第四章三角形 培优练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版七年级下册

第四章　三角形
提升点1　三角形的内角和
1．下列判断：①三角形的三个内角中最多有一个钝角；②三角形的三个内角中至少有两个锐角；③有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形；④直角三角形中两锐角的和为90°.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图1，把△ABC的一角折叠，若∠A＝65°，则∠1＋∠2的度数为（　　）
图1
A．65° B．115° C．130° D．160°
3．在△ABC中，下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝2∠B＝3∠C．其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图2，点C在点B的北偏西40°方向，点C在点A的北偏西75°方向，则∠ACB的度数为（　　）
图2
A．35° B．40° C．45° D．50°
提升点2　三角形的三边关系
5．下面的四个盒子中，每个盒子里都装有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　）
6．已知三角形的三边长分别为3，5，a＋1，则化简|a－1|＋|a－9|的结果为________．
7．已知a，b，c为△ABC的三边长，且b，c满足|b－5|＋（c－7）2＝0，a为方程|a－3|＝2的解，请判断△ABC的形状，并求出△ABC的周长．
提升点3　三角形的高、中线、角平分线
8．如图3，有一块厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起．若三角形硬纸板处于水平平衡状态，则这一点可能是（　　）
图3
A．点N B．点M C．点P D．点Q
9．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为________．
10．如图4，在△ABC中（AB>BC），AB＝2AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，则BC的长为________．
图4
11．如图5，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上一点，且BE＝3EC，CD与AE相交于点F.若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为________．
图5
12．如图6，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，分别延长AB，AC至点E，F，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）当∠ABC＝62°，∠ACB＝68°时，∠D＝________°，∠P＝________°．
（2）试猜想当∠A的大小变化时，∠D＋∠P的值是否会发生变化？并说明理由．
图6
提升点4　全等三角形的性质与判定
13．如图7，现有一个六边形木框，为使其稳定，工人师傅至少需要增加的木条数量为（　　）
图7
A．2根 B．3根 C．4根 D．5根　　
14．如图8，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则下列结论正确的是（　　）
图8
A．2α＋∠A＝180° B．α＋∠A＝180° C．2α＋∠A＝90° D．α＋∠A＝90°
15．如图9，在由6个小正方形组成的网格中，△DEF的3个顶点都在格点上，像这样的三角形叫作格点三角形．若在图中再画一个格点三角形（不与△DEF重合），使得该格点三角形与△DEF全等，则这样的格点三角形能画出________个．
图9
16．如图10，∠A＝∠B＝90°，AB＝60 cm，AG＝20 cm，点E在线段AB上以2 cm/s的速度由点B向点A匀速运动，同时点F从点B出发以v cm/s的速度沿射线BD匀速运动，点E到点A时，E，F两点同时停止运动．若存在某一时刻，△AEG与△BEF全等，则v的值为________．
图10
17．如图11，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在边AB上，点F在边CD上，连接EF.求证：∠BEF＝∠DFE．
图11
提升点5　特殊化
18．将n个边长都为1的正方形按如图12所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是各正方形的中心，则2 026个正方形按这样的方式摆放形成的重叠部分的面积之和为（　　）
图12
A． B． C． D．2 024
19．【问题提出】在四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD边上的点，且∠EAF＝∠BAD，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．
【特殊化探究】（1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况．如图13①，当∠B＝∠D＝90°时，请你补全小宁的解题思路：
延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG.先证明△ABG≌________，再证明△AEG≌________，即可得出线段BE，EF，DF之间的数量关系是____________．
【延伸探究】（2）如图13②，一般情形下，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【问题解决】（3）若将问题条件改为“如图13③，E，F分别是BC，CD延长线上的点”，其余条件不变．请直接写出线段BE，EF，FD之间的数量关系．
图13
第四章　三角形
1．D　2．C　3．B　4．A　5．C　6．8
7．解：因为|b－5|＋(c－7)2＝0，且|b－5|≥0，(c－7)2≥0，
所以|b－5|＝0，(c－7)2＝0．
所以b－5＝0，c－7＝0．解得b＝5，c＝7．
因为a为方程|a－3|＝2的解，所以a＝5或1．
当a＝1，b＝5，c＝7时，1＋5＜7，不符合三角形的三边关系，所以此时不能组成三角形．
当a＝5，b＝5，c＝7时，符合三角形的三边关系，此时a＝b．
所以△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为5＋5＋7＝17．
8．A　9．90°或50°　10．14　11．20
12．解：(1)115　65．
(2)当∠A的大小变化时，∠D＋∠P的值不会发生变化．理由如下：
因为BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
所以∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB．
所以∠D＝180°－(∠CBD＋∠BCD)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)．　
因为BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，
所以∠PBC＝∠EBC＝(180°－∠ABC)＝90°－∠ABC，∠PCB＝∠FCB＝(180°－∠ACB)＝90°－∠ACB．
所以∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝(∠ABC＋∠ACB)．
所以∠D＋∠P＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＋(∠ABC＋∠ACB)＝180°．
13．B　14．A　15．3　16．4或
17．证明：如答图1，连接AC．
答图1
在△ABC和△CDA中，
所以△ABC≌△CDA(SSS)．
所以∠BAC＝∠DCA．所以AB∥CD．所以∠BEF＝∠DFE．
18．A
19．解：(1)△ADF　△AEF　EF＝BE＋DF．
(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：
如答图2，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．
答图2
因为∠ABC＋∠D＝180°，∠ABG＋∠ABC＝180°，
所以∠D＝∠ABG．
在△ABG和△ADF中，
所以△ABG≌△ADF(SAS)．
所以AG＝AF，∠BAG＝∠DAF．
所以∠BAG＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠GAF＝∠BAD．
因为∠EAF＝∠BAD，所以∠EAF＝∠GAF．所以∠EAG＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
所以△AEG≌△AEF(SAS)．所以EG＝EF．
因为EG＝BE＋BG，所以EF＝BE＋DF．
(3)EF＝BE－DF．
【提示】如答图3，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG，同(2)，可得EF＝BE－DF．
答图3