第一章整式的乘除 培优练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版七年级下册

第一章　整式的乘除
提升点1　幂的运算
1．若2a3□a3＝2，则“□”内应填的运算符号为（　　）
A．＋ B．－ C．× D．÷
2．已知a＝－23，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
3．若，则n的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．9
4．已知xa＝4，xb＝6，xc＝9，则下列选项中，a，b，c的等量关系正确的是（　　）
A．a＋c＝2b B．a＋c＝b2 C．ac＝2b D．ac＝b2
5．计算：×＝________．
6．若x－2y－1＝0，则3x÷9y×27的值为________．
7．已知a＝255，b＝522，则a________b．（填“＞”“＜”或“＝”）
8．在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务：
趣味闯关 　关卡一：已知x满足22x＋3－22x＋1＝24，求x的值． 　　关卡二：已知an＝6，b2n＝4，求（ab）2n－（a2b4）n的值．
请你运用所学知识完成以上关卡．
9．阅读材料，并回答下列问题．
材料：我们知道，n个相同的因数a相乘可记作an，若an＝b（a>0，a≠1），则n叫作以a为底b的对数，记作logab＝n，如34＝81，则4叫作以3为底81的对数，记作log381＝4．
（1）计算：log24＝______，log216＝______，log264＝______．
（2）观察：4，16，64三个数之间满足怎样的关系？log24，log216，log264三个数之间又满足怎样的关系？
（3）归纳：logaM＋logaN＝__________（a>0，a≠1）．
（4）应用：已知loga5＝3，求loga25的值（a>0，a≠1）．
提升点2　整式的乘法
10．若（x＋2y）（2x－my－1）的结果中不含xy项，则m的值为（　　）
A．4 B．－4 C．2 D．－2
11．若（x＋3）（x＋n）＝x2＋mx－15，则mn的值为________．
12．如图1，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若要拼一个长为（2a＋3b）、宽为（a＋b）的大长方形，则需要C类卡片________张．
图1
13．如图2，某小区有一块长为（3a＋b）m、宽为（2a＋b）m的长方形场地，现计划对图中阴影部分进行绿化，并在中间边长为（a＋b）m的正方形区域修建一座雕像，左右两边各修一条宽为a m的道路．
（1）求绿化的面积；
（2）利用（1）中的结果，求出当a＝1，b＝10时的绿化面积．
图2
提升点3　乘法公式
14．下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（x－1）（x＋1） B．（－2m＋n）（2m＋n）
C．（－a＋b）（a－b） D．（－x＋2y）（－x－2y）
15．计算2022－201×203的结果是（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
16．已知m2－n2＝4，则（m＋n）2（m－n）2的值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
17．已知（x－2 021）2＋（x－2 025）2＝34，则（x－2 023）2的值是（　　）
A．5 B．9 C．13 D．17
18．计算：（2m＋n－p）（2m－n＋p）＝________．
19．若x－＝1，则8x2－8xy＋2y2的值为________．
20．已知a＝12＋32＋52＋…＋252，b＝22＋42＋62＋…＋242，则a－b的值为________．
21．【背景资料】在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，能够在三个代数式a＋b，ab，a2＋b2中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2的值．
解：因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝32＝9，且ab＝2，
所以a2＋2×2＋b2＝9．
所以a2＋b2＝5．
请根据以上信息，解答下列问题．
【问题初探】（1）已知a－b＝2，a2＋b2＝17，则ab＝________；
【迁移运用】（2）如图3，已知两个正方形的边长分别为a，b，若a＋b＝6，ab＝9，求图中阴影部分的面积；
【拓展探究】（3）若（2 026－x）（x－2 025）＝－5，求（2 026－x）2＋（x－2 025）2的值．
图3
提升点4　整式的除法
22．如图4，使用边长为2m＋3的正方形纸片剪下一个边长为m＋3的正方形纸片之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为m，则另一边长是（　　）
图4
A．3m＋3 B．3m＋6 C．2m＋3 D．2m＋6
23．某市计划修建一个长为3.6×102 m，宽为3×102 m的长方形便民市场，并用60 cm×60 cm的正方形地砖铺装便民市场的地面，则共需要________块地砖．（用科学记数法表示）
24．某科技馆“数理世界”展厅的WiFi密码被设计成如图5所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接上了网络，则他输入的密码是________．
图5
25．探究多项式除以多项式
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读下面某小组的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
【项目主题】用竖式的方法解决多项式除以多项式．
【项目实施】任务一：搜集资料
我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小的顺序依次排列，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
（1）请把4x2＋5x＋x3－6按x的指数从大到小的顺序排列：____________．
任务二：竖式计算
如图6①所示的竖式中，13 579除以112，商为121，余数为27．
如图6②所示的竖式中，多项式x4＋3x3＋5x2＋7x＋9除以x2＋x＋2，商式为x2＋2x＋1，余式为2x＋7．
图6
（2）该小组把数的竖式除法运用到多项式除以多项式，这里运用的数学思想是________．（填字母）
A．数形结合　　 B．类比　　 C．方程
任务三：学以致用
（3）请计算（4x2＋5x＋x3－6）÷（x＋2）的商式与余式．
第一章　整式的乘除
1．D　2．C　3．A　4．A　5．－　6．81　7．＞
8．解：关卡一：因为22x＋3－22x＋1＝24，即22x＋1×22－22x＋1＝24，
所以22x＋1×(22－1)＝24．
所以3×22x＋1＝24．所以22x＋1＝8＝23．
所以2x＋1＝3．解得x＝1．
关卡二：因为an＝6，b2n＝4，
所以(ab)2n－(a2b4)n＝a2nb2n－a2nb4n＝(an)2b2n－(an)2(b2n)2＝62×4－62×42＝－432．
9．解：(1)2　4　6．
(2)4×16＝64．
log24＋log216＝2＋4＝6＝log264．
(3)logaMN．
(4)由(3)可知，logaMN＝logaM＋logaN．
因为loga5＝3，
所以loga25＝loga(5×5)＝loga5＋loga5＝3＋3＝6．
10．A　11．10　12．5
13．解：(1)根据题意，得绿化的面积为(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2－a(3a＋b－a－b)
＝6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2－3a2－ab＋a2＋ab
＝3a2＋3ab(m2)．
(2)当a＝1，b＝10时，原式＝3×12＋3×1×10＝3＋30＝33(m2)．
答：绿化面积为33 m2．
14．C　15．A　16．C　17．C　18．4m2－n2＋2np－p2　19．8　20．325
21．解：(1)．
(2)因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝62＝36，且ab＝9，
所以a2＋2×9＋b2＝36．所以a2＋b2＝18．
根据题意，得图中阴影部分的面积为a2－2×b(a－b)＝a2＋b2－ab＝18－9＝9．
(3)令2 026－x＝m，x－2 025＝n，
则mn＝－5，m＋n＝2 026－x＋x－2 025＝1．
所以(2 026－x)2＋(x－2 025)2＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝12－2×(－5)＝11．
22．B　23．3×105　24．2 026
25．解：(1)x3＋4x2＋5x－6．
(2)B．
(3)如答图1，(4x2＋5x＋x3－6)÷(x＋2)的商式是x2＋2x＋1，余式是－8．
答图1