第三单元长方体和正方体（易错知识点+高频易错题）2025-2026学年五年级数学下册培优讲练测（人教版）

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第三单元长方体和正方体（易错知识点+高频易错题）
易错知识点
1、概念与棱长关系混淆。
对长方体的“棱”、“顶点”、“面”的数量和特征记忆不清。
混淆长方体“长、宽、高”的概念，特别是在非标准放置时判断错误。
对正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体）理解不深。
2、棱长总和、表面积、体积公式混用。
混淆棱长总和、表面积、体积的计算公式和单位。
已知棱长总和求体积/表面积时，未先求出长、宽、高。
3、表面积计算错误。
求长方体或正方体表面积时，少算或多算面的数量。
对“无盖”、“通风管”、“游泳池贴瓷砖”等实际问题，未根据实际情况调整计算的面数。
拼接或切割图形时，表面积变化判断错误。
4、体积与容积概念混淆。
混淆“体积”与“容积”的概念，认为完全相同。
未注意容积计算要从容器内部测量数据，或忽略厚度。
体积/容积单位换算错误，特别是立方厘米、立方分米、立方米之间的进率是1000。
5、单位使用不规范。
计算表面积时，单位用平方单位（cm , dm , m ）；计算体积/容积时，单位用立方单位（cm , dm , m ）。容易混淆或写错。
计算过程中未统一单位，导致结果错误。
只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。
6、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。
7、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。
8、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。
9、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。
10、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。
11、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。
高频易错题
一、选择题
1．一个长8dm，宽6dm，高4dm的长方体盒子，最多能放下（ ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子厚度忽略不计）
A．8 B．14 C．24 D．192
2．手工课上，聪聪要制作一个规格为4dm×2dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择的木板尺寸有（ ）。
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．由210个棱长为1厘米的小正方体组成一个长方体，其表面积最小是（ ）平方厘米。
A．210 B．214 C．242 D．254
4．用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少（ ）平方厘米。
A．4 B．6 C．12 D．1
5．如图是正方体展开图，这个正方体不可能是（ ）。
A． B． C． D．
6．如图，一个长方体被挖掉了一个小正方体，下面说法正确的是（ ）。
A．表面积不变，体积变小 B．表面积变小，体积变小
C．表面积变大，体积变小 D．表面积不变，体积不变
7．下图为不同包装形式的同种纯牛奶的售卖方式，买哪种包装的最划算？（ ）。
第一种 牛奶 规格：12瓶 价格：35.8元 每瓶：200毫升 第二种 牛奶 规格：10盒 价格：105.6元 每盒：1000毫升 第三种 牛奶 规格：12盒 价格：72.6元 每盒：500毫升
A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．一样划算
二、填空题
8．一个正方体的棱长是10cm，一只蚂蚁从这个正方体的一个顶点出发，沿棱爬行，如果要求不走重复的路线，蚂蚁回到起点所走的路线最长是( )cm。
9．你购买了一个精美的游乐园纪念品，包装盒是一个长方体，它有( )个面，通常情况下，每个面都是( )形，特殊情况下有两个面是( )形。
10．一根长方体木料，长4dm，横截面为边长5cm的正方形，锯成3段后，表面积增加了( )cm2。
11．爸爸用一根铁丝可以做一个长、宽、高分别为6cm、4cm、2cm的长方体框架，用这根铁丝做一个正方体框架（没有剩余），这个正方体的棱长是( )cm。小新给这个正方体四周贴上纸片（上面和底面不贴），至少需要( )cm2的纸片。
12．白露是秋季的第三个节气，此时人们有饮白露茶的习俗。小敏在爸爸的帮助下炮制了一些白露茶，作为礼物送给外公。每包白露茶用棱长为8cm的正方体小盒子包装（如图），然后把它们放入右面的大礼品盒中。
(1)大礼品盒最多能放( )个正方体小盒子。
(2)小敏要用彩纸包装大礼品盒，她至少要用( )cm2的彩纸。
13．一个长方体的高增加5米后就变成了一个正方体，表面积增加了160平方米。原来长方体的表面积是( )平方米，体积是( )立方米。
14．在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。
三、判断题
15．把一个长方体切成两个小长方体，体积不变，表面积变小。( )
16．长方体的底面积扩大3倍，高不变，体积就扩大3倍。( )
17．如果一个长方体的棱长总和为60cm，那么这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度之和是10cm。( )
18．一根长12分米的长方体木棒锯成三段后，表面积增加了24平方分米，这个长方体原来的体积是72立方分米。( )
19．桃源县文化体育中心的游泳池长50米，宽60米，游泳池的容积是3000升。( )
四、计算题
20．计算下面图形的体积。

五、作图题
21．按要求画图。
如图所示，一块长方形玻璃，玻璃四周任何相邻两个点之间的长度都相等，根据边上的等分点切割分成5块后，正好能组合焊接做成一个无盖的长方体金鱼缸。下图中已经画好了它的“底面”和“前面”，请你在图中画出其余三个面。
六、解答题
22．潮汕茶文化全国闻名，现在网购发达，商家会把茶叶打包邮寄给全国各地的顾客朋友。如图，一个装茶叶的长方体纸箱，长5分米，宽4分米，高2分米。为确保邮寄时不受损坏，每个面都用胶带粘成“十”字形。至少需要多长的胶带？（接口处忽略不计）
23．学校要粉刷教室的四周墙壁和天花板。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗的面积是12平方米。如果每平方米需要涂料0.5千克，一共需要多少千克涂料？
24．德宏盈江有着“中国犀鸟谷”的美誉。为了给小犀鸟们营造一个舒适的环境，工作人员准备为小犀鸟修建一个长60厘米、宽50厘米、高35厘米的长方体鸟巢。除去犀鸟进出洞口400平方厘米，做这个鸟巢需要多少平方厘米的木板？
25．生丝是桑蚕茧缫丝后所得的产品，俗称真丝。中国生丝有悠久的历史，现代的产量占世界首位。用真丝制成的围巾具有柔软薄透的特性。某围巾店制作一批礼品袋来装真丝围巾，制作30个下面这样的礼品袋需要多少平方分米的白卡纸？（不计损耗）
26．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。
27．一个长8分米，宽6分米，高4分米的长方体玻璃缸装有水，水深2.8分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
28．水上乐园要修建一个长方体游泳池，这个游泳池长50米，宽40米，深1.5米。
(1)要在这个游泳池的底面和四壁刷一层防水材料，刷防水材料的面积是多少平方米？
(2)为了儿童安全，游泳池的水深不能超过1.2米，现在要往游泳池里注入2500立方米的水，请问现在的水深符合规定吗？
参考答案
1．C
【分析】要计算长方体盒子最多能放下的正方体木块数量，所以需要分别分析长方体的长、宽、高方向各能容纳的正方体棱长的个数。因为正方体棱长为2分米，所以分别用长方体的长、宽、高除以正方体的棱长，得到各方向可放置的数量。因为总数量是各方向可放置数量的乘积，所以将三个方向的数量相乘得到结果。
【详解】8÷2＝4（个）
6÷2＝3（个）
4÷2＝2（个）
432＝24（个）
2．D
【分析】长方体有6个面，分为3组完全相同的对面，每组对面的长和宽分别对应长方体的长、宽、高的两两组合。先明确长方体的长、宽、高，再找出对应的三组面的尺寸，最后与木板尺寸进行匹配。
【详解】长方体三组对面尺寸：4dm×2dm、4dm×3dm、2dm×3dm
①4dm×2dm：与长方体第一组对面尺寸一致
②3dm×3dm：长方体无此尺寸的面
③2dm×3dm：与长方体第三组对面尺寸一致
④4dm×3dm：与长方体第二组对面尺寸一致
需要选择的木板尺寸有①③④。
3．B
【分析】为了使得长方体的表面积最小，应使长方体的长、宽、高尽可能接近。所以可以将210分解质因数，然后再由此写成三个最接近的数相乘。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入计算即可。
【详解】210＝2×3×5×7＝5×6×7
所以当长、宽、高分别是7厘米、6厘米和5厘米时，表面积最小。
（7×6＋7×5＋6×5）×2
＝（42＋35＋30）×2
＝107×2
＝214（平方厘米）
所以，其表面积最小是214平方厘米。
故答案为：B
4．C
【分析】根据图形拼组的方法，用两块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的小长方体木块，拼成了一个大长方体，表面积最多减少长3厘米，宽2厘米的2个长方形的面积，据此解答即可。
【详解】3×2×2
＝6×2
＝12（平方厘米）
表面积最多减少12平方厘米。
故答案为：C
【点睛】本题考查了立体图形的拼组知识，结合题意分析解答即可。
5．D
【分析】先根据四个选项中前面上的图案确定展开图中哪个面是前面；再在展开图中确定好右面、上面；最后判断展开图能不能折成选项中的正方体。
【详解】
A．如图，则有前面是黑色正方形，上面是黑色圆，右面是白色圆。所以这个正方体有可能是A选项。
B．如图，即，则有前面是白色圆，上面是黑色正方形，右面是黑色圆。所以这个正方体有可能是B选项。
C．如图，即，则有前面是黑色圆，上面是白色圆，右面是黑色正方形。所以这个正方体有可能是C选项。
D．如图，折不成。所以这个正方体不可能是D选项。
故答案为：D
6．A
【分析】体积变化：原来的长方体被挖掉了一个小正方体，整体所占的空间减少，所以体积变小。
表面积变化：挖掉小正方体时，原来长方体表面积会减少3个小正方形的面积，但同时会在挖掉的位置新露出3个小正方形的面，所以表面积不变。
【详解】A．表面积不变，体积变小，说法正确。
B．表面积变小，体积变小，说法错误。
C．表面积变大，体积变小，说法错误。
D．表面积不变，体积不变，说法错误。
7．B
【分析】从表中可知三种不同包装形式的同种纯牛奶的规格、价格以及每瓶或每盒牛奶的毫升数，先根据“1升＝1000毫升”把各种规格纯牛奶每瓶或每盒的容量换算成以升为单位的数；然后根据“单价＝总价÷数量”，分别计算出三种包装每升牛奶的价格，再比较，每升牛奶的价格越低越划算。
【详解】200毫升＝0.2升
1000毫升＝1升
500毫升＝0.5升
第一种：
35.8÷（0.2×12）
＝35.8÷2.4
≈14.92（元）
第二种：
105.6÷（1×10）
＝105.6÷10
＝10.56（元）
第三种：
72.6÷（0.5×12）
＝72.6÷6
＝12.1（元）
10.56＜12.1＜14.92
买第二种包装的最划算。
故答案为：B
8．80
【分析】从一个顶点沿棱长爬行，不走重复的路程，回到起点最多走8条棱的长度。用棱长乘8可计算最长路线。
【详解】10×8＝80（cm）
9． 6 长方 正方
【分析】长方体的基本特征是有6个面，其面的形状通常为长方形，当长方体的长、宽、高中有两个量相等时，会出现两个相对的面为正方形的特殊情况，据此解答即可。
【详解】你购买了一个精美的游乐园纪念品，包装盒是一个长方体，它有6个面，通常情况下，每个面都是长方形，特殊情况下有两个面是正方形。
10．100
【分析】锯成3段需要锯2次，每次增加2个横截面，共增加4个横截面。先求出1个横截面的面积，再乘4就是增加的表面积。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
5×5×4
＝25×4
＝100（cm2）
表面积增加了100cm2。
11． 4 64
【分析】根据“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”求出铁丝的长度，再利用“正方体的棱长＝棱长总和÷12”用铁丝长度除以12求出正方体的棱长。根据给这个正方体四周贴上纸片，上面和底面不贴，最后用“棱长×棱长×4”计算需要的纸片的面积。
【详解】
这个正方体的棱长是4cm。
至少需要64cm2的纸片。
12．(1)2
(2)1300
【分析】（1）用大礼品盒的长、宽、高分别除以小正方体盒子的棱长，商就是大礼品盒的长边上、宽边上及高上最多可以容纳几个小正方体的个数，再把这3个数值相乘即可；
（2）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式得解。
【详解】（1）20÷8＝2（个）……4（cm）
15÷8＝1（个）……7（cm）
10÷8＝1（个）……2（cm）
2×1×1＝2（个）
（2）（20×15＋20×10＋15×10）×2
＝（300＋200＋150）×2
＝650×2
＝1300（cm2）
13． 224 192
【分析】增加的表面积是4个完全相同的侧面，增加的每个侧面面积＝增加的总面积÷4；原来长方体的底面边长＝增加的每个侧面面积÷增加的高；原来长方体的高＝原来长方体的底面边长－增加的高；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积＝长×宽×高。
【详解】160÷4÷5
＝40÷5
＝8（米）
8－5＝3（米）
表面积为：
（8×3＋8×3＋8×8）×2
＝（24＋24＋64）×2
＝（48＋64）×2
＝112×2
＝224（平方米）
体积为：
8×8×3
＝64×3
＝192（立方米）
14．500
【分析】石头的体积＝长方体容器的长×宽×（原来水的高度－拿出石块后水面的高度＋原来没有水的高度）。
【详解】15－3＝12（厘米）
10×10×（12－10＋3）
＝10×10×（2＋3）
＝10×10×5
＝100×5
＝500（立方厘米）
15．
×
【分析】把一个长方体切成两个小长方体，体积不变，因为切割过程中材料总量未变；但表面积会增加两个切面的面积，因此表面积会变大。
【详解】根据分析：
把一个长方体切成两个小长方体，体积不变，表面积变大。原说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】假设原来长方体的底面积和高，现在长方体的底面积＝原来长方体的底面积×3，根据“”分别求出现在和原来长方体的体积，最后求出现在长方体的体积除以原来长方体体积的商，据此解答。
【详解】假设原来长方体的底面积为S，高为h，则现在长方体的底面积为3S。
（3S×h）÷（S×h）
＝3Sh÷Sh
＝3
所以，长方体的底面积扩大3倍，高不变，体积就扩大3倍，题目说法正确。
故答案为：√
17．×
【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知相交于一个顶点的三条棱（即长、宽、高各一条）的长度之和＝棱长总和÷4。
【详解】60÷4＝15（cm）
如果一个长方体的棱长总和为60cm，那么这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度之和是15cm。
原题干说法错误。
故答案为：×
18．√
【分析】锯1次会将长方体分成2段，且增加2个面，锯2次会将长方体分成3段，且增加4个面；根据题意可知，锯成3段后，表面积增加了24平方分米，说明增加的4个横截面是24平方分米，据此求出1个横截面积，根据长方体的体积＝长×宽×高＝横截面积×长，代入数据即可求出原来长方体的体积。
【详解】24÷4＝6（平方分米）
6×12＝72（立方分米）
一根长12分米的长方体木棒锯成三段后，表面积增加了24平方分米，这个长方体原来的体积是72立方分米。原题干说法正确。
故答案为：√
19．×
【分析】根据进率“1立方米＝1000升”，把3000升换算成以“立方米”为单位的数，再结合生活实际进行判断。
【详解】3000升＝3立方米
游泳池的容积是3000升，太小了，不符合生活实际。
原题说法错误。
故答案为：×
20．①375cm3；②272cm3
【分析】①已知长方体的底面积和高，根据“长方体的体积＝底面积×高”计算体积。
②将组合体分成上下两个长方体，上面长方体的长宽高分别为6/4/3，下面长方体的长宽高分别为10/4/5，分别代入公式“长方体的体积＝长×宽×高”，最后再将上下两个长方体体积加起来即可。
【详解】①V＝Sh＝62.5×6＝375（cm3）
②V上＝a1bh1＝6×4×3＝72（cm3）
V下＝a2bh2＝10×4×5＝200（cm3）
V＝V上＋V下＝72＋200＝272（cm3）
21．见详解
【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同。无盖长方体金鱼缸的5个面分别是：底面、前后面、左右面；因为相对的面积完全一样，所以后面与前面相同，是4×2的长方形；左面和右面完全一样，且长等于底面的宽，宽等于前面的宽，据此画图。
【详解】如图：
（画法不唯一）
22．44分米
【分析】求胶带长度相当于求长方体棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。
【详解】（5＋4＋2）×4
＝11×4
＝44（分米）
答：至少需要44分米长的胶带。
23．60千克
【分析】根据题意，将教室看成是长方体，按长方体表面积公式计算，但是没有下面，且要减去门窗的面积。计算出面积后再乘每平方米需要的涂料，即可计算出一共需要多少千克的涂料。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
【详解】
＝（48＋24＋18）×2－48－12
＝90×2－48－12
＝180－48－12
＝120（平方米）
120×0.5＝60（千克）
答：一共需要60千克涂料。
24．13300平方厘米
【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出长方体的表面积，再减去洞口的面积即可得到木板的面积。
【详解】（60×50＋60×35＋50×35）×2－400
＝（3000＋2100＋1750）×2－400
＝6850×2－400
＝13700－400
＝13300（平方厘米）
答：做这个鸟巢需要13300平方厘米的木板。
25．2964平方分米
【分析】看图可知，这样的礼品袋没有上面，1个礼品袋的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此求出1个礼品袋的表面积，再乘制作的个数，即可求出需要的白卡纸面积。
【详解】
（平方分米）
答：制作30个下面这样的礼品袋需要2964平方分米的白卡纸。
26．表面积：2800平方厘米
体积：7040立方厘米
【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。
【详解】表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。
27．6.4升
【分析】先根据长方体体积＝长×宽×高，求出玻璃缸的总容积，再用长×宽×水深，求出缸里原有水的体积；接着根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，最后把原有水的体积和铁块的体积加起来，减去玻璃缸的总容积，求出溢出水的体积，再根据1立方分米＝1升，转换单位即可。
【详解】玻璃缸总容积：8×6×4
＝48×4
＝192（立方分米）
缸内原有水的体积：8×6×2.8
＝48×2.8
＝134.4（立方分米）
正方体铁块体积：4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
溢出水的体积：134.4＋64－192
＝198.4－192
＝6.4（立方分米）
6.4立方分米＝6.4升
答：缸里的水溢出6.4升。
28．(1)2270平方米
(2)不符合规定
【分析】（1）求刷防水材料的面积，就是求这个长方体游泳池5个面的面积和，根据5个面的长方体表面积=长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可解答。
（2）根据长方体体积＝长×宽×高，可得高＝体积÷（长×宽），用水池里注水的体积除以游泳池的底面积，即可求出水的深度，再与1.2米比较，即可解答。
【详解】（1）50×40＋（50×1.5＋40×1.5）×2
＝50×40＋（75＋60）×2
＝50×40＋135×2
＝2000＋270
＝2270（平方米）
答：刷防水材料的面积是2270平方米。
（2）2500÷（50×40）
＝2500÷2000
＝1.25（米）
1.25米＞1.2米
答：现在的水深不符合规定。
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