②号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上右后3个小正方体面的面积，相当于没变。
C．取走③号后减少了小正方体2个面的面积，增加了上左右后4个小正方体面的面积，相当于增加了2个小正方体面的面积。
D．取走④号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上下左右后3个小正方体面的面积，相当于没变。
所以取走①号后剩下的表面积最大。
故答案为：A
8．107
【分析】观察图形可知，彩带的长度是由2条长、2条宽、4条高及接头处长度的和组成。据此解答。
【详解】10×2＋15×2＋8×4＋25
＝20＋30＋32＋25
＝50＋32＋25
＝82＋25
＝107（cm）
9． ①②④⑤⑥⑦ ②或⑦ ①或④ ⑤或⑥
【分析】根据长方体的特征，长方体相对的面完全相同，根据此判断哪些面可以围成给定的长方体，并确定各个面的位置。
由图可知，长方体的长为4厘米，宽为2厘米，高为3厘米。①的长为3厘米，宽为2厘米；②的长为4厘米，宽为3厘米；③是边长为1.5厘米的正方形；④的长为3厘米，宽为2厘米；⑤的长为4厘米，宽为2厘米；⑥的长为4厘米，宽为2厘米；⑦的长为4厘米，宽为3厘米；⑧是边长为2厘米的正方形；所以这些面中边长与长方体的长、宽、高对应的有①②④⑤⑥⑦；
长方体前面的面长是4厘米，宽是3厘米，②和⑦的长是4厘米，宽是3厘米，与之对应；
长方体右面的面长是3厘米，宽是2厘米，①和④的长是3厘米，宽是2厘米，与之对应；
长方体上面的面长是4厘米，宽是2厘米，⑤和⑥的长是4厘米，宽是2厘米，与之对应；据此解答。
【详解】围成长方体的面是①②④⑤⑥⑦。其中前面可以是②或⑦，右面可以是①或④，上面可以是⑤或⑥。
10． 7 5 8
【分析】根据正方体展开图的类型，图中的正方体属于2-3-1型，A代表的数字与3相对应，B代表的数字与5相对应，C代表的数字与2相对应，已知相对的面上两个数字的和是10，分别用10减去3、 2、5，即可求出A、B、C所代表的数字。
【详解】A代表的数字：
B代表的数字：
C代表的数字：
所以，A代表的数字是7，B代表的数字是5，C代表的数字是8。
11．954.2
【分析】根据题意，长方形的面积＝长×宽，数学书的正面和北面（后面）是完全相同的长方形，左侧面的长是26厘米，宽是0.7厘米，把数据代入求出这三个面的面积即可。
【详解】26×18×2＋26×0.7
＝468×2＋18.2
＝936＋18.2
＝954.2（平方厘米）
所以至少需要954.2平方厘米。
12．(1)①
(2)90
【分析】（1）根据题意，选择只有一个的尺寸作为鱼缸的底，选择长和宽匹配的长方形作为鱼缸的围边，以确定能组成无盖长方体鱼缸。
（2） 求至少需要多少平方分米的玻璃，就是求这个无盖长方体鱼缸的表面积，即五个面的面积之和，即为①＋②＋③＋④＋⑤玻璃的和，依据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽。将数据代入公式计算即可。
【详解】（1）对比5个长方形，单独尺寸的只有①长方形玻璃，所以选择①作为鱼缸的底，其它玻璃作为围边。用上面的①号玻璃做鱼缸底最合适。
（2）鱼缸的表面积：
3×6＋4×6＋3×4＋4×6＋3×4
＝18＋24＋12＋24＋12
＝42＋12＋24＋12
＝54＋24＋12
＝78＋12
＝90（平方分米）
做好这个鱼缸，至少需要90平方分米的玻璃。
13．96
【分析】在大正方体的表面涂色，可知大正方体有6个面，因此每个面只有一面涂色的小正方体有24÷6＝4（个）；这4个单面小正方体是不包括棱上和顶角上的，所以不包括棱上和顶角上，每个面单面涂色的小正方体有2个，再加上2个，就是大正方体每条边上的小正方体个数4个，因为小正方体棱长为1，所以大正方体棱长为4厘米，根据大正方体表面积公式“6×棱长×棱长”，即可计算结果。
【详解】24÷6＝4（个），即单面涂色的小正方体有2个，2＋2＝4（个）
1×4×4×6＝96（平方厘米）。
则大正方体的表面积是96平方厘米。
14．(1)120
(2)19
【分析】（1）从上面和下面看到的图形都有5个小正方形，从左面和右面看到的图形都有6个小正方形，从前面和后面看到的图形都有4个小正方形。先算出组合体露在外面的正方形面的数量，再计算单个面的面积，最后相乘得到总面积。
（2）观察图形可知，要堆成的大正方体的棱长应该是3个小正方体组成的。先计算出大正方体所需小正方体总数，再减去原来已有的小正方体个数，求出还需堆的小正方体个数。
【详解】（1）2×2×（5＋6＋4）×2
＝2×2×15×2
＝4×15×2
＝60×2
＝120（平方厘米）
所以它的表面积是120平方厘米。
（2）3×3×3－8
＝9×3－8
＝27－8
＝19（个）
所以至少再堆上19个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。
15．×
【分析】把一个长方体锯成两个体积相等的小长方体，会增加两个切面的面积，切面的形状与长方体的面一致，所以表面积增加的总量＝单个切面面积×2。长方体有三组不同的面，分别计算每组面的面积，对比选出最大面。以最大面为切面时，求出增加的面积，据此判断。
【详解】长×宽：20×10＝200（cm2）
长×高：20×15＝300（cm2）
宽×高：10×15＝150（cm2）
300＞200＞150
因此长×高的面是最大面。
面积为300×2＝600（cm2）
表面积最多增加600cm2，原说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】正方体的展开图，相对面要隔一列或一行，左右隔 1列，上下隔1行，据此规律即可解答。
【详解】“1”和“4”面相对，“2”和“6”面相对，“3”和“5”面相对。
故答案为：√
17．×
【分析】正方体的表面积公式为：S＝6a2（a为棱长）。假设小正方体的棱长为a，已知大正方体棱长是小正方体的4倍，则大正方体的棱长为a×4＝4a。小正方体的表面积：6a2，对应使用1罐防锈油。大正方体的表面积为：6×（4a）2＝6×16a2＝16×6a2。由此可知，大正方体的表面积是小正方体表面积的16倍，据此计算解答即可。
【详解】假设小正方体的棱长为a；
大正方体棱长：a×4＝4a
小正方体的表面积：6a2
大正方体的表面积：
6×（4a）2
＝6×16a2
＝16×6a2
1×16＝16（罐）
所以要给大正方体表面涂防锈油，需要准备16罐防锈油，原说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，且长、宽、高各自长度相等，据此分析。
【详解】题目中提供的4根8cm、6根5cm、2根6cm小棒总数为12根，但长度分布不符合长方体棱的结构要求：无法选出3组各4根相同长度的小棒，所以原题说法错误。
故答案为：×
19．180
【分析】由图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm，高是（12－6）÷2＝3cm。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】（12－6）÷2
＝6÷2
＝3（cm）
（8×6＋8×3＋6×3）×2
＝（48＋24＋18）×2
＝180（）
20．见详解（答案不唯一）
【分析】根据长方体、正方体的特征，以及长方体、正方体展开图的特点，补上缺少的长方形或正方形使补充后的图形能折成长方体或正方体。
【详解】根据长方体展开图的“”型（答案不唯一），可补充如下：
根据正方体展开图的“”型（答案不唯一），可补充如下：
21．12.4米
【分析】制作长方体框架所需的角铁长度即为长方体的棱长总和。长方体共有 12 条棱，分为长、宽、高 3 组，每组 4 条棱长度相等。根据公式“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，将长、宽、高数据代入公式计算即可。
【详解】（0.9＋0.4＋1.8）×4
＝3.1×4
＝12.4（米）
答：制作这个售卖柜台至少需要 12.4 米的角铁。
22．230厘米
【分析】根据题意，彩带的长度＝长方体2条长的长度＋长方体2条宽的长度＋长方体4条高的长度＋蝴蝶结的长度，长方体的长为50厘米，宽为30厘米，高为10厘米，代入数据，即可求出彩带的长度。
【详解】根据分析得出：
50×2＋30×2＋10×4＋30
＝100＋60＋40＋30
＝230（厘米）
答：至少需要230厘米长的彩带。
23．98平方厘米
【分析】根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积＝长×宽，代入数据解答即可。
【详解】2＋5＋2＋5＝14（厘米）
2＋3＋2＝7（厘米）
14×7＝98（平方厘米）
答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。
24．
图见详解；7200平方厘米
【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。
【详解】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米）
所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图：
（厘米）
（平方厘米）
答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。
25．522平方厘米
【分析】根据长方体的特征，相对的面中间隔一个面，据此可以判断出相对的面，再把相对的面上涂上相同的颜色即可。观察可知，长方体相对的面面积相等，计算6个面的面积即可得长方体的表面积，再根据，代入数据计算即可。
【详解】三种颜色代表三种相对的面：
（平方厘米）
答：计算长方体的6个面的面积可得到长方体的表面积是522平方厘米。
26．2976平方厘米
【分析】根据图意和题意可知，鞋盒的盒体和盒盖都只有5个面，盒体的5个面分别是长方体的下面、前后面和左右面，盒盖的5个面分别是长方体的上面、前后面和左右面；
根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，分别求出盒体、盒盖5个面的面积之和，再相加，即是制作这个鞋盒至少需硬纸板的面积。
【详解】盒盖的长：33＋1＝34（厘米）
盒盖的宽：20＋1＝21（厘米）
盒体的表面积：
33×20＋33×12×2＋20×12×2
＝660＋792＋480
＝1932（平方厘米）
盒盖的表面积：
34×21＋34×3×2＋21×3×2
＝714＋204＋126
＝1044（平方厘米）
一共：1932＋1044＝2976（平方厘米）
答：制作这个鞋盒至少需要2976平方厘米硬纸板。
27．（1）11
（2）20×20×11＝4400（cm2）
（3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。
【分析】（1）分别从正面，上面，右面数露在外面的面数，再分别相加；
（2）先求出每个小正方形面的面积，据此再乘11就是露在外面的总面积；
（3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。
【详解】（1）正面3个正方形，右面4个正方形，上面4个正方形 （个）
（2）（平方厘米）
答：露在外面的面积是4400平方厘米。
（3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定.
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第二单元长方体（一）（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、长方体的6个面有时不都是长方形。
2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3.、在长方体中，同一方向的4条棱互相平行。
4、长方体的高=棱长总和÷4-（长+宽）。
5、判断图形折叠后能否围成正方体，除了要具备6个相同的正方形外，还要考虑折叠时6个面是否重复。
6、正方体的棱长扩大到原来的n倍，表面积就扩大到原来的n2倍。
7、用几个相同的正方体拼成一个长方体后，有几个接合处，表面积就减少（接合处的个数×2）个面的面积。
8、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
9、相同个数的小正方体摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。
高频易错题
一、选择题
1．如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（ ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米）
A．96 B．82 C．102 D．116
2．为了庆祝“八一”建军节，工作人员正在制作一些灯笼。用一根长铁丝制作一个棱长为8dm的正方体灯笼框架（铁丝无剩余），如果用同样长的铁丝制作一个长方体灯笼框架（铁丝无剩余），长和宽都为6dm，那么这个长方体灯笼框架的高为（ ）。
A．12dm B．16cm C．48dm D．2dm
3．下列四个平面图形中，不能折叠成长方体或正方体的是（ ）。
A． B．
C． D．
4．把一个长、宽、高分别是3m、2m、4m的长方体切成两个小长方体，两个小长方体表面积之和比原来长方体的表面积最多增加（ ）m2。
A．16 B．24 C．12 D．36
5．一个长方体木块的表面积是96cm2，下面是面积为12cm2的正方形，在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体上面各边的中点，这个组合体的表面积是（ ）cm2。
A．120 B．126 C．108 D．132
6．如图，4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（ ）平方厘米。
A．90 B．900 C．360 D．3600
7．如图有27个相同的小正方体拼成一个大正方体，从中取出一块小正方体，要使剩下的图形表面积最大，应该（ ）。
A．取走①号 B．取走②号 C．取走③号 D．取走④号
二、填空题
8．用彩带捆扎一种礼盒（如图），接头处要用掉彩带25cm，那么捆扎这个礼盒至少需要( )cm的彩带。
9．哪几个面可以围成下面的长方体？（单位：cm，填序号）
围成长方体的面是( )。其中前面可以是( )，右面可以是( )，上面可以是( )。
10．如下图所示的是一个正方体的展开图。已知相对的面上两个数字的和是10，那么A代表数字( )，B代表数字( )，C代表数字( )。
11．学校发了新书，笑笑要在它的外面（三个面）粘上一层书皮，分别是正面、背面、左侧面（如图），包装这本数学书，至少需要( )平方厘米的书皮。
12．做一个无盖的长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。
(1)用上面的( )号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号）
(2)做好这个鱼缸，至少需要( )平方分米的玻璃。
13．一大正方体由若干个棱长为1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体有24个，大正方体的表面积是( )平方厘米。
14．下图是由棱长2厘米的正方体木块堆成的形体。
(1)它的表面积是( )平方厘米；
(2)至少再堆上( )个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。
三、判断题
15．把一个长20cm，宽10cm，高15cm的长方体木块锯成两个体积相等的小长方体，表面积最多增加300。( )
16．下图是一个正方体纸盒的展开图，数字“6”和数字“2”相对。( )
17．已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的4倍，王叔叔给小正方体表面涂防锈油正好用了1罐，那么要给大正方体表面涂防锈油，需要准备8罐。( )
18．用4根8cm的小棒，6根5cm的小棒和2根6cm的小棒可以搭成长方体框架。( )
四、计算题
19．下面是一个长方体的展开图，求它的表面积。
五、作图题
20．试着把下列图形补充完整，使补充后的图形能折成长方体或正方体。
六、解答题
21．四川成都自古被誉为“天府之国”，又是熊猫的故乡。商店准备为熊猫玩偶专门制作售卖柜台。柜台长0.9米，宽0.4米，高1.8米。需要先用角铁做一个长方体框架再安装其他部件，制作这个售卖柜台至少需要多少米的角铁？
22．在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米）
23．如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。
24．乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计）
25．在下面的长方体展开图上，先把相对的面涂上相同的颜色，再标出每个面的长和宽。（单位：厘米）
说一说，如何得到这个长方体的表面积？
26．用硬纸板做一个鞋盒，鞋盒分为盒体和盒盖。盒体长33厘米、宽20厘米、高12厘米，盒盖的长和宽分别比盒体的长和宽长1厘米，盒盖的高是3厘米（如下图）。制作这个鞋盒至少需要多少平方厘米硬纸板？
27．某超市的仓库里有6个棱长为20cm的正方形纸箱，如下图。
（1）一共有（ ）个面露在外面。
（2）李阿姨想给露在外面的面贴上防潮膜，她至少要买多少平方厘米的防潮膜？
（3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？
参考答案
1．C
【分析】丝带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处长度。
【详解】15×2＋10×2＋8×4＋20
＝30＋20＋32＋20
＝102（厘米）
至少需要102厘米长的丝带。
2．A
【分析】已知用一根长铁丝制作一个棱长为8dm的正方体灯笼框架，那么铁丝的全长等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出铁丝的全长；
如果用同样长的铁丝制作一个长方体灯笼框架，长和宽都为6dm，那么铁丝的全长等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的高＝（棱长总和÷4）－长－宽，代入数据计算，求出这个长方体灯笼框架的高。
【详解】8×12＝96（dm）
96÷4－6－6
＝24－6－6
＝12（dm）
这个长方体灯笼框架的高为12dm。
故答案为：A
3．A
【分析】正方体展开是完全相同的六个面，正方体展开图有如下类型：
长方体展开后的类型也符合上述规律，只不过只有相对的面的大小形状一样。
【详解】
A．，不能折叠成任何长方体或正方体，因为它上下两个面应该是长方形，而不是正方形。
B．符合“1－3－2”型。
C． 符合“1－4－1”型。
D．符合“1－4－1”型。
4．B
【分析】通过实际操作可知有三种切法分别增加两个长×宽的面、长×高的面、宽×高的面，要使表面积增加的最多，则增加的两个面是原长方体中最大的面。先分别计算三种情况下增加的表面积，再比较即可判断。
【详解】①4×3×2＝24（m2）；
②2×4×2＝16（m2）；
③3×2×2＝12（m2）；
24＞16＞12，即最多增加24m2。
故答案为：B
5．A
【分析】因为正方体的四个顶点正好落在长方体上面各边的中点，如图，连接对边的中点，把正方形分成相等的8份，正方体的一个面正好占4份，即正方体一个面的面积是长方体底面面积的一半。据此先求出正方体一个面的面积；再根据组合体的表面积等于长方体的表面积加上正方体4个面的面积，求出组合体的表面积。
【详解】12÷2＝6（cm2）
96＋6×4
＝96＋24
＝120（cm2）
6．B
【分析】从前面看有3个正方形，从上面看有3个正方形，从右面看有3个正方形，正方形面积＝边长×边长，1个正方形面积×露在外面的个数＝露在外面的面积。
【详解】10×10×（3×3）
＝100×9
＝900（平方厘米）
露在外面的面积是900平方厘米。
7．A
【分析】观察取出一块小正方体后增加小正方体面的个数，增加面的个数最多时，增加的表面积最大。由此判断。
【详解】A．取走①号后减少了小正方体1个面的面积，增加了上下左右后5个小正方体面的面积，相当于增加了4个小正方体面的面积。
B．取走②号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上右后3个小正方体面的面积，相当于没变。
C．取走③号后减少了小正方体2个面的面积，增加了上左右后4个小正方体面的面积，相当于增加了2个小正方体面的面积。
D．取走④号后减少了小正方体3个面的面积，增加了上下左右后3个小正方体面的面积，相当于没变。
所以取走①号后剩下的表面积最大。
故答案为：A
8．107
【分析】观察图形可知，彩带的长度是由2条长、2条宽、4条高及接头处长度的和组成。据此解答。
【详解】10×2＋15×2＋8×4＋25
＝20＋30＋32＋25
＝50＋32＋25
＝82＋25
＝107（cm）
9． ①②④⑤⑥⑦ ②或⑦ ①或④ ⑤或⑥
【分析】根据长方体的特征，长方体相对的面完全相同，根据此判断哪些面可以围成给定的长方体，并确定各个面的位置。
由图可知，长方体的长为4厘米，宽为2厘米，高为3厘米。①的长为3厘米，宽为2厘米；②的长为4厘米，宽为3厘米；③是边长为1.5厘米的正方形；④的长为3厘米，宽为2厘米；⑤的长为4厘米，宽为2厘米；⑥的长为4厘米，宽为2厘米；⑦的长为4厘米，宽为3厘米；⑧是边长为2厘米的正方形；所以这些面中边长与长方体的长、宽、高对应的有①②④⑤⑥⑦；
长方体前面的面长是4厘米，宽是3厘米，②和⑦的长是4厘米，宽是3厘米，与之对应；
长方体右面的面长是3厘米，宽是2厘米，①和④的长是3厘米，宽是2厘米，与之对应；
长方体上面的面长是4厘米，宽是2厘米，⑤和⑥的长是4厘米，宽是2厘米，与之对应；据此解答。
【详解】围成长方体的面是①②④⑤⑥⑦。其中前面可以是②或⑦，右面可以是①或④，上面可以是⑤或⑥。
10． 7 5 8
【分析】根据正方体展开图的类型，图中的正方体属于2-3-1型，A代表的数字与3相对应，B代表的数字与5相对应，C代表的数字与2相对应，已知相对的面上两个数字的和是10，分别用10减去3、 2、5，即可求出A、B、C所代表的数字。
【详解】A代表的数字：
B代表的数字：
C代表的数字：
所以，A代表的数字是7，B代表的数字是5，C代表的数字是8。
11．954.2
【分析】根据题意，长方形的面积＝长×宽，数学书的正面和北面（后面）是完全相同的长方形，左侧面的长是26厘米，宽是0.7厘米，把数据代入求出这三个面的面积即可。
【详解】26×18×2＋26×0.7
＝468×2＋18.2
＝936＋18.2
＝954.2（平方厘米）
所以至少需要954.2平方厘米。
12．(1)①
(2)90
【分析】（1）根据题意，选择只有一个的尺寸作为鱼缸的底，选择长和宽匹配的长方形作为鱼缸的围边，以确定能组成无盖长方体鱼缸。
（2） 求至少需要多少平方分米的玻璃，就是求这个无盖长方体鱼缸的表面积，即五个面的面积之和，即为①＋②＋③＋④＋⑤玻璃的和，依据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽。将数据代入公式计算即可。
【详解】（1）对比5个长方形，单独尺寸的只有①长方形玻璃，所以选择①作为鱼缸的底，其它玻璃作为围边。用上面的①号玻璃做鱼缸底最合适。
（2）鱼缸的表面积：
3×6＋4×6＋3×4＋4×6＋3×4
＝18＋24＋12＋24＋12
＝42＋12＋24＋12
＝54＋24＋12
＝78＋12
＝90（平方分米）
做好这个鱼缸，至少需要90平方分米的玻璃。
13．96
【分析】在大正方体的表面涂色，可知大正方体有6个面，因此每个面只有一面涂色的小正方体有24÷6＝4（个）；这4个单面小正方体是不包括棱上和顶角上的，所以不包括棱上和顶角上，每个面单面涂色的小正方体有2个，再加上2个，就是大正方体每条边上的小正方体个数4个，因为小正方体棱长为1，所以大正方体棱长为4厘米，根据大正方体表面积公式“6×棱长×棱长”，即可计算结果。
【详解】24÷6＝4（个），即单面涂色的小正方体有2个，2＋2＝4（个）
1×4×4×6＝96（平方厘米）。
则大正方体的表面积是96平方厘米。
14．(1)120
(2)19
【分析】（1）从上面和下面看到的图形都有5个小正方形，从左面和右面看到的图形都有6个小正方形，从前面和后面看到的图形都有4个小正方形。先算出组合体露在外面的正方形面的数量，再计算单个面的面积，最后相乘得到总面积。
（2）观察图形可知，要堆成的大正方体的棱长应该是3个小正方体组成的。先计算出大正方体所需小正方体总数，再减去原来已有的小正方体个数，求出还需堆的小正方体个数。
【详解】（1）2×2×（5＋6＋4）×2
＝2×2×15×2
＝4×15×2
＝60×2
＝120（平方厘米）
所以它的表面积是120平方厘米。
（2）3×3×3－8
＝9×3－8
＝27－8
＝19（个）
所以至少再堆上19个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。
15．×
【分析】把一个长方体锯成两个体积相等的小长方体，会增加两个切面的面积，切面的形状与长方体的面一致，所以表面积增加的总量＝单个切面面积×2。长方体有三组不同的面，分别计算每组面的面积，对比选出最大面。以最大面为切面时，求出增加的面积，据此判断。
【详解】长×宽：20×10＝200（cm2）
长×高：20×15＝300（cm2）
宽×高：10×15＝150（cm2）
300＞200＞150
因此长×高的面是最大面。
面积为300×2＝600（cm2）
表面积最多增加600cm2，原说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】正方体的展开图，相对面要隔一列或一行，左右隔 1列，上下隔1行，据此规律即可解答。
【详解】“1”和“4”面相对，“2”和“6”面相对，“3”和“5”面相对。
故答案为：√
17．×
【分析】正方体的表面积公式为：S＝6a2（a为棱长）。假设小正方体的棱长为a，已知大正方体棱长是小正方体的4倍，则大正方体的棱长为a×4＝4a。小正方体的表面积：6a2，对应使用1罐防锈油。大正方体的表面积为：6×（4a）2＝6×16a2＝16×6a2。由此可知，大正方体的表面积是小正方体表面积的16倍，据此计算解答即可。
【详解】假设小正方体的棱长为a；
大正方体棱长：a×4＝4a
小正方体的表面积：6a2
大正方体的表面积：
6×（4a）2
＝6×16a2
＝16×6a2
1×16＝16（罐）
所以要给大正方体表面涂防锈油，需要准备16罐防锈油，原说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，且长、宽、高各自长度相等，据此分析。
【详解】题目中提供的4根8cm、6根5cm、2根6cm小棒总数为12根，但长度分布不符合长方体棱的结构要求：无法选出3组各4根相同长度的小棒，所以原题说法错误。
故答案为：×
19．180
【分析】由图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm，高是（12－6）÷2＝3cm。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】（12－6）÷2
＝6÷2
＝3（cm）
（8×6＋8×3＋6×3）×2
＝（48＋24＋18）×2
＝180（）
20．见详解（答案不唯一）
【分析】根据长方体、正方体的特征，以及长方体、正方体展开图的特点，补上缺少的长方形或正方形使补充后的图形能折成长方体或正方体。
【详解】根据长方体展开图的“”型（答案不唯一），可补充如下：
根据正方体展开图的“”型（答案不唯一），可补充如下：
21．12.4米
【分析】制作长方体框架所需的角铁长度即为长方体的棱长总和。长方体共有 12 条棱，分为长、宽、高 3 组，每组 4 条棱长度相等。根据公式“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，将长、宽、高数据代入公式计算即可。
【详解】（0.9＋0.4＋1.8）×4
＝3.1×4
＝12.4（米）
答：制作这个售卖柜台至少需要 12.4 米的角铁。
22．230厘米
【分析】根据题意，彩带的长度＝长方体2条长的长度＋长方体2条宽的长度＋长方体4条高的长度＋蝴蝶结的长度，长方体的长为50厘米，宽为30厘米，高为10厘米，代入数据，即可求出彩带的长度。
【详解】根据分析得出：
50×2＋30×2＋10×4＋30
＝100＋60＋40＋30
＝230（厘米）
答：至少需要230厘米长的彩带。
23．98平方厘米
【分析】根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积＝长×宽，代入数据解答即可。
【详解】2＋5＋2＋5＝14（厘米）
2＋3＋2＝7（厘米）
14×7＝98（平方厘米）
答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。
24．
图见详解；7200平方厘米
【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。
【详解】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米）
所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图：
（厘米）
（平方厘米）
答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。
25．522平方厘米
【分析】根据长方体的特征，相对的面中间隔一个面，据此可以判断出相对的面，再把相对的面上涂上相同的颜色即可。观察可知，长方体相对的面面积相等，计算6个面的面积即可得长方体的表面积，再根据，代入数据计算即可。
【详解】三种颜色代表三种相对的面：
（平方厘米）
答：计算长方体的6个面的面积可得到长方体的表面积是522平方厘米。
26．2976平方厘米
【分析】根据图意和题意可知，鞋盒的盒体和盒盖都只有5个面，盒体的5个面分别是长方体的下面、前后面和左右面，盒盖的5个面分别是长方体的上面、前后面和左右面；
根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，分别求出盒体、盒盖5个面的面积之和，再相加，即是制作这个鞋盒至少需硬纸板的面积。
【详解】盒盖的长：33＋1＝34（厘米）
盒盖的宽：20＋1＝21（厘米）
盒体的表面积：
33×20＋33×12×2＋20×12×2
＝660＋792＋480
＝1932（平方厘米）
盒盖的表面积：
34×21＋34×3×2＋21×3×2
＝714＋204＋126
＝1044（平方厘米）
一共：1932＋1044＝2976（平方厘米）
答：制作这个鞋盒至少需要2976平方厘米硬纸板。
27．（1）11
（2）20×20×11＝4400（cm2）
（3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。
【分析】（1）分别从正面，上面，右面数露在外面的面数，再分别相加；
（2）先求出每个小正方形面的面积，据此再乘11就是露在外面的总面积；
（3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定。
【详解】（1）正面3个正方形，右面4个正方形，上面4个正方形 （个）
（2）（平方厘米）
答：露在外面的面积是4400平方厘米。
（3）改变摆法，露在外面的面积可能不变，也可能会发生变化，因为露在外面的面数不确定.
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