第五章图形的轴对称 培优练（含答案）2025-2026学年数学北师大版七年级下册

第五章　图形的轴对称
提升点1　轴对称及其性质
1．如图1，请画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
图1
正多边形的边数 3 4 5 6 …
对称轴的条数 ______ ______ ______ ______ …
根据上表，猜想：正n边形（n为正整数）有________条对称轴．
2．某一时刻，从平面镜中看到镜子对面电子钟的示数的像如图2所示，则此时的时间是________．
图2
3．如图3是个4×4的正方形网格，选择一空白的小正方形加上阴影，与图中阴影部分组成的图形是轴对称图形的方法有（　　）
图3
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．如图4，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，D是BC上任意一点，E和F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE，AF，则∠EAF的度数是（　　）
图4
A．140° B．135° C．120° D．100°
5．如图5，E，F分别是长方形ABCD的边AD，BC上的点，连接EF.将四边形ABFE沿EF翻折得到四边形MNFE，MN交AD于点G.继续将△MEG沿EG翻折得到△PEG，其中点M的对应点为点P.若∠α＝76°，则∠β的度数为（　　）
图5
A．45° B．48° C．50° D．55°
6．如图6是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中箭头所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（　　）
图6
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
提升点2　等腰三角形的性质
7．如图7，在4×4的正方形网格中，点A，B均在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数为（　　）
图7
A．2 B．3 C．6 D．8
8．如图8，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，则∠ABD________∠ACD．（填“＞”“＜”或“＝”）
图8
9．如图9，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE，AD＝AE.若∠ADE＝46°，∠1＝24°，则∠EDC的度数为________．
图9
10．如图10，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．则∠A的度数为________．
图10
11．如图11，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在边BC上运动（不与点B，C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）当PQ∥CA时，判断△APB的形状，并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，当△APQ是等腰三角形时，求出∠BQP的度数．
　图11　　　　　　　备用图
提升点3　线段的垂直平分线的性质
12．如图12，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F.若∠B＝48°，∠DAE＝15°，则∠C的度数为________．
图12
　　
13．如图13，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC，BC，交AB于点M，N，DM与EN相交于点F，连接CM，CN.若∠MFN＝70°，则∠MCN的度数为________．
图13
14．如图14，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC上一点，EF垂直平分BD交AB于点E，MN垂直平分CD交AC于点M，连接EM，DE，DM．
（1）求证：ED⊥MD；
（2）若EA＝EB，MA＝MC，求证：△AEM≌△DEM.　
图14
提升点4　角的平分线的性质
15．如图15，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2.若△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　）
A．28 B．14 C．21 D．7
图15
16．如图16，将三角形纸片ABC按如下方式折叠：沿过点A的直线折叠该纸片，使点C的对应点C′落在AB边上，折痕与BC边交于点D，展开后连接C′D；再沿过点D的直线折叠该纸片，使点C的对应点C′′落在AC边上，折痕交AC边于点E.若AB－AC＝3，DE＝4，则△BC′D的面积为________．
图16
17．如图17，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°.求证：AD＝CD．
图17
提升点5　最短路径问题
18．如图18，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2BC，AC＝7，E为边AC上的动点，F为边AB上的动点，连接BE，EF，则BE＋EF的最小值是________．
图18
19．如图19，等边三角形ABC的边长为3，A，B，A1三点在同一条直线上，且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上的动点，则AD＋CD的最小值是________．
图19
20．如图20，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，E，F分别为边BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）
A．60° B．90° C．100° D．120°
图20
21．如图21，在一条河的两岸有A，B两个村庄，现要在河上建一座桥，桥的方向与河岸垂直．若河的宽度不变，则桥建在何处，才能使从村庄A到村庄B的路程最短？
图21
第五章　图形的轴对称
1．解：画出正多边形的所有对称轴如答图1所示．
答图1
3　4　5　6　n．
2．21：05　3．D　4．A　5．B　6．D　7．C　8．＝　9．12°　10．36°
11．解：(1)当PQ∥CA时，△APB是直角三角形．理由如下：
因为AB＝AC，∠B＝30°，所以∠C＝∠B＝30°．
所以∠APQ＝∠B＝30°．
因为PQ∥CA，所以∠BPQ＝∠C＝30°．
所以∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝30°＋30°＝60°．
所以∠BAP＝180°－∠B－∠APB＝180°－30°－60°＝90°．
所以△APB是直角三角形．
(2)当△APQ是等腰三角形时，分以下三种情况：
①若AQ＝QP，则∠QAP＝∠APQ＝30°．
所以∠AQP＝180°－∠QAP－∠APQ＝180°－30°－30°＝120°．
所以∠BQP＝180°－∠AQP＝180°－120°＝60°．
②若AP＝PQ，则∠AQP＝∠PAQ＝×(180°－∠APQ)＝×(180°－30°)＝75°．
所以∠BQP＝180°－∠AQP＝180°－75°＝105°．
③若AQ＝AP，则∠AQP＝∠APQ＝30°＝∠B．
因为点P不与点B，C重合，所以此种情况不存在．
综上，∠BQP的度数为60°或105°．
12．34°　13．40°
14．证明：(1)因为EF垂直平分BD，MN垂直平分CD，
所以EB＝ED，MD＝MC．
所以∠B＝∠EDB，∠MDC＝∠C．
因为∠A＝90°，所以∠B＋∠C＝180°－∠A＝90°．
所以∠EDB＋∠MDC＝∠B＋∠C＝90°．
所以∠EDM＝180°－(∠EDB＋∠MDC)＝90°．
所以ED⊥MD．
(2)由(1)，知EB＝ED，MD＝MC，∠EDM＝90°＝∠A．
因为EA＝EB，MA＝MC，所以EA＝ED，MA＝MD．
在△AEM和△DEM中，
所以△AEM≌△DEM(SAS)．
15．A　16．6
17．证明：如答图2，过点D分别作DN⊥BC于点N，DM⊥BA交BA的延长线于点M，
则∠DMA＝∠DNC＝90°．
答图2
又BD平分∠ABC，所以DM＝DN．
因为∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠DAM＝180°，
所以∠DAM＝∠C．
在△ADM和△CDN中，
所以△ADM≌△CDN(AAS)．所以AD＝CD．
18．7　19．6　20．C
21．解：如答图3，作BC垂直于河岸GH，在BC上找一点B′，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于点P，作PD⊥GH，交GH于点D，连接BD，则桥应建在PD处．
答图3