第二章相交线与平行线 培优练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版七年级下册

第二章　相交线与平行线
提升点1　两条直线的位置关系
1．如图1，将两根笔直的木条a，b钉在一起，得到一个相交线的模型．固定木条a，转动木条b，在木条b的转动过程中，当∠1增大4°时，下列说法正确的是（　　）
图1
A．∠2增大4° B．∠3增大4° C．∠4增大4° D．∠2减小2°
2．如图2，O是直线AB上一点，且OC⊥OD，则∠1与∠2的关系为（　　）
图2
A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定
3．如图3，在三角形ABC中，AB⊥BC，垂足为B，已知AB＝5，AC＝9，点P是线段BC上的动点，则线段AP的长可能是________．
图3
4．如图4，已知OM⊥a，ON⊥a，则OM与ON重合的依据是_____________________________．
　
图4
5．（1）已知∠A的补角比它的2倍还大15°，则∠A的度数为________；
（2）已知∠B的余角比它的2倍还大15°，则∠B的度数为________；
（3）已知∠C的补角比它的余角的2倍还大15°，则∠C的度数为________．
6．如图5，直线EF与CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD．
（1）若∠BOD＝21°，求∠DOE的度数．
（2）OA和OB垂直吗？为什么？
图5
提升点2　平行线的判定
7．用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，按下列方式画出的直线a与b不一定平行的是（　　）
8．如图6，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°.其中能用来判定AB∥CD的有（　　）
图6
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．已知当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线的最大夹角为62°.如图7，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板CD与水平线的夹角为48°，要使AB∥CD，需将电池板CD至少转动________°．
图7
10．如图8，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB和∠DCB的平分线．求证：AE∥CF．[提示：四边形的内角和是360°，三角形的内角和是180°.]
图8
提升点3　平行线的性质
11．如图9，小刀是我们日常生活中经常接触到的工具，小刀的刀柄DEFG是被挖去一个半圆的长方形，刀片上边缘AD与下边缘BC平行，则∠1＋∠2的度数为（　　）
图9
A．60° B．80° C．90° D．120°
12．如图10，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD＝140°，则∠BED的度数为________．
图10
13．近视眼镜利用了凹透镜能使光发散的特点从而达到矫正视力的目的．如图11，平行于主光轴MN的入射光线AB，CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线相交于主光轴MN上的点P处．若∠ABE＝150°，∠CDF＝160°，则∠EPF的度数为________．
图11
14．如图12，已知一张长方形纸条的上下边缘平行，将它分别沿EP，FQ折叠，点B，C分别落在点B′，C′处，使得B′P∥C′Q，则∠1与∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．
图12
提升点4　平行线的判定与性质
15．如图13①是台球桌面实物图，图13②是抽象出的数学图形，一枚台球从桌面上的点E处滚向桌边AD，碰到AD边上的点F处后反弹，再碰到BC边上的点G处后，再次反弹进入点D处的底袋．已知在长方形桌面ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）如图13②，求证：EF∥GD；
（2）如图13③，若台球从桌面的点E处，经过两次反弹后碰到AD边上的点H处，∠2＋∠3＝90°，请你判断EF与GH之间的位置关系，并说明理由．
图13
16．如图14，将两个三角尺叠放在一起，两个直角顶点重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝120°，求∠ACE的度数；
（2）猜想∠BCD与∠ACE之间的数量关系，并说明理由；
（3）将两个三角尺的边CB，CE重合，点D在边AC上，固定三角尺ABC，使三角尺DCE绕顶点C沿顺时针方向转动一周，在转动过程中，当CE∥AB时，求∠BCD的度数．
　
图14　　　　　备用图1　　备用图2　
第二章　相交线与平行线
1．B　2．B　3．7(答案不唯一)
4．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．(1)55°；(2)25°；(3)15°
6．解：(1)因为∠AOE＝2∠BOD，∠BOD＝21°，
所以∠AOE＝42°．
因为∠AOF＋∠AOE＝180°，所以∠AOF＝138°．
因为OC平分∠AOF，所以∠COF＝∠AOF＝69°．
所以∠DOE＝∠COF＝69°．
(2)OA⊥OB．理由如下：
设∠BOD＝α，∠BOE＝β．
所以∠AOE＝2∠BOD＝2α，∠COF＝∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝α＋β．
因为OC平分∠AOF，所以∠AOC＝∠COF＝α＋β．
因为∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°，
所以α＋β＋2α＋α＋β＝180°．
化简，得2α＋β＝90°，即∠AOE＋∠BOE＝90°．
所以∠AOB＝90°，即OA⊥OB．
7．C　8．A　9．20
10．证明：因为四边形的内角和是360°，∠B＝∠D＝90°，
所以∠DAB＋∠DCB＝360°－90°－90°＝180°．　
因为AE，CF分别是∠DAB和∠DCB的平分线，
所以∠BAE＝∠DAB，∠FCB＝∠DCB．
所以∠BAE＋∠FCB＝∠DAB＋∠DCB＝(∠DAB＋∠DCB)＝90°．
因为∠B＝90°，所以∠AEB＋∠BAE＝90°．
所以∠FCB＝∠AEB．所以AE∥CF．
11．C　12．80°　13．10°
14．解：∠1＋∠2＝90°．理由如下：
由折叠可知∠1＝∠B′PE，∠2＝∠C′QF．
所以∠BPB′＝2∠1，∠CQC′＝2∠2．
因为B′P∥C′Q，所以∠B′PQ＝∠CQC′．
因为∠BPB′＋B′PQ＝180°，所以∠BPB′＋∠CQC′＝180°．
所以2∠1＋2∠2＝180°．所以∠1＋∠2＝90°．
15．(1)证明：因为AD∥BC，所以∠2＝∠3．
又∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
因为∠EFG＝180°－(∠1＋∠2)，∠FGD＝180°－(∠3＋∠4)，
所以∠EFG＝∠FGD．所以EF∥DG．
(2)解：EF∥GH．理由如下：
由题意可知，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°．
因为∠HGF＝180°－(∠1＋∠2)，∠EFG＝180°－(∠3＋∠4)，
所以∠HGF＋∠EFG＝180°－(∠1＋∠2)＋180°－(∠3＋∠4)＝360°－(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)＝180°．
所以EF∥GH．
16．解：(1)因为∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD＝120°，
所以∠DCA＝∠BCD－∠ACB＝120°－90°＝30°．
所以∠ACE＝∠DCE－∠DCA＝90°－30°＝60°．
(2)∠BCD＋∠ACE＝180°．理由如下：
因为∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，∠ACE＝∠DCE－∠ACD＝90°－∠ACD，
所以∠BCD＋∠ACE＝90°＋∠ACD＋90°－∠ACD＝180°．
(3)在转动过程中，当CE∥AB时，分以下两种情况：
①如答图1．
答图1
因为CE∥AB，所以∠B＋∠BCE＝180°．
因为∠B＝60°，
所以∠BCE＝180°－∠B＝180°－60°＝120°．
所以∠BCD＝360°－∠BCE－∠DCE＝360°－120°－90°＝150°．
②如答图2．
答图2
因为CE∥AB，所以∠BCE＝∠B＝60°．
因为∠DCE＝90°，所以∠BCD＝∠DCE－∠BCE＝90°－60°＝30°．
综上，当CE∥AB时，∠BCD的度数为150°或30°．