第二章 相交线与平行线 课时练（含答案） 2025-2026学年数学北师大版七年级下册

第二章　相交线与平行线
第1课时　两条直线的位置关系（一）
基础过关
1．下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
2．已知∠α和∠β互为余角．若∠α＝40°，则∠β的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
3．如图1，直线a，b，c相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3＝________°．
图1
4．（1）如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是________；
（2）如果一个角的补角是它本身的2倍，那么这个角的度数是________．
5．如图2，直线AB，CD，EF相交于点O．
（1）∠COE的补角为____________；
（2）∠COE的对顶角为________，∠BOE的对顶角为________；
（3）若∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠COF的度数．
图2
能力提升
6．如图3，当光线从空气射入水中时，会发生折射现象．图中∠AOM的对顶角是________．
图3
7．下列说法中，正确的有________．（填序号）
①锐角的余角可能是直角；
②锐角的补角一定是钝角；
③一个角的补角一定大于这个角；
④如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等．
8．如图4，已知直线AB与CD相交于点F，FC平分∠BFE.若∠AFE＝70°，则∠AFD的度数是________°．
图4
思维拓展
9．如图5，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若∠AOC与∠BOC互为补角，OE平分∠AOC，求∠COE的度数．
图5
第2课时　两条直线的位置关系（二）
基础过关
1．如图1，C是直线l外一点，分别连接点C与直线l上A，B两点，过点C作CD⊥l于点D，则点C到直线l的距离是（　　）
图1
A．线段CA的长 B．线段CB的长 C．线段AB的长 D．线段CD的长
2．如图2，AB⊥CD于点O，直线EF经过点O.若∠DOE＝70°，则∠BOF的度数是（　　）
图2
A．10° B．20° C．30° D．35°
3．如图3，某污水处理厂计划铺设一段管道，把处理过的水从A处引入排水沟PQ，为了使所用管道最短，该厂计划过点A作AB⊥PQ于点B，沿着线段AB铺设管道．这种做法的依据是__________________．
图3
4．如图4，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠BOC＝130°，则∠AOD的度数是________．
图4
5．如图5，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，且OC平分∠AOM，求∠BOD的度数．
图5
能力提升
6．如图6，直线AB与CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O.若∠EOC＝38°，则∠AOD的度数是（　　）
图6
A．128° B．138° C．142° D．162°
7．（1）如图7，点P在∠AOB的边OA上．
作图：①作点P到OB的垂线段PM；
②过点P作OA的垂线，交OB于点C．
（2）在（1）的条件下，线段PM，PC的大小关系是：____________（用“<”连接），判断依据是：________________________．
图7
思维拓展
8．如图8，已知OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）若∠AOD＝126°，求∠BOC的度数；
（2）若∠AOD＝3∠BOC，则∠BOC＝________°．
图8
第3课时　探索直线平行的条件（一）—— 同位角、平行公理
基础过关
1．如图1，在平面内过点A作直线l的平行线，可作平行线的条数是（　　）
图1
A．0条 B．1条 C．3条 D．无数条
2．下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
3．如图2，已知∠1＝50°，要使直线a∥b，则∠2的度数应为（　　）
图2
A．130° B．80° C．50° D．40°
4．图3是过直线外一点P作已知直线l的平行线的操作示意图，这种作法的依据是__________________________．
图3
5．如图4，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1＋∠2＝90°，求证：AB∥CD．
图4
请将下面的证明过程补充完整，并在括号里填上推理的依据．
证明：因为EF⊥FG（已知），
所以∠EFG＝________（垂直的定义），
即∠EFD＋________＝90°．
又∠1＋∠2＝90°（已知），
所以∠EFD＝________（同角的余角相等）．
所以AB∥CD（____________________）．
能力提升
6．如图5，已知∠1＝∠2＝∠3．
图5
（1）∠1与∠3________同位角；（填“是”或“不是”）
（2）请直接写出图中所有的平行线：________________．
7．如图6，已知直线a，b，c被直线d所截，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：b∥C．
图6
思维拓展
8．如图7，点B，A，D在同一条直线上，AE是∠CAD的平分线．
（1）若∠B＝∠C＝65°，则∠DAE＝______°；
（2）若∠B＝∠C，试证明AE∥BC．
图7
第4课时　探索直线平行的条件（二）—— 内错角、同旁内角
基础过关
1．图1①是“垃圾入桶”标志，图1②是垃圾桶的侧面示意图，则∠1与∠2是（　　）
图1
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
2．如图2，下列条件中，不能用来判定CD∥AB的是（　　）
图2
A．∠A＝∠ECD B．∠B＝∠DCB C．∠B＝∠ECD D．∠A＋∠ACD＝180°
3．如图3，已知△ABC，尺规作图：过点A作边BC的平行线．（保留作图痕迹，不写作法）
图3
4．如图4，线段AB，CD相交于点O，∠C＝∠AOC，∠D＝∠BOD．求证：AC∥BD．
图4
能力提升
5．如图5，将三个完全相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起．观察图形，在线段AB，AC，AE，EC，ED，BC，CD中，相互平行的线段有________组．
图5
6．如图6，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1＋∠2＝90°，试判断直线AB，CD是否平行，并说明理由．
图6
思维拓展
7．【跨学科】光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象．如图7，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，得到光线B．根据光学知识可知∠1＝∠2，∠3＝∠4.请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
图7
第5课时　平行线的性质
基础过关
1．如图1是一种音符的简单示意图，其中AB∥CD，若∠BAC＝105°，则∠ACD的度数为（　　）
图1
A．75° B．85° C．95° D．105°
2．如图2，点E在DC的延长线上，AB∥CD，则下列结论一定正确的是（　　）
图2
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠5 D．∠D＋∠ACD＝180°
3．如图3，已知直线a∥b，AC⊥AB，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
图3
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．某考古队挖掘出的一个残缺的梯形玉片如图4所示，已知梯形的两底AD∥BC，工作人员从玉片上量得∠A＝115°，∠D＝100°.请你帮助工作人员求出另外两个角∠B，∠C的度数．
图4
能力提升
5．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图5所示）．已知图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
图5
A．30° B．40° C．50° D．70°
6．如图6，AD∥BE，AB∥CD，∠A＝60°，则∠DCE的度数为________．
　
图6
7．【问题】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角之间满足什么样的数量关系？
【分析】（1）如图7①，AB∥CD，AE∥CF，则∠A与∠C之间的关系为__________；
（2）如图7②，AB∥DC，AE∥CF，猜想∠A与∠C之间的关系，并说明理由．
【总结】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________．
图7
思维拓展
8．如图8，已知AB∥CD，∠C＝25°，∠E＝85°，则∠B的度数为（　　）
图8
A．95° B．105° C．110° D．120°
第6课时　平行线的判定与性质综合
基础过关
1．如图1，已知∠1＝∠2，∠3＝30°，则∠B的度数是（　　）
图1
A．20° B．30° C．40° D．60°
2．如图2，下列推理错误的是（　　）
图2
A．如果∠1＝∠2，那么a∥b
B．如果∠4＋∠5＝180°，那么c∥d
C．如果a∥b，那么∠1＝∠3
D．如果c∥d，那么∠2＝∠3
3．如图3，点D，E，F分别在三角形ABC的三条边上，DE∥AB，∠1＋∠2＝180°.求证：DF∥AC．
图3
4．如图4，已知BE平分∠ABC，∠1＝∠2，试证明∠AED＝∠C．下面是小明同学的证明过程，请你补充完整，并在括号内填上推理的依据．
图4
证明：因为BE平分∠ABC（已知），
所以∠1＝∠3（__________________）．
又∠1＝∠2（已知），
所以________＝________（等量代换）．
所以________∥BC（______________）．
所以∠AED＝∠C（________________）．
能力提升
5．某工厂生产一批如图5①所示的自行车，图5②是这款自行车放在水平地面l上的部分示意图，其中AB∥l，CD∥l.当AM∥BC时，该款自行车才是合格产品．若该款自行车质量检验合格，测得∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，则∠MAC＝________°．
图5
6．如图6，AB∥CD，AC与BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．　
（1）求证：FE∥AC；
（2）若∠DFE＝80°，∠A＝60°，求∠B的度数．
图6
思维拓展
7．一种路灯的示意图如图7所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　）
图7
A．60° B．55° C．50° D．45°
微专题1　平行线中的“拐点”问题
基础过关
1．（2025凉山州）如图1，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝（　　）
图1
A．30° B．40° C．60° D．80°
2．如图2，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1＋∠2＝35°，则∠AFB的度数为（　　）
图2
A．35° B．55° C．70° D．145°
3．如图3，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝120°，则∠E的度数为（　　）
图3
A．28° B．34° C．56° D．46°
4．把一块含30°角的直角三角板按如图4所示的方式放置于两条平行线之间．若∠1＝α，则∠2的度数为________．（用含α的式子表示）
图4
5．如图5，已知AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD的度数为________．
图5
能力提升
6．如图6，已知AB∥CD，∠B＝∠E，DE⊥CD，则∠B的度数为________．
图6
7．如图7，已知AB∥CD，M，N是AB，CD之间的两点，若∠B＝45°，∠C＝20°，∠CNM＝50°，求∠M的度数．
图7
思维拓展
8．如图8，在某节科学活动课上，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB的延长线与地面的夹角∠ACM＝60°，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF.由科学原理可知：∠CED＝∠AEF.若反射光束与天花板的夹角∠EFP＝70°，且PQ∥MN，则∠CED的度数为________．
图8
第二章　相交线与平行线
第1课时　两条直线的位置关系(一)
1．D　2．B　3．180　4．(1)40°；(2)60°
5．解：(1)∠COF和∠DOE．
(2)∠DOF　∠AOF．
(3)因为∠BOF＝90°，所以∠AOF＝180°－∠BOF＝90°．
因为∠AOC＝∠BOD＝60°，
所以∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°＋60°＝150°．　
6．∠B′ON　7．②④　8．55
9．解：(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角，
所以∠BOC＋∠BOD＝90°．
因为∠BOC＝4∠BOD，所以5∠BOD＝90°．
所以∠BOD＝18°．所以∠BOC＝4∠BOD＝72°．
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角，
所以∠AOC＋∠BOC＝180°．
因为∠BOC＝72°，所以∠AOC＝108°．
因为OE平分∠AOC，所以∠COE＝∠AOC＝54°．
第2课时　两条直线的位置关系(二)
1．D　2．B　3．垂线段最短　4．40°
5．解：因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°．
因为OC平分∠AOM，所以∠AOC＝∠AOM＝45°．
所以∠BOD＝∠AOC＝45°．
6．A
7．解：(1)①如答图1，线段PM即为所求．
答图1
②如答图1，直线PC即为所求．
(2)PM8．解：(1)因为OA⊥OC，OB⊥OD，所以∠AOC＝∠BOD＝90°．
又∠AOD＝126°，
所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝126°－90°＝36°．
所以∠BOC＝∠BOD－∠COD＝90°－36°＝54°．
(2)45．
第3课时　探索直线平行的条件(一)—— 同位角、平行公理
1．B　2．A　3．C　4．同位角相等，两直线平行
5．90°　∠2　∠1　同位角相等，两直线平行
6．(1)不是；(2)AB∥DE，BC∥EF
7．证明：因为∠1＝∠2，∠2＝∠5，所以∠1＝∠5．
因为∠3＝∠4，∠1＝∠3，所以∠1＝∠4．
所以∠4＝∠5．所以b∥c．
8．(1)解：65．
(2)证明：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°．
因为∠B＝∠C，所以∠BAC＋2∠B＝180°．
因为∠BAC＋∠DAC＝180°，所以∠DAC＝2∠B．
因为AE是∠DAC的平分线，所以∠DAC＝2∠DAE．
所以∠B＝∠DAE．所以AE∥BC．
第4课时　探索直线平行的条件(二)—— 内错角、同旁内角
1．C　2．C
3．解：如答图1，直线l即为所求．(作法不唯一)
答图1
4．证明：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD．
因为∠C＝∠AOC，∠D＝∠BOD，所以∠C＝∠D．
所以AC∥BD．
5．4
6．解：AB∥CD．理由如下：
因为BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
所以∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠ABD＋∠CDB＝2(∠1＋∠2)＝180°．　
所以AB∥CD．
7．解：平行．理由如下：
如答图2．因为∠1＝∠2，
答图2
所以l1∥l2．所以∠5＝∠6．
因为∠3＝∠4，
所以∠3＋∠5＝∠4＋∠6．
所以a∥b．
第5课时　平行线的性质
1．A　2．B　3．C
4．解：因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°．
因为∠A＝115°，∠D＝100°，
所以∠B＝180°－∠A＝65°，∠C＝180°－∠D＝80°．
5．B　6．120°
7．解：【分析】(1)∠A＝∠C．
(2)∠A＋∠C＝180°．理由如下：
因为AB∥CD，所以∠1＋∠C＝180°．
因为AE∥CF，所以∠A＝∠1．所以∠A＋∠C＝180°．
【总结】相等或互补．
8．D
第6课时　平行线的判定与性质综合
1．B　2．C
3．证明：因为DE∥AB，所以∠A＝∠2．
因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1＋∠A＝180°．所以DF∥AC．
4．角平分线的定义　∠2　∠3　DE
内错角相等，两直线平行　两直线平行，同位角相等
5．70
6．(1)证明：因为AB∥CD，所以∠A＝∠C．
因为∠1＝∠A，所以∠1＝∠C．所以FE∥AC．
(2)解：因为FE∥AC，所以∠DFE＝∠DOC．
因为∠DFE＝80°，所以∠DOC＝80°．
因为∠AOB与∠DOC是对顶角，所以∠AOB＝∠DOC＝80°．
所以∠B＝180°－∠A－∠AOB＝180°－60°－80°＝40°．
7．A
微专题1　平行线中的“拐点”问题
1．B　2．A　3．A　4．90°－α 　5．30°　6．135°
7．解：如答图1，过点M作ME∥AB，过点N作NF∥CD．
答图1
因为AB∥CD，所以AB∥ME∥NF∥CD．
所以∠BME＝∠B＝45°，∠CNF＝∠C＝20°．
因为∠CNM＝50°，所以∠MNF＝∠CNM－∠CNF＝50°－20°＝30°．
又ME∥NF，所以∠NME＝∠MNF＝30°．
所以∠BMN＝∠BME＋∠NME＝45°＋30°＝75°．
8．50°