2026年高考物理二轮复习第3讲 力与曲线运动
一、选择题
1．（2025高三下·黑龙江模拟） 法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理实际生活中的下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上陶陶在距笔直的河岸10m处的A点，发现落水的琪琪位于水面上距河岸50m处的B点。陶陶在地面上奔跑的速度大小为，在水中游泳的速度大小为，奔跑、游泳均视为匀速直线运动。可知此次营救中，陶陶在陆地的速度与河岸夹角30°，在水中的速度与河岸夹角60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（ ）
A．陶陶在水中游泳的速度大小为
B．陶陶在水中游泳的速度大小为
C．陶陶到达琪琪处的最短时间为12s
D．陶陶到达琪琪处的最短时间约为16s
2．（2025·杨浦模拟）一篮球从水平面A处斜抛，落到B点，其路径曲线如图所示。已知速度越大，受到的空气阻力越大，则篮球从A运动到B的过程中（ ）
A．水平分速度一直减少 B．上升时间大于下降时间
C．在最高点时的速度最小 D．在最高点时的加速度最小
3．（2025·南宁模拟）如图所示，一倾角为的斜面固定在水平面上，可视为质点的小球以速度由点沿水平方向抛出，经过一段时间落在点，忽略一切阻力，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．小球速度最大时离斜面最远
B．小球从点运动到点的时间为
C．小球离斜面的最远距离为
D．小球离斜面的最远距离为
4．（2025·乐山模拟）如图1所示是某款小游戏，物体需要从平台A跳跃到前方更高的平台B上。假设不同的操作方式会使物体的运动轨迹出现如图2所示的两种情况，则由图2可推断出（ ）
A．轨迹甲的起跳速度较大
B．轨迹乙的运动时间较长
C．两条轨迹最高点速度相同
D．两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同
5．（2025·萧山模拟）在同一竖直平面内距离地面高度为处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（ ）
A．L B． C． D．
6．（2024高三下·宁波模拟） 如图所示，厨师在展示厨艺时，将蛋糕放置在一水平托盘上，并控制托盘做竖直平面内半径为的匀速圆周运动，托盘始终保持水平。蛋糕可视为质点，与托盘之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。若蛋糕始终与托盘保持相对静止，则托盘做匀速圆周运动的最大速率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·宜宾模拟）消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（ ）
A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B．乙水枪喷出的水初速度较大
C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
8．（2025高三上·长沙模拟）如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在点，另一端固定一质量为的小球。小球从点由静止开始摆下，先后经过两点，点分别位于点的正上方和正下方，点与点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．小球在B点受到的合力大小为
B．小球在点受到的合力大小为
C．从到的过程，杆对小球的弹力最大值为
D．从到的过程，杆对小球的弹力最小值为
9．（2024高一下·开远期中）“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·浙江模拟）无动力帆船依靠风力垂直河岸渡河。船头正指对岸，通过调整帆面位置使风向垂直于帆面，此时帆面与航向间的夹角为θ。若风力的大小为F，河水沿平行河岸方向的阻力恒为，沿垂直河岸方向的阻力大小（k为比例系数，v为航行速度），则帆船（ ）
A．先做加速度增大的加速运动，后匀速运动
B．航行时的最大速度为
C．若风力大小加倍，最大速度也加倍
D．若风力大小增大，为保持航向不变，θ也增大
11．（2024高三下·浙江模拟）如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度摆下。不计细绳与钉子碰撞的能量损失，不计空气阻力，则（ ）
A．若A高于小球摆下的初位置，则A离O点越近，小球运动到右侧最高点时加速度就越大
B．若A高于小球摆下的初位置，则A离O点越近，小球运动到右侧最高点时，细绳的拉力就越大
C．由于机械能守恒，无论A离O点多远（小于绳长），小球总能上升到原来高度
D．如果A与小球摆下的初位置等高，则小球在运动的过程中有可能撞到钉子
12．（2025·长沙模拟）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．x的最小值为 B．x的最小值为
C．y的最小值为 D．y的最小值为
二、多项选择题
13．（2025·湖北模拟）用长为L的轻杆连接两个小球a、b（可视为质点），其质量分别为m和，竖直杆光滑，水平地面粗糙，两球与地面间的动摩擦因数相同，当a球穿在竖直杆上，b球在地面上，轻杆与竖直方向夹角，如图甲所示，此时系统恰好保持静止。现将系统倒置，b球穿在竖直杆上，a球在地面上，轻杆与竖直方向夹角仍为，如图乙所示，已知，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．a、b球与地面间的动摩擦因数为0.25
B．图乙时，系统仍保持静止状态
C．图乙中给b球向下初速度，当轻杆与竖直方向夹角为53°时，a、b两球速度大小之比为3∶4
D．图乙时，给b球轻微扰动使b球下滑，可以求出小球b落地时速度大小
14．（2025·汕头模拟）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面三点的飞镖，下列说法错误的是（ ）
A．射中点的飞镖射出时的速度最小
B．射中点的飞镖射出时的速度最小
C．射中点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中、两点的飞镖空中飞行时间相等
15．（2025·禅城模拟）图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．末喷头的速度大小为
B．喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P
C．末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为
D．末喷头离打印平台中心的距离为
16．（2025·市中区模拟）桂北全州县大西江镇，在红七军走过的湘桂古道上有一座古炮台。如图所示，炮筒与水平面夹角为α，炮筒口离地面的距离为h。已知炮弹从炮筒口发射的速率为v0，当地重力加速度为g，不计阻力，下列说法正确的有（ ）
A．若α角确定，炮弹离地面的最大高度为
B．若α角确定，炮弹从炮筒口运动到最高点所用时间为
C．若α角不确定，炮弹水平射程的最大值为
D．若α角不确定，炮弹水平射程的最大值为
17．（2024高三下·射洪模拟）如图所示，在M点的正上方离地高H处以水平速度v1向右投掷一飞盘P，反应灵敏的小狗Q同时在M点右方水平地面上的N点以速度v2斜向左上方跳出，结果飞盘P和小狗Q恰好在M、N连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞盘和小狗速度的变化量相等
B．飞盘和小狗相遇点在距离地面高度处
C．初速度大小关系一定是
D．小狗相对飞盘做匀加速直线运动
三、非选择题
18．（2024高三下·广东模拟）如图所示，倾角的足够长斜面固定于水平地面上，将一小球（可视为质点）从斜面底端O以速度斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为。经历一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角的正切值。
（2）小球到斜面的最大距离。
（3）小球到水平地面的最大高度。
19．（2024高三下·成都模拟） 掷飞镖是在现在体育项目中一个重要的比赛项目．如图所示，现有一运动员从同一位置先后水平掷出两支相同的飞镖，落在同一竖直标靶上，飞镖A与竖直标靶成角，B与竖直标靶成角，落点相距为d，不计空气阻力，则：
（1）飞镖A与B在空中飞行的时间之比为多少？
（2）该运动员郑飞镖的位置与标靶的水平距离为多少？
20．（2024·浙江模拟）如图所示，半径的光滑半圆环轨道固定在竖直平面内，半圆环与光滑水平地面相切于圆环最低点，质量的小球以初速度从点冲上竖直圆环，沿轨道运动到点飞出，最后落在水平地面上的点，取，不计空气阻力。
（1）求小球运动到轨道末端点时的速度；
（2）求、两点间的距离结果可用根号表示；
（3）若小球以不同的初速度冲上竖直圆环，并沿轨道运动到点飞出落在水平地面上。求小球落点与点间的最小距离。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】运动的合成与分解；小船渡河问题分析
【解析】【解答】本题考查了小船渡河问题，理解合速度和分速度的关系是解决此类问题的关键。小船过河问题的本质依旧是速度的合成与分解，需要牢记的是不同方向上的分速度相互独立，互不影响。
AB．设陶陶在陆地的速度为v1 ，与河岸夹角为；在水中的速度为，与河岸夹角为 ，将陶陶的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，在陆地时，垂直河岸方向分速度
在水中时，垂直河岸方向分速度
因为要保证最省时，也就是整个运动过程中垂直河岸方向要以最大的有效速度去通过相应的距离，所以各段垂直河岸方向的分速度应该相等，即
解得
故A正确，B错误。
CD．首先计算垂直河岸方向需要通过的总距离，在陆地上距离河岸10m，在水中距离河岸50m，所以垂直河岸方向总的距离
d10+5060m
而垂直河岸方向的分速度
vy v1 sinα2.5m/s
（前面已分析各段垂直河岸方向分速度相等）。
则最短时间
故CD 错误。
故答案为：A。
【分析】根据要保证最省时，整个运动过程中垂直河岸方向要以最大的有效速度去通过相应的距离，各段垂直河岸方向的分速度应该相等，结合垂直河岸方向总的距离与分速度分析求解。
2．【答案】A
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】A．篮球从A运动到B的过程中，由于空气阻力一直存在水平方向的分力，且与水平速度方向相反，则篮球的水平分速度一直减少，故A正确；
B．上升过程空气阻力的竖直分力向下，下降过程空气阻力的竖直分力向上，则上升阶段在竖直方向所受合力大于下降阶段在竖直方向所受合力，上升过程的平均加速度一定大于下降过程的平均加速度，将竖直上升看成逆向运动，根据，由于上升高度与下降高度相同，则上升时间小于下降时间，故B错误；
C．炮弹在最高点时，受到的重力竖直向下，空气阻力水平向左，则此时炮弹受到的合力方向斜向左下方，此时合力与速度方向的夹角大于，则炮弹将继续做减速运动，所以炮弹在最高点时的速度不是最小，故C错误；
D．对炮弹进行受力分析，炮弹在最高点时，受到的重力竖直向下，空气阻力水平向左；炮弹继续向下运动过程，由于空气阻力的竖直分力向上，则炮弹在竖直方向的合力小于重力，炮弹在水平方向的合力等于空气阻力的水平分力，且大小逐渐减小，根据力的合成可知，炮弹在最高点所受合力不是最小，所以炮弹在最高点时的加速度不是最小，故D错误。
故选A。
【分析】一、空气阻力的影响特点
阻力方向始终与速度方向相反。
水平方向：阻力分力与水平速度反向 → 水平速度持续减小。
竖直方向：阻力分力方向与竖直速度方向相反，影响上升和下降阶段的加速度。
二、水平速度变化
水平方向仅受阻力分力（与运动方向相反）→ 水平速度单调递减
三、上升与下降阶段对比
加速度比较：上升：竖直速度向上，阻力竖直分力向下 → 合力 →
下降：竖直速度向下，阻力竖直分力向上 → 合力 →
时间比较：竖直位移大小相等，上升平均加速度更大 → 上升时间更短
四、速度最小值的位置
上升过程：水平、竖直速度均减小 → 合速度减小。
最高点：竖直速度为 0，水平速度因阻力继续减小。
下降过程：水平速度继续减小，竖直速度增加，但初期竖直速度较小，总速度可能继续减小一段，达到最小速度点在最高点之后某位置。
五、加速度最小值的位置
加速度由合力（重力 + 阻力）决定。
最高点合力为重力与水平阻力的矢量和，大小并非最小。
下降过程阻力竖直分力向上，可能衡部分重力 → 合力可能更小 → 加速度最小值出现在下降阶段某处。
六、关键物理规律
牛顿第二定律在变力（阻力随速度变化）中的应用。
运动的分解与合成：分别分析水平和竖直方向的运动。
能量观点：阻力做负功，机械能持续减少。
3．【答案】D
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】本题考查了平抛运动问题，根据题意分析清楚小球的运动过程是解题的前提，应用运动的合成与分解、运动学公式即可解题。A．小球做平抛运动，做匀加速曲线运动，小球落到斜面上的P点时速度最大，故A错误；
B．小球可以分解为沿斜面方向的匀加速直线运动与垂直于斜面方向的类竖直上抛运动，小球从O点运动到P点的时间
故B错误；
CD．小球离斜面的最远距离
故C错误，D正确。
故选D。
【分析】小球做平平抛运动，水平方向匀速运动，竖直方向自由落体运动，根据小球的运动过程应用运动学公式分析答题。
4．【答案】D
【知识点】斜抛运动；功率及其计算
【解析】【解答】B．斜抛运动的分解，水平方向：匀速直线运动（速度分量 不变），竖直方向：竖直上抛运动（初速度分量 ，加速度 向下），关键条件：最大高度相同 → 竖直初速度 相同，落地时间相同 → 由竖直运动对称性决定（上升时间 = 下落时间），水平射程不同 → 水平初速度 不同（乙的 更大），故B错误；
AC．由于轨迹甲和乙落地点的距离不同，且它们在空中运动的时间相等，根据水平方向的匀速直线运动规律可知，轨迹乙水平方向的初速度分量较大，即乙轨迹最高点速度大，上升高度相等，竖直初速度也相等，根据速度的合成可知，轨迹乙初速度较大，故AC错误；
D．由图可知轨迹甲乙上升的高度相同，竖直分速度相同，根据瞬时功率表达式，可知两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同，故D正确。
故选D。
【分析】1、斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
2、当抛体上升和下落的高度相同时，运动时间相等。题目中两条轨迹的最大高度相同，且落回同一水平面，因此它们的总运动时间相同。
3、在相同运动时间下，水平射程越大，说明水平初速度越大。轨迹乙的水平射程更大，表明其水平初速度分量较大。
4、初速度是水平分速度和竖直分速度的矢量和。虽然两条轨迹的竖直初速度相同，但由于轨迹乙的水平初速度更大，因此其合初速度也更大。
5、重力瞬时功率P=mgv_y，取决于竖直分速度。两条轨迹在起跳时的竖直分速度相同，因此起跳瞬间的重力功率相同。
5．【答案】A
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】设球网高为，两球在水平方向上做匀速直线运动，则有
对于斜向下抛的网球则有
对于斜向上抛的网球则有
联立解得
故答案为：A。
【分析】将斜抛运动分解为水平匀速和竖直匀变速运动，通过时间相等建立两球的竖直位移关系，结合三角函数化简得到高度差。
6．【答案】B
【知识点】牛顿第二定律；竖直平面的圆周运动
【解析】【解答】 ：蛋糕转至左上或右上两侧时，且当摩擦力达到最大静摩擦力时，托盘做匀速圆周运动的速率最大，设托盘给蛋糕最大静摩擦力为f，支持力为N，对于右上方或左上方可以得到
又f=μN
两个式联立可以解得，当 时，速度有最大值，则解得
故B正确，ACD错误。
故选：B。
【分析】 由于蛋糕做竖直面内的匀速圆周运动，合力提供向心力，合力大小不变方向变化，转至左右两侧时静摩擦力提供向心力，最高和最低点重力和支持力合力提供向心力，不受摩擦力；而在其余的位置，竖直方向重力与支持力的合力与水平方向摩擦力的矢量合提供向心力，对此列式，然后由代数关系判断速度最大值的条件，并求出最大速度。
7．【答案】B
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】本题结合两个斜抛运动模型考查学生对斜抛运动的理解，其中灵活运用运动的合成与分解，运用逆向思维将竖直方向分运动视为反向的自由落体运动为解决本题的关键。AB．水在上升过程中做斜抛运动，到达最高点过程，斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，令喷出水的初速度与水平方向夹角为，利用逆向思维有
解得
根据图示可知，竖直方向高度相等，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确；
C．斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，根据图示可知，高度相等，利用逆向思维有
根据对称性可知，上升与下降时间相等，水枪喷出的水在空中运动的时间
解得
即甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误；
D．斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度
结合上述可知，甲喷水速度小于乙喷水速度，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。
故选B。
【分析】水的运动可看作斜抛运动，将斜抛运动分解到水平和竖直方向，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动。竖直上抛运动上升过程和下降过程具有对称性，时间相同，竖直方向的初速度和末速度大小相等。
8．【答案】C
【知识点】竖直平面的圆周运动；动能定理的综合应用
【解析】【解答】A．从A到B根据动能定理，有
小球运动到水平位置B时，竖直方向有
水平方向有
所以小球在B点受到的合力大小为
故A错误；
BC．从A到C根据动能定理，有
根据牛顿第二定律，有
解得
此时杆的弹力最大，则有
解得
故B错误，C正确；
D．从A运动到C的过程中，在A点杆对球的力沿杆向外，B点杆对球的力沿杆向内，AB某处，杆度球的弹力最小为零，故D错误。
故选C。
【分析】A、从A到B根据动能定理求解B点速度，由向心力求解轻杆拉力，求解拉力与重力的合力；
BC、从A到C根据动能定理，求解C点速度，C点合力提供向心力，进一步求解最大弹力；
D、从A运动到C的过程中，在A点杆对球的力沿杆向外，B点杆对球的力沿杆向内，AB某处，杆度球的弹力最小为零。
9．【答案】C
【知识点】运动的合成与分解
【解析】【解答】每次与水面碰撞后，水平速度减小（导致水平方向运动变慢），每次与水面碰撞后，竖直速度减小，可知竖直小球上升的高度逐渐减小，根据，可知瓦片在空中的时间逐渐减小，水平方向有，可知瓦片在空中通过水平位移逐渐减小，故ABD错误，C正确。
故选C。
【分析】瓦片和水面相撞后，竖直方向速度大小减小，则竖直小球上升的高度逐渐减小，竖直方向上抛运动，瓦片在空中的时间逐渐减小，每碰一次水平方向减小，则通过水平位移逐渐减小。
10．【答案】D
【知识点】力的分解；牛顿第二定律；运动的合成与分解
【解析】【解答】A．垂直航向受力平衡，沿航向，知先做加速度减小的加速运动，后匀速运动，故A错误；
B．根据题意可得解得，故B错误；
C．风力大小加倍，垂直航线方向不再平衡而产生加速度，速度不再沿船头指向，故C错误；
D．根据题意，知F增大时，θ也增大，故D正确。
故选D。
【分析】此题研究两分运动，沿水流方向受力平衡，风力的分力与 沿平行河岸方向的阻力平衡，沿航向有风力的分力和沿垂直河岸方向的阻力，根据牛顿第二定律可知加速度减小的加速运动，后匀速运动。加速度为零时速度最大。
11．【答案】B
【知识点】牛顿第二定律；竖直平面的圆周运动；机械能守恒定律
【解析】【解答】AB、A离O点越近，小球运动到右侧最高点时，摆角就越小，则小球加速度
故加速度越小，而绳的拉力
故绳子拉力越大，故A错误，B正确；
C、当A低于小球开始摆下的高度时，小球摆动到右侧绕A运动，到达最高点时速度不为零，此时小球不能上升到原来高度，故C错误；
D、如果小球摆下的初位置与A等高，则小球总是绕O或绕A作圆周运动（来回摆动），不可能撞到钉子，故D错误。
故答案为：B。
【分析】当A点在开始下摆的等高处与O点之间时，小球碰到钉子后，仍做单摆运动，当A点在开始下摆的等高处下方（含等高处）时，小球碰到钉子后，以钉子为圆心做圆周运动。再根据小球的运动类型，根据运动情况结合力的合成与分解及牛顿第二定律进行分析。
12．【答案】C
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】本题考查对合运动与分运动的关联，清楚两者的关系。CD．弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短
y的最小值为
故C正确，D错误；
AB．由于
则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为
此时x的最小值为L，故AB错误。
故选C。
【分析】将弹珠的运动分解成水平、竖直两个方向的分运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动。
13．【答案】A,C
【知识点】共点力的平衡；运动的合成与分解；机械能守恒定律
【解析】【解答】A．图甲时，选系统为研究对象，受四个力（重力，地面支持力N，墙壁弹力F，地面摩擦力f），有，
选a球为研究对象，有联立，解得，故A正确；
B．图乙中，选为研究对象：墙的弹力墙（为杆与竖直方向夹角）。初始时，墙，而最大静摩擦力墙，系统无法静止，故B错误；
C．图乙中给b球向下初速度，当轻杆与竖直方向夹角为53°时，a、b两球速度分别为和，两小球沿杆子方向速度相同，有，解得，故C正确；
D．图乙时，b球落地过程，a球的速度由零先增大后减小到零，杆子上力由压力变为拉力，a球对地面压力由小于系统重力到大于系统重力，不能求出摩擦力所做的功，不能计算出b球落地时速度大小，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】先通过图甲的静止状态求动摩擦因数，再分析图乙的受力平衡，结合轻杆连接体的速度关联（沿杆分速度相等）分析速度比，最后判断能量问题的可解性。
14．【答案】A,B
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有
联立解得
因为
可知飞镖射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q点的飞镖空中飞行时间最长，即
又因为
则有
可知平抛初速度最小的是射中Q点的，所以AB错误，符合题意，CD正确，不符合题意。
故选AB。
【分析】飞镖做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速运动，根据飞镖运动轨迹结合自由落体运动和匀速运动规律列式解答。
15．【答案】B,C,D
【知识点】运动的合成与分解
【解析】【解答】解决本题的关键知道质点在x方向和y方向上的运动规律，根据平行四边形定则进行合成，注意掌握曲线运动的条件。A．由图乙可知，在x轴方向做匀速直线运动，速度大小为
由图丙可知，在y轴方向做匀加速直线运动，加速度大小为
末喷头在y轴的分速度大小为
末喷头的速度大小为
故A错误；
B．由以上分析可知，喷头在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，所以合力沿y轴方向，所以轨迹可能为P，故B正确；
C．末喷头沿y轴方向的分速度大小为
设末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为，则
解得
故C正确；
D．末喷头沿x轴的位移大小为
在y轴方向的位移大小为
所以，末喷头离打印平台中心的距离为
故D正确。
故选BCD。
【分析】依据两图像可知：质点在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀加速运动，结合运动的合成与分解，即可判定运动性质；求出y方向的分速度，然后根据平行四边形定则，得出质点的速度大小与方向；分别求出质点沿x方向的位移与y方向的位移，然后根据平行四边形定则求解1s时质点的位移。
16．【答案】B,C
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】本题考查了斜上抛运动，根据炮弹的运动过程，应用运动的合成与分解、运动学公式即可解题。AB．若α角确定，炮弹从炮筒口运动到最高点时，竖直方向速度为零，则
所以炮弹离地面的最大高度为
故A错误，B正确；
CD．将炮弹的运动沿射出方向和竖直方向分解，则沿射出方向为匀速运动，竖直方向为自由落体运动，设水平位移为x，根据几何关系可得
根据数学知识可得，当
时，x2有最大值，且
所以
故C正确，D错误。
故选BC。
【分析】炮弹做斜上抛运动，可以分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动，根据炮弹的运动过程应用运动学公式分析求解。
17．【答案】A,C
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】解决相遇类问题的突破点在于不同的物体在同一时刻到达同一位置，通过时间和位移的关系将两个运动联系起来，再计算相关参数。A．飞盘和小狗分别做平抛和斜上抛运动，根据
可知飞盘和小狗速度的变化量相等，故A正确；
C．因为飞盘和小狗恰好在M、N两点连线中点的正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又因为运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即
可得
故C正确；
B．根据题意可知飞盘和小狗运动的时间相同，因为不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以不能判断飞盘和小狗相遇点距离地面的高度，故B错误；
D．飞盘和小狗都只受到重力作用，都做匀变速运动，加速度相同，所以小狗相对飞盘做匀速直线运动，故D错误。
故选AC。
【分析】根据速度公式可知速度变化量是否相等；通过运动的分解，结合题干中在MN中点上方相遇这一条件可判断初速度大小关系；通过分析题干中已知信息，由于不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以无法确定相遇点的高度，同时由于MN距离未知，所以无法确定飞盘最终落点位置。
18．【答案】（1）解：小球抛出后，将小球的速度与重力分别沿斜面与垂直于斜面分解，则小球在这两个方向上均做匀变速直线运动。小球以垂直于斜面方向的速度撞击在斜面上的P点，表明此时沿斜面方向的分速度恰好减为0，根据对称性，小球打在P点时垂直于斜面方向的分速度与抛出时垂直于斜面方向的分速度等大反向
在沿斜面方向上，有
在垂直于斜面的方向上，有
则小球抛出时的速度方向与斜面夹角的正切值。
（2）解：由（1）解得，
当小球垂直于斜面的分速度减为0时，距离斜面最远，则有
解得。
（3）解：小球做斜抛运动，将其运动沿水平与竖直方向分解，当球体到达最高点时，竖直方向的速度减为0
则有
解得.
【知识点】运动的合成与分解；斜抛运动
【解析】【分析】（1）将初速度与加速度均分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，小球在两个方向上都是匀变速直线运动，利用运动时间t相同建立两个方向的等式，进而可得tanα；
（2）小球在垂直于斜面方向速度变为0时，距斜面的距离最大；
（3）小球沿竖直方向速度变为0时，距水平地面的距离最大。
19．【答案】（1）飞镖A做平抛运动
由几何关系
飞镖B做平抛运动
由几何关系
联立解得
（2）解：A、B在竖直面内做自由落体运动
联立解得，该运动员郑飞镖的位置与标靶的水平距离为
【知识点】平抛运动
【解析】【分析】（1）飞镖在空中做平抛运动，根据题意可知两飞镖在水平方向的位移相等，再根据平抛运动规律及两飞镖在A、B位置速度夹角进行解答；
（2）根据题意确定两飞镖在竖直方向的位移与落点之间的关系，再结合平抛运动规律结合（1）中结论进行解答。
20．【答案】（1）解：由到的过程，由机械能守恒定律得
解得
（2）解：由平抛运动规律得，
解得。
（3）解：设小球运动到点时半圆环轨道对小球的压力为，则小球做圆周运动所需的向心力为
当时，小球运动到轨道末端时的速度最小，最小速度
最小距离
联立解得。
【知识点】平抛运动；竖直平面的圆周运动；机械能守恒定律
【解析】【分析】（1）确定小球从A运动到B的过程，小球各力的做功情况，再根据机械能守恒定律进行解答；
（2）小球从B点飞出后做平抛运动，确定小球做平抛运动在竖直方向的位移，再根据平抛运动规律进行解答；
（3）小球从B点飞出后做平抛运动，竖直方向的高度一定，即小球做平抛运动的时间一定，要求落点与A点的距离最小，则小球做平抛运动的初速度最小。小球能冲上圆环，则当小球恰好能到达B点时，小球抛出的初速度达到最小值，此时小球与轨道的作用力为零，再根据牛顿第二定律及平抛运动规律进行解答。
1 / 12026年高考物理二轮复习第3讲 力与曲线运动
一、选择题
1．（2025高三下·黑龙江模拟） 法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出光线传播的路径是所需时间最少的路径，即费马原理，光的折射即遵从这一原理实际生活中的下述现象也可类比折射定律来理解。如图所示，地面上陶陶在距笔直的河岸10m处的A点，发现落水的琪琪位于水面上距河岸50m处的B点。陶陶在地面上奔跑的速度大小为，在水中游泳的速度大小为，奔跑、游泳均视为匀速直线运动。可知此次营救中，陶陶在陆地的速度与河岸夹角30°，在水中的速度与河岸夹角60°将最省时。由题中信息和所学物理知识可知（ ）
A．陶陶在水中游泳的速度大小为
B．陶陶在水中游泳的速度大小为
C．陶陶到达琪琪处的最短时间为12s
D．陶陶到达琪琪处的最短时间约为16s
【答案】A
【知识点】运动的合成与分解；小船渡河问题分析
【解析】【解答】本题考查了小船渡河问题，理解合速度和分速度的关系是解决此类问题的关键。小船过河问题的本质依旧是速度的合成与分解，需要牢记的是不同方向上的分速度相互独立，互不影响。
AB．设陶陶在陆地的速度为v1 ，与河岸夹角为；在水中的速度为，与河岸夹角为 ，将陶陶的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，在陆地时，垂直河岸方向分速度
在水中时，垂直河岸方向分速度
因为要保证最省时，也就是整个运动过程中垂直河岸方向要以最大的有效速度去通过相应的距离，所以各段垂直河岸方向的分速度应该相等，即
解得
故A正确，B错误。
CD．首先计算垂直河岸方向需要通过的总距离，在陆地上距离河岸10m，在水中距离河岸50m，所以垂直河岸方向总的距离
d10+5060m
而垂直河岸方向的分速度
vy v1 sinα2.5m/s
（前面已分析各段垂直河岸方向分速度相等）。
则最短时间
故CD 错误。
故答案为：A。
【分析】根据要保证最省时，整个运动过程中垂直河岸方向要以最大的有效速度去通过相应的距离，各段垂直河岸方向的分速度应该相等，结合垂直河岸方向总的距离与分速度分析求解。
2．（2025·杨浦模拟）一篮球从水平面A处斜抛，落到B点，其路径曲线如图所示。已知速度越大，受到的空气阻力越大，则篮球从A运动到B的过程中（ ）
A．水平分速度一直减少 B．上升时间大于下降时间
C．在最高点时的速度最小 D．在最高点时的加速度最小
【答案】A
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】A．篮球从A运动到B的过程中，由于空气阻力一直存在水平方向的分力，且与水平速度方向相反，则篮球的水平分速度一直减少，故A正确；
B．上升过程空气阻力的竖直分力向下，下降过程空气阻力的竖直分力向上，则上升阶段在竖直方向所受合力大于下降阶段在竖直方向所受合力，上升过程的平均加速度一定大于下降过程的平均加速度，将竖直上升看成逆向运动，根据，由于上升高度与下降高度相同，则上升时间小于下降时间，故B错误；
C．炮弹在最高点时，受到的重力竖直向下，空气阻力水平向左，则此时炮弹受到的合力方向斜向左下方，此时合力与速度方向的夹角大于，则炮弹将继续做减速运动，所以炮弹在最高点时的速度不是最小，故C错误；
D．对炮弹进行受力分析，炮弹在最高点时，受到的重力竖直向下，空气阻力水平向左；炮弹继续向下运动过程，由于空气阻力的竖直分力向上，则炮弹在竖直方向的合力小于重力，炮弹在水平方向的合力等于空气阻力的水平分力，且大小逐渐减小，根据力的合成可知，炮弹在最高点所受合力不是最小，所以炮弹在最高点时的加速度不是最小，故D错误。
故选A。
【分析】一、空气阻力的影响特点
阻力方向始终与速度方向相反。
水平方向：阻力分力与水平速度反向 → 水平速度持续减小。
竖直方向：阻力分力方向与竖直速度方向相反，影响上升和下降阶段的加速度。
二、水平速度变化
水平方向仅受阻力分力（与运动方向相反）→ 水平速度单调递减
三、上升与下降阶段对比
加速度比较：上升：竖直速度向上，阻力竖直分力向下 → 合力 →
下降：竖直速度向下，阻力竖直分力向上 → 合力 →
时间比较：竖直位移大小相等，上升平均加速度更大 → 上升时间更短
四、速度最小值的位置
上升过程：水平、竖直速度均减小 → 合速度减小。
最高点：竖直速度为 0，水平速度因阻力继续减小。
下降过程：水平速度继续减小，竖直速度增加，但初期竖直速度较小，总速度可能继续减小一段，达到最小速度点在最高点之后某位置。
五、加速度最小值的位置
加速度由合力（重力 + 阻力）决定。
最高点合力为重力与水平阻力的矢量和，大小并非最小。
下降过程阻力竖直分力向上，可能衡部分重力 → 合力可能更小 → 加速度最小值出现在下降阶段某处。
六、关键物理规律
牛顿第二定律在变力（阻力随速度变化）中的应用。
运动的分解与合成：分别分析水平和竖直方向的运动。
能量观点：阻力做负功，机械能持续减少。
3．（2025·南宁模拟）如图所示，一倾角为的斜面固定在水平面上，可视为质点的小球以速度由点沿水平方向抛出，经过一段时间落在点，忽略一切阻力，重力加速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．小球速度最大时离斜面最远
B．小球从点运动到点的时间为
C．小球离斜面的最远距离为
D．小球离斜面的最远距离为
【答案】D
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】本题考查了平抛运动问题，根据题意分析清楚小球的运动过程是解题的前提，应用运动的合成与分解、运动学公式即可解题。A．小球做平抛运动，做匀加速曲线运动，小球落到斜面上的P点时速度最大，故A错误；
B．小球可以分解为沿斜面方向的匀加速直线运动与垂直于斜面方向的类竖直上抛运动，小球从O点运动到P点的时间
故B错误；
CD．小球离斜面的最远距离
故C错误，D正确。
故选D。
【分析】小球做平平抛运动，水平方向匀速运动，竖直方向自由落体运动，根据小球的运动过程应用运动学公式分析答题。
4．（2025·乐山模拟）如图1所示是某款小游戏，物体需要从平台A跳跃到前方更高的平台B上。假设不同的操作方式会使物体的运动轨迹出现如图2所示的两种情况，则由图2可推断出（ ）
A．轨迹甲的起跳速度较大
B．轨迹乙的运动时间较长
C．两条轨迹最高点速度相同
D．两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同
【答案】D
【知识点】斜抛运动；功率及其计算
【解析】【解答】B．斜抛运动的分解，水平方向：匀速直线运动（速度分量 不变），竖直方向：竖直上抛运动（初速度分量 ，加速度 向下），关键条件：最大高度相同 → 竖直初速度 相同，落地时间相同 → 由竖直运动对称性决定（上升时间 = 下落时间），水平射程不同 → 水平初速度 不同（乙的 更大），故B错误；
AC．由于轨迹甲和乙落地点的距离不同，且它们在空中运动的时间相等，根据水平方向的匀速直线运动规律可知，轨迹乙水平方向的初速度分量较大，即乙轨迹最高点速度大，上升高度相等，竖直初速度也相等，根据速度的合成可知，轨迹乙初速度较大，故AC错误；
D．由图可知轨迹甲乙上升的高度相同，竖直分速度相同，根据瞬时功率表达式，可知两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同，故D正确。
故选D。
【分析】1、斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
2、当抛体上升和下落的高度相同时，运动时间相等。题目中两条轨迹的最大高度相同，且落回同一水平面，因此它们的总运动时间相同。
3、在相同运动时间下，水平射程越大，说明水平初速度越大。轨迹乙的水平射程更大，表明其水平初速度分量较大。
4、初速度是水平分速度和竖直分速度的矢量和。虽然两条轨迹的竖直初速度相同，但由于轨迹乙的水平初速度更大，因此其合初速度也更大。
5、重力瞬时功率P=mgv_y，取决于竖直分速度。两条轨迹在起跳时的竖直分速度相同，因此起跳瞬间的重力功率相同。
5．（2025·萧山模拟）在同一竖直平面内距离地面高度为处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（ ）
A．L B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】设球网高为，两球在水平方向上做匀速直线运动，则有
对于斜向下抛的网球则有
对于斜向上抛的网球则有
联立解得
故答案为：A。
【分析】将斜抛运动分解为水平匀速和竖直匀变速运动，通过时间相等建立两球的竖直位移关系，结合三角函数化简得到高度差。
6．（2024高三下·宁波模拟） 如图所示，厨师在展示厨艺时，将蛋糕放置在一水平托盘上，并控制托盘做竖直平面内半径为的匀速圆周运动，托盘始终保持水平。蛋糕可视为质点，与托盘之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。若蛋糕始终与托盘保持相对静止，则托盘做匀速圆周运动的最大速率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】牛顿第二定律；竖直平面的圆周运动
【解析】【解答】 ：蛋糕转至左上或右上两侧时，且当摩擦力达到最大静摩擦力时，托盘做匀速圆周运动的速率最大，设托盘给蛋糕最大静摩擦力为f，支持力为N，对于右上方或左上方可以得到
又f=μN
两个式联立可以解得，当 时，速度有最大值，则解得
故B正确，ACD错误。
故选：B。
【分析】 由于蛋糕做竖直面内的匀速圆周运动，合力提供向心力，合力大小不变方向变化，转至左右两侧时静摩擦力提供向心力，最高和最低点重力和支持力合力提供向心力，不受摩擦力；而在其余的位置，竖直方向重力与支持力的合力与水平方向摩擦力的矢量合提供向心力，对此列式，然后由代数关系判断速度最大值的条件，并求出最大速度。
7．（2025·宜宾模拟）消防员在一次用高压水枪灭火的过程中，消防员同时启动了多个喷水口进行灭火。有甲、乙靠在一起的高压水枪，它们喷出的水在空中运动的轨迹曲线如图所示，已知两曲线在同一竖直面内，忽略空气阻力，则（ ）
A．甲、乙水枪喷出的水初速度相等
B．乙水枪喷出的水初速度较大
C．乙水枪喷出的水在空中运动的时间较长
D．甲水枪喷出的水在最高点的速度较大
【答案】B
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】本题结合两个斜抛运动模型考查学生对斜抛运动的理解，其中灵活运用运动的合成与分解，运用逆向思维将竖直方向分运动视为反向的自由落体运动为解决本题的关键。AB．水在上升过程中做斜抛运动，到达最高点过程，斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，令喷出水的初速度与水平方向夹角为，利用逆向思维有
解得
根据图示可知，竖直方向高度相等，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则乙水枪喷出的水初速度较大，故A错误，B正确；
C．斜抛运动竖直方向做竖直上抛运动，根据图示可知，高度相等，利用逆向思维有
根据对称性可知，上升与下降时间相等，水枪喷出的水在空中运动的时间
解得
即甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相等，故C错误；
D．斜抛运动水平方向做匀速直线运动，则水在最高点的速度
结合上述可知，甲喷水速度小于乙喷水速度，甲喷出的初速度与水平方向夹角大一些，则甲水枪喷出的水在最高点的速度较小，故D错误。
故选B。
【分析】水的运动可看作斜抛运动，将斜抛运动分解到水平和竖直方向，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动。竖直上抛运动上升过程和下降过程具有对称性，时间相同，竖直方向的初速度和末速度大小相等。
8．（2025高三上·长沙模拟）如图，在竖直平面内，轻杆一端通过转轴连接在点，另一端固定一质量为的小球。小球从点由静止开始摆下，先后经过两点，点分别位于点的正上方和正下方，点与点等高，不考虑摩擦及空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．小球在B点受到的合力大小为
B．小球在点受到的合力大小为
C．从到的过程，杆对小球的弹力最大值为
D．从到的过程，杆对小球的弹力最小值为
【答案】C
【知识点】竖直平面的圆周运动；动能定理的综合应用
【解析】【解答】A．从A到B根据动能定理，有
小球运动到水平位置B时，竖直方向有
水平方向有
所以小球在B点受到的合力大小为
故A错误；
BC．从A到C根据动能定理，有
根据牛顿第二定律，有
解得
此时杆的弹力最大，则有
解得
故B错误，C正确；
D．从A运动到C的过程中，在A点杆对球的力沿杆向外，B点杆对球的力沿杆向内，AB某处，杆度球的弹力最小为零，故D错误。
故选C。
【分析】A、从A到B根据动能定理求解B点速度，由向心力求解轻杆拉力，求解拉力与重力的合力；
BC、从A到C根据动能定理，求解C点速度，C点合力提供向心力，进一步求解最大弹力；
D、从A运动到C的过程中，在A点杆对球的力沿杆向外，B点杆对球的力沿杆向内，AB某处，杆度球的弹力最小为零。
9．（2024高一下·开远期中）“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】运动的合成与分解
【解析】【解答】每次与水面碰撞后，水平速度减小（导致水平方向运动变慢），每次与水面碰撞后，竖直速度减小，可知竖直小球上升的高度逐渐减小，根据，可知瓦片在空中的时间逐渐减小，水平方向有，可知瓦片在空中通过水平位移逐渐减小，故ABD错误，C正确。
故选C。
【分析】瓦片和水面相撞后，竖直方向速度大小减小，则竖直小球上升的高度逐渐减小，竖直方向上抛运动，瓦片在空中的时间逐渐减小，每碰一次水平方向减小，则通过水平位移逐渐减小。
10．（2025·浙江模拟）无动力帆船依靠风力垂直河岸渡河。船头正指对岸，通过调整帆面位置使风向垂直于帆面，此时帆面与航向间的夹角为θ。若风力的大小为F，河水沿平行河岸方向的阻力恒为，沿垂直河岸方向的阻力大小（k为比例系数，v为航行速度），则帆船（ ）
A．先做加速度增大的加速运动，后匀速运动
B．航行时的最大速度为
C．若风力大小加倍，最大速度也加倍
D．若风力大小增大，为保持航向不变，θ也增大
【答案】D
【知识点】力的分解；牛顿第二定律；运动的合成与分解
【解析】【解答】A．垂直航向受力平衡，沿航向，知先做加速度减小的加速运动，后匀速运动，故A错误；
B．根据题意可得解得，故B错误；
C．风力大小加倍，垂直航线方向不再平衡而产生加速度，速度不再沿船头指向，故C错误；
D．根据题意，知F增大时，θ也增大，故D正确。
故选D。
【分析】此题研究两分运动，沿水流方向受力平衡，风力的分力与 沿平行河岸方向的阻力平衡，沿航向有风力的分力和沿垂直河岸方向的阻力，根据牛顿第二定律可知加速度减小的加速运动，后匀速运动。加速度为零时速度最大。
11．（2024高三下·浙江模拟）如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度摆下。不计细绳与钉子碰撞的能量损失，不计空气阻力，则（ ）
A．若A高于小球摆下的初位置，则A离O点越近，小球运动到右侧最高点时加速度就越大
B．若A高于小球摆下的初位置，则A离O点越近，小球运动到右侧最高点时，细绳的拉力就越大
C．由于机械能守恒，无论A离O点多远（小于绳长），小球总能上升到原来高度
D．如果A与小球摆下的初位置等高，则小球在运动的过程中有可能撞到钉子
【答案】B
【知识点】牛顿第二定律；竖直平面的圆周运动；机械能守恒定律
【解析】【解答】AB、A离O点越近，小球运动到右侧最高点时，摆角就越小，则小球加速度
故加速度越小，而绳的拉力
故绳子拉力越大，故A错误，B正确；
C、当A低于小球开始摆下的高度时，小球摆动到右侧绕A运动，到达最高点时速度不为零，此时小球不能上升到原来高度，故C错误；
D、如果小球摆下的初位置与A等高，则小球总是绕O或绕A作圆周运动（来回摆动），不可能撞到钉子，故D错误。
故答案为：B。
【分析】当A点在开始下摆的等高处与O点之间时，小球碰到钉子后，仍做单摆运动，当A点在开始下摆的等高处下方（含等高处）时，小球碰到钉子后，以钉子为圆心做圆周运动。再根据小球的运动类型，根据运动情况结合力的合成与分解及牛顿第二定律进行分析。
12．（2025·长沙模拟）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．x的最小值为 B．x的最小值为
C．y的最小值为 D．y的最小值为
【答案】C
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】本题考查对合运动与分运动的关联，清楚两者的关系。CD．弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短
y的最小值为
故C正确，D错误；
AB．由于
则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为
此时x的最小值为L，故AB错误。
故选C。
【分析】将弹珠的运动分解成水平、竖直两个方向的分运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动。
二、多项选择题
13．（2025·湖北模拟）用长为L的轻杆连接两个小球a、b（可视为质点），其质量分别为m和，竖直杆光滑，水平地面粗糙，两球与地面间的动摩擦因数相同，当a球穿在竖直杆上，b球在地面上，轻杆与竖直方向夹角，如图甲所示，此时系统恰好保持静止。现将系统倒置，b球穿在竖直杆上，a球在地面上，轻杆与竖直方向夹角仍为，如图乙所示，已知，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．a、b球与地面间的动摩擦因数为0.25
B．图乙时，系统仍保持静止状态
C．图乙中给b球向下初速度，当轻杆与竖直方向夹角为53°时，a、b两球速度大小之比为3∶4
D．图乙时，给b球轻微扰动使b球下滑，可以求出小球b落地时速度大小
【答案】A,C
【知识点】共点力的平衡；运动的合成与分解；机械能守恒定律
【解析】【解答】A．图甲时，选系统为研究对象，受四个力（重力，地面支持力N，墙壁弹力F，地面摩擦力f），有，
选a球为研究对象，有联立，解得，故A正确；
B．图乙中，选为研究对象：墙的弹力墙（为杆与竖直方向夹角）。初始时，墙，而最大静摩擦力墙，系统无法静止，故B错误；
C．图乙中给b球向下初速度，当轻杆与竖直方向夹角为53°时，a、b两球速度分别为和，两小球沿杆子方向速度相同，有，解得，故C正确；
D．图乙时，b球落地过程，a球的速度由零先增大后减小到零，杆子上力由压力变为拉力，a球对地面压力由小于系统重力到大于系统重力，不能求出摩擦力所做的功，不能计算出b球落地时速度大小，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】先通过图甲的静止状态求动摩擦因数，再分析图乙的受力平衡，结合轻杆连接体的速度关联（沿杆分速度相等）分析速度比，最后判断能量问题的可解性。
14．（2025·汕头模拟）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面三点的飞镖，下列说法错误的是（ ）
A．射中点的飞镖射出时的速度最小
B．射中点的飞镖射出时的速度最小
C．射中点的飞镖空中飞行时间最长
D．射中、两点的飞镖空中飞行时间相等
【答案】A,B
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】平抛运动的性质：平抛运动可以看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有
联立解得
因为
可知飞镖射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q点的飞镖空中飞行时间最长，即
又因为
则有
可知平抛初速度最小的是射中Q点的，所以AB错误，符合题意，CD正确，不符合题意。
故选AB。
【分析】飞镖做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速运动，根据飞镖运动轨迹结合自由落体运动和匀速运动规律列式解答。
15．（2025·禅城模拟）图甲为一种常见的3D打印机的实物图，打印喷头做x轴、y轴和z轴方向的运动，时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x轴方向的位移-时间图像和y轴方向的速度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．末喷头的速度大小为
B．喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P
C．末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为
D．末喷头离打印平台中心的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】运动的合成与分解
【解析】【解答】解决本题的关键知道质点在x方向和y方向上的运动规律，根据平行四边形定则进行合成，注意掌握曲线运动的条件。A．由图乙可知，在x轴方向做匀速直线运动，速度大小为
由图丙可知，在y轴方向做匀加速直线运动，加速度大小为
末喷头在y轴的分速度大小为
末喷头的速度大小为
故A错误；
B．由以上分析可知，喷头在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀加速直线运动，所以合力沿y轴方向，所以轨迹可能为P，故B正确；
C．末喷头沿y轴方向的分速度大小为
设末喷头速度方向与x轴正方向的夹角为，则
解得
故C正确；
D．末喷头沿x轴的位移大小为
在y轴方向的位移大小为
所以，末喷头离打印平台中心的距离为
故D正确。
故选BCD。
【分析】依据两图像可知：质点在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀加速运动，结合运动的合成与分解，即可判定运动性质；求出y方向的分速度，然后根据平行四边形定则，得出质点的速度大小与方向；分别求出质点沿x方向的位移与y方向的位移，然后根据平行四边形定则求解1s时质点的位移。
16．（2025·市中区模拟）桂北全州县大西江镇，在红七军走过的湘桂古道上有一座古炮台。如图所示，炮筒与水平面夹角为α，炮筒口离地面的距离为h。已知炮弹从炮筒口发射的速率为v0，当地重力加速度为g，不计阻力，下列说法正确的有（ ）
A．若α角确定，炮弹离地面的最大高度为
B．若α角确定，炮弹从炮筒口运动到最高点所用时间为
C．若α角不确定，炮弹水平射程的最大值为
D．若α角不确定，炮弹水平射程的最大值为
【答案】B,C
【知识点】斜抛运动
【解析】【解答】本题考查了斜上抛运动，根据炮弹的运动过程，应用运动的合成与分解、运动学公式即可解题。AB．若α角确定，炮弹从炮筒口运动到最高点时，竖直方向速度为零，则
所以炮弹离地面的最大高度为
故A错误，B正确；
CD．将炮弹的运动沿射出方向和竖直方向分解，则沿射出方向为匀速运动，竖直方向为自由落体运动，设水平位移为x，根据几何关系可得
根据数学知识可得，当
时，x2有最大值，且
所以
故C正确，D错误。
故选BC。
【分析】炮弹做斜上抛运动，可以分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动，根据炮弹的运动过程应用运动学公式分析求解。
17．（2024高三下·射洪模拟）如图所示，在M点的正上方离地高H处以水平速度v1向右投掷一飞盘P，反应灵敏的小狗Q同时在M点右方水平地面上的N点以速度v2斜向左上方跳出，结果飞盘P和小狗Q恰好在M、N连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞盘和小狗速度的变化量相等
B．飞盘和小狗相遇点在距离地面高度处
C．初速度大小关系一定是
D．小狗相对飞盘做匀加速直线运动
【答案】A,C
【知识点】平抛运动
【解析】【解答】解决相遇类问题的突破点在于不同的物体在同一时刻到达同一位置，通过时间和位移的关系将两个运动联系起来，再计算相关参数。A．飞盘和小狗分别做平抛和斜上抛运动，根据
可知飞盘和小狗速度的变化量相等，故A正确；
C．因为飞盘和小狗恰好在M、N两点连线中点的正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又因为运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即
可得
故C正确；
B．根据题意可知飞盘和小狗运动的时间相同，因为不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以不能判断飞盘和小狗相遇点距离地面的高度，故B错误；
D．飞盘和小狗都只受到重力作用，都做匀变速运动，加速度相同，所以小狗相对飞盘做匀速直线运动，故D错误。
故选AC。
【分析】根据速度公式可知速度变化量是否相等；通过运动的分解，结合题干中在MN中点上方相遇这一条件可判断初速度大小关系；通过分析题干中已知信息，由于不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以无法确定相遇点的高度，同时由于MN距离未知，所以无法确定飞盘最终落点位置。
三、非选择题
18．（2024高三下·广东模拟）如图所示，倾角的足够长斜面固定于水平地面上，将一小球（可视为质点）从斜面底端O以速度斜向上方抛出，速度方向与斜面间的夹角为。经历一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的P点。已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球抛出时的速度方向与斜面间的夹角的正切值。
（2）小球到斜面的最大距离。
（3）小球到水平地面的最大高度。
【答案】（1）解：小球抛出后，将小球的速度与重力分别沿斜面与垂直于斜面分解，则小球在这两个方向上均做匀变速直线运动。小球以垂直于斜面方向的速度撞击在斜面上的P点，表明此时沿斜面方向的分速度恰好减为0，根据对称性，小球打在P点时垂直于斜面方向的分速度与抛出时垂直于斜面方向的分速度等大反向
在沿斜面方向上，有
在垂直于斜面的方向上，有
则小球抛出时的速度方向与斜面夹角的正切值。
（2）解：由（1）解得，
当小球垂直于斜面的分速度减为0时，距离斜面最远，则有
解得。
（3）解：小球做斜抛运动，将其运动沿水平与竖直方向分解，当球体到达最高点时，竖直方向的速度减为0
则有
解得.
【知识点】运动的合成与分解；斜抛运动
【解析】【分析】（1）将初速度与加速度均分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，小球在两个方向上都是匀变速直线运动，利用运动时间t相同建立两个方向的等式，进而可得tanα；
（2）小球在垂直于斜面方向速度变为0时，距斜面的距离最大；
（3）小球沿竖直方向速度变为0时，距水平地面的距离最大。
19．（2024高三下·成都模拟） 掷飞镖是在现在体育项目中一个重要的比赛项目．如图所示，现有一运动员从同一位置先后水平掷出两支相同的飞镖，落在同一竖直标靶上，飞镖A与竖直标靶成角，B与竖直标靶成角，落点相距为d，不计空气阻力，则：
（1）飞镖A与B在空中飞行的时间之比为多少？
（2）该运动员郑飞镖的位置与标靶的水平距离为多少？
【答案】（1）飞镖A做平抛运动
由几何关系
飞镖B做平抛运动
由几何关系
联立解得
（2）解：A、B在竖直面内做自由落体运动
联立解得，该运动员郑飞镖的位置与标靶的水平距离为
【知识点】平抛运动
【解析】【分析】（1）飞镖在空中做平抛运动，根据题意可知两飞镖在水平方向的位移相等，再根据平抛运动规律及两飞镖在A、B位置速度夹角进行解答；
（2）根据题意确定两飞镖在竖直方向的位移与落点之间的关系，再结合平抛运动规律结合（1）中结论进行解答。
20．（2024·浙江模拟）如图所示，半径的光滑半圆环轨道固定在竖直平面内，半圆环与光滑水平地面相切于圆环最低点，质量的小球以初速度从点冲上竖直圆环，沿轨道运动到点飞出，最后落在水平地面上的点，取，不计空气阻力。
（1）求小球运动到轨道末端点时的速度；
（2）求、两点间的距离结果可用根号表示；
（3）若小球以不同的初速度冲上竖直圆环，并沿轨道运动到点飞出落在水平地面上。求小球落点与点间的最小距离。
【答案】（1）解：由到的过程，由机械能守恒定律得
解得
（2）解：由平抛运动规律得，
解得。
（3）解：设小球运动到点时半圆环轨道对小球的压力为，则小球做圆周运动所需的向心力为
当时，小球运动到轨道末端时的速度最小，最小速度
最小距离
联立解得。
【知识点】平抛运动；竖直平面的圆周运动；机械能守恒定律
【解析】【分析】（1）确定小球从A运动到B的过程，小球各力的做功情况，再根据机械能守恒定律进行解答；
（2）小球从B点飞出后做平抛运动，确定小球做平抛运动在竖直方向的位移，再根据平抛运动规律进行解答；
（3）小球从B点飞出后做平抛运动，竖直方向的高度一定，即小球做平抛运动的时间一定，要求落点与A点的距离最小，则小球做平抛运动的初速度最小。小球能冲上圆环，则当小球恰好能到达B点时，小球抛出的初速度达到最小值，此时小球与轨道的作用力为零，再根据牛顿第二定律及平抛运动规律进行解答。
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