第二单元因数和倍数（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年五年级数学下册培优讲练测（人教版）

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第二单元因数和倍数（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。
2、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
3、不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。
4、无限多的两种数量不能比较多少。
5、1既不是质数，也不是合数。
6、最小的质数是2，最小的合数是4。
7、3的倍数也可以是偶数。
8、自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。
9、2是偶数中唯一的质数。
高频易错题
一、选择题
1．一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是（ ）。
A．12 B．16 C．24 D．48
2．M＝2×3×7，M的因数一共有（ ）个。
A．3 B．4 C．6 D．8
3．a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），下列说法正确的是（ ）。
A．a是奇数 B．b定是奇数 C．a是偶数 D．b是a的因数
4．教室电脑桌面的锁屏密码是一个四位数“5□1□”，李老师给出提示信息：已知这个四位数既是2的倍数，又是3和5的倍数，同学们要找到正确密码，最多需要输入（ ）次。
A．4 B．5 C．6 D．10
5．三个连续奇数的和是27，这三个连续奇数的积是（ ）。
A．369 B．693 C．963 D．720
6．10以内质数的和是（ ）。
A．15 B．16 C．17 D．18
7．下列说法正确的是（ ）。
A．奇数×奇数＝奇数 B．连续的三个质数之和一定是奇数
C．偶数一定是合数 D．60个连续自然数的乘积一定是奇数
二、填空题
8．一个数的最大因数和最小倍数相加等于32，这个数是( )，这个数的全部因数有( )。
9．有一座钟，每走8分钟亮一次灯，每到整时响一次铃。下午1时整，既响铃又亮灯。下一次既响铃又亮灯是下午( )时。
10．教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”）
11．古人的年龄有时不用数表示，而是用一种与年龄有关的称谓来代替，如“花甲”指六十岁、“古稀”指七十岁、“耄耋”指八九十岁。聪聪爷爷今年已经年过古稀，未及耄耋，且年龄既是2的倍数，又有因数3，聪聪爷爷今年的年龄最小是( )岁。
12．“25”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是5的倍数。
13．李浩给电脑设置了一个六位数的开机密码：第一位，既是偶数，又是质数；第二位，既是5的倍数，又是5的因数；第三位，既是2的倍数，又是3的倍数；第四位，所有的因数是1、2、4、8；第五位，既是奇数，又是合数；第六位，自然数中最小的偶数。李浩设置的电脑开机密码是( )。
14．平平今年的年龄是个两位数，个位上既是质数又是偶数，十位上既不是质数也不是合数。他今年( )岁，至少再过( )年，他的年龄既是2的倍数，又是3和5的倍数。
三、判断题
15．在自然数中，50以内既是质数又是奇数的数共有10个。( )
16．正方形的边长是质数，它的面积一定是合数。( )
17．200的因数的个数比20的倍数的个数多。( )
18．转动下面的转盘，指针停在合数和质数区域的可能性一样大。( )
19．用4、7、1组成的任意一个三位数都是3的倍数。( )
四、作图题
20．
（1）找出2的倍数，把相应的星星涂色。
（2）找出3的倍数，把相应的星星圈出来。
五、解答题
21．某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？
22．把一根长120厘米的铁丝截成同样长的若干段，每段长为整厘米数，大于10厘米且小于20厘米，共有几种截法？
23．“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，共20个。现在要把它们至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？请列出来。
24．长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返，记船由南岸驶向北岸为1次。摆渡第30次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？
25．重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？
26．妙妙和甜甜玩抽纸牌游戏，游戏规则如下：从下面这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相乘，若乘积为3的倍数，则妙妙获胜，否则甜甜获胜，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。
27．一个九位数，亿位上是1，千万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是0，这个数是多少？省略亿位后面的尾数约是多少亿？
28．一个长方形花坛的长和宽是相邻的两个整数，长是一个质数，宽是一个合数，并且周长是18米。
（1）长方形的长是（ ）米，宽是（ ）米。
（2）如果花坛里面种满花，共花了696元，每平方米需要多少元？
（3）如果在这个花坛的四周铺一条1米宽的小路，每平方米需要铺水泥2.5吨，铺完这条小路需要多少吨水泥？
参考答案
1．B
【分析】因数：如果a×b＝c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数。倍数：如果a×b＝c（a、b、c都是非0自然数），那么c就是a和b的倍数。既有因数6，说明这个数能被6整除；又是4的倍数，说明这个数能被4整除。据此分析各选项，进而得出正确答案。
【详解】A．12÷6＝2，没有余数，说明12能被6整除，所以12有因数6。12÷4＝3，没有余数，说明12是4的倍数。因此12既有因数6，又是4的倍数。
B．16÷6＝2……4，有余数，说明16不能被6整除，所以16没有因数6。虽然16÷4＝4，是4的倍数，但因为不满足有因数6这一条件，所以16不符合要求。
C．24÷6＝4，没有余数，说明24能被6整除，所以24有因数6。24÷4＝6，没有余数，说明24是4的倍数。因此24既有因数6，又是4的倍数。
D．48÷6＝8，没有余数，说明48能被6整除，所以48有因数6。48÷4＝12，没有余数，说明48是4的倍数。因此48既有因数6，又是4的倍数。
一个数既有因数6，又是4的倍数，这个数不可能是16。
2．D
【分析】先求出M的值，再通过列除法算式找因数：用这个数除以1到它本身，能整除的除数和商都是它的因数。
【详解】M＝2×3×7
＝6×7
＝42
42÷1＝42
42÷2＝21
42÷3＝14
42÷6＝7
42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42，共8个。
3．A
【分析】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数；偶数＋奇数＝奇数，据此解答。
【详解】a÷b＝2……41（a、b为非零自然数），由此可知，a＝2b＋41；2b是偶数，41是奇数，偶数＋奇数＝奇数，a一定是奇数，所以说法正确的是a是奇数。
4．A
【分析】2的倍数特征：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数，5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数，3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，既是2的倍数，又是3和5的倍数，那么个位数是0，并且各位上的数的和是3的倍数，据此解答。
【详解】同时是2和5的倍数，则个位上的数是0，又是3的倍数， 5＋1＋0＝6，那么百位上的数可能是0或3或6或9，6＋0＝6，6＋3＝9，6＋6＝12，6＋9＝15，6，9，12，15都是3的倍数，所以密码可能是5010，5310，5610，5910，因此最多需要输入4次。
5．B
【分析】三个数是连续奇数，相邻奇数相差2，设中间的奇数为x，则另外两个奇数分别是（x－2）和（x＋2），利用三个数的和为27列方程，求出中间的奇数。用中间的奇数分别减去2和加上2求出另外两个奇数。最后将三个奇数相乘即可求出它们的积。
【详解】解：设中间的奇数为x，则另外两个奇数分别是（x－2）和（x＋2）。
x＋（x－2）＋（x＋2）＝27
x＋x－2＋x＋2＝27
3x＝27
3x÷3＝27÷3
x＝9
9－2＝7
9＋2＝11
7×9×11
＝63×11
＝693
这三个连续奇数的积是693。
6．C
【分析】质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数的数。据此先找出10以内的所有质数，再将这些质数相加求和。
【详解】1：只有1个因数，不是质数。
2：因数只有1和2，是质数。
3：因数只有1和3，是质数。
4：因数有1、2、4，不是质数。
5：因数只有1和5，是质数。
6：因数有1、2、3、6，不是质数。
7：因数只有1和7，是质数。
8：因数有1、2、4、8，不是质数。
9：因数有1、3、9，不是质数。
因此，10以内的质数为2、3、5、7。
2＋3＋5＋7
＝5＋5＋7
＝10＋7
＝17
7．A
【分析】奇数：个位数字是1、3、5、7、9的数。偶数：个位数字是0、2、4、6、8的数。质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。分别举例说明各选项。
【详解】A．例如：3和5是奇数，3×5＝15，15是奇数；7和9是奇数，7×9＝63，63是奇数；所以奇数×奇数＝奇数，该选项说法正确；
B．2、3、5是三个连续的质数，2＋3＋5＝10，它们的和是偶数，该选项说法错误；
C．2是偶数，但不是合数，该选项说法错误；
D．60个连续的自然数，一定包含偶数，只要有一个因数是偶数，则乘积一定是偶数，该选项说法错误。
8．16 1，2，4，8，16
【分析】已知一个数的最大因数和最小倍数相加等于32，根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”得出这个数是32的一半，再写出这个数的所有因数即可。
【详解】这个数是：32÷2＝16
16的全部因数有：1，2，4，8，16。
9．3
【分析】根据题意可知，从下午1时整钟既响铃又亮灯开始后，每8分钟亮一次灯，每60分钟响一次铃，所以下一次既响铃又亮灯的时刻是经过8和60的最小公倍数的分钟后。
【详解】
8和60的最小公倍数是120，即在120分钟后会既响铃又亮灯。
120分钟＝2小时
1时＋2小时＝3时
则下一次既响铃又亮灯是下午3时。
10．6 因数
【分析】①分法种数等于42在2到21之间的因数个数；列出42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，筛选出符合条件每组至少2人，最多21人，符合条件的有2、3、6、7、14、21共6个。
②计算出每组人数：总人数÷组数＝42÷6＝7，判断7与42的关系：42能被7整除，故7是42的因数。
【详解】42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，符合每组至少2人，最多21人有6种。
42÷6＝7，42能被7整除，故7是42的因数。
每组至少2人，最多21人，共有6种分法，若分成6组，每组人数是42的因数。
11．72
【分析】聪聪爷爷年龄在71到79之间，是2的倍数（个位上的数字是0、2、4、6、8的数），同时各个数位数字之和能被3整除。
【详解】71到79之间是2的倍数的有：72、74、76、78；
7＋2＝9，能被3整除；
7＋4＝11，不能被3整除；
7＋6＝13，不能被3整除；
7＋8＝15，能被3整除。
所以聪聪爷爷今年的年龄最小是72岁。
12．0 5
【分析】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】
既是2的倍数又是5的倍数的数的个位数字一定是0，“25”是一个三位数，当里填0时，它既是2的倍数，又是5的倍数；2＋5＋0＝7、2＋5＋5＝12，当里填5时，它既是3的倍数，又是5的倍数。
13．256890
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。奇数指不能被2整除的整数，偶数是能够被2所整除的整数。因数是指整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，就说b是a的因数。倍数是指一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数。据此解答。
【详解】第一位：质数中的偶数只有2，因此既是偶数，又是质数，这个数是2；
第二位：5的倍数（一位数）只能是5或0，但5的因数只有1和5，因此既是5的倍数，又是5的因数，这个数是5；
第三位：既是2的倍数，又是3的倍数，这个数是2和3的最小公倍数，这个数是6；
第四位：8的所有的因数是1、2、4、8，因此这个数是8；
第五位：一位数中既是奇数又是合数的数是9，因此既是奇数，又是合数，这个数是9；
第六位：自然数包括0，最小的偶数是0，因此这个数是0。
李浩设置的电脑开机密码是256890。
14．12 18
【分析】是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数；
2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数，据此解答。
【详解】既是质数又是偶数的数是2，既不是质数也不是合数的数是1，今年12岁；
根据2、3、5的倍数特征，个位数字是0，并且各位上数字之和是3的倍数，可能是30，60，90岁，30－12＝18（年），至少经过18年，他的年龄既是2的倍数，又是3和5的倍数。
15．×
【分析】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此找出50以内既是质数又是奇数的数。
【详解】50以内的奇数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49。
50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。其中，2是偶数，不是奇数；其余的3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47是质数，又是奇数，一共有14个。
在自然数中，50以内既是质数又是奇数的数共有14个。
故答案为：×
16．√
【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，据此即可解答。
【详解】设正方形的边长为质数a（a＞1）。
正方形面积：a×a＝
因为除了1和它本身，还有因数a，所以是合数。
故答案为：√
17．×
【分析】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的。200的因数个数有限，20的倍数个数无限，因此有限的数量不可能比无限的数量多。
【详解】200的因数个数是有限的，具体有12个（如1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200）。20的倍数有20、40、60、80……，个数无限。有限的数量不可能比无限的数量多，所以原说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】首先明确质数与合数的概念，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。然后分别数出转盘中质数、合数的个数，个数相同可能性才一样大，据此解答。
【详解】转盘中的数：1既不是质数也不是合数；2、5、7是质数，共3个；4、10是合数，共2个。质数个数与合数个数不同，所以指针停在合数和质数区域的可能性不一样大。
故答案为：×
19．√
【分析】根据3的倍数特征，若一个数的各位数字之和是3的倍数，则该数是3的倍数。计算4、7、1三个数字之和即可判断。
【详解】4、7、1三个数字组成的任意三位数，其各位数字之和为。由于是3的倍数（），因此无论这三个数字如何排列，组成的三位数都是3的倍数。例如：471、741、147等均满足条件，原题说法正确。
故答案为：√
20．见详解
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除；据此可得2的倍数有：6、4、20，将这三个数对应的星星涂色；3的倍数有：6、33、15、93，将这四个数对应的星星圈出来即可。
【详解】（1）（2）
21．4种
【分析】根据题意，行数×列数＝60，即行数和列数是60的一对因数，并且需要满足条件：行数≥3，列数≥3，每行人数＞每列人数，根据乘法算式列出60的因数，看满足条件的有几对即可。
【详解】1×60＝60（1＜3，不符合）
2×30＝60（2＜3，不符合）
3×20＝60（每行20人，每列3人，符合条件）
4×15＝60（每行15人，每列4人，符合条件）
5×12＝60（每行12人，每列5人，符合条件）
6×10＝60（每行10人，每列6人，符合条件）
综上：有4种不同排法。
答：有4种不同的排法。
22．2种
【分析】铁丝总长度＝每段长度×段数，因此每段长度必须是120的因数。
找120的因数中满足大于10且小于20的数，每一个符合条件的因数对应一种截法。
【详解】120的因数：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
大于10且小于20的数：12，15。
答：共有2种截法。
23．4种；列举见详解
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和20之外20的所有因数即可。
【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5
20的因数有1、2、4、5、10、20。
可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。
答：可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。共有4种分法。
24．南岸；理由见详解
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
判断摆渡结束次数为奇数还是偶数，船在不同的岸，据此发现规律，并按规律解答。
【详解】摆渡第1次结束时，船在北岸；第2次结束时，船在南岸；第3次结束时船在北岸；第4次结束时，船在南岸……以此类推，摆渡结束次数为奇数时，船在北岸；摆渡结束次数为偶数时，船在南岸。30为偶数，所以摆渡第30次结束时，船在南岸。
25．3件装
【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、或8。
3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。
5的倍数特征：个位数字是0或5。
【详解】根据题意分析：153不是2和5的倍数。
1＋5＋3＝9，9是3的倍数，153是3的倍数。
答：用3件装的纸箱正好装完。
26．不公平；理由和公平游戏规则见详解
【分析】从4张纸牌（数字为1、3、5、6）中任意取2张，共有6种组合，1和3：乘积为1×3＝3，3是3的倍数。1和5：乘积为1×5＝5，5不是3的倍数。1和6：乘积为1×6＝6，6是3的倍数。3和5：乘积为3×5＝15，15是3的倍数。3和6：乘积为3×6＝18，18是3的倍数。5和6：乘积为5×6＝30，30是3的倍数。在这6种组合中，乘积为3的倍数的有5种，不是3的倍数的有1种。因此这个游戏不公平。
新规则：从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜；若和为偶数，则甜甜获胜。计算所有组合的和：1＋3＝4（偶数）。1＋5＝6（偶数）。1＋6＝7（奇数）。3＋5＝8（偶数）。3＋6＝9（奇数）。5＋6＝11（奇数）。和为奇数的有3种，和为偶数的有3种，所以妙妙和甜甜获胜的可能性相等，游戏公平。
【详解】1×3＝3，是3的倍数；
1×5＝5，不是3的倍数；
1×6＝6，是3的倍数；
3×5＝15，是3的倍数；
3×6＝18，是3的倍数；
5×6＝30，是3的倍数；
乘积为3的倍数的有5种，不是3的倍数的有1种。
从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜；若和为偶数，则甜甜获胜。
1＋3＝4（偶数）
1＋5＝6（偶数）
1＋6＝7（奇数）
3＋5＝8（偶数）
3＋6＝9（奇数）
5＋6＝11（奇数）
和为奇数的有3种，和为偶数的有3种，所以妙妙和甜甜获胜的可能性相等，游戏公平。
答：这个游戏不公平，因为妙妙获胜的可能性与甜甜获胜的可能性不相等。公平的游戏规则可以是从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜，若和为偶数，则甜甜获胜。（新规则不唯一）
27．120040009；1亿
【分析】一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2，一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4，最大的一位数是9，则这个九位数的亿位上是1，千万位上是2，万位上是4，个位上是9，大数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此写出这个数；根据整数的近似数，省略亿位后面的尾数则看千万位上的数，如果小于5则舍去，大于或等于5则向亿位进1，并添上“亿”字。
【详解】120040009≈1亿
答：这个数是120040009，省略亿位后面的尾数约是1亿。
28．（1）5；4
（2）34.8元
（3）55吨
【分析】（1）相邻的两个整数之间相差1；长方形的周长÷2＝长＋宽；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定长和宽。
（2）根据长方形面积＝长×宽，计算出花坛面积，总钱数÷花坛面积＝每平方米需要的钱数。
（3）大长方形的长＝花坛的长＋1×2，大长方形的宽＝花坛的宽＋1×2，大长方形的面积－花坛的面积＝小路的面积，小路的面积×每平方米需要的水泥吨数＝需要的水泥总吨数。
【详解】（1）18÷2＝9（米）
9＝5＋4
长方形的长是5米，宽是4米。
（2）696÷（5×4）
＝696÷20
＝34.8（元）
答：每平方米需要34.8元。
（3）5＋1×2
＝5＋2
＝7（米）
4＋1×2
＝4＋2
＝6（米）
7×6－5×4
＝42－20
＝22（平方米）
22×2.5＝55（吨）
答：铺完这条小路需要55吨水泥。
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