第四章三角形 课时练（含答案） 22025-2026学年数学北师大版七年级下册

第四章　三角形
第1课时　认识三角形（一）—— 三角形及其内角和
基础过关
1．在Rt△ABC中，一个锐角的度数为54°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．26° B．36° C．45° D．56°
2．如图1，以D为顶点的三角形的个数为（　　）
图1
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知一个三角形的两个内角的度数分别是50°和80°，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．如图2，已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC，BD相交于点E，∠A＝40°，则∠D的度数为（　　）
图2
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠B的度数为________．
6．如图3，在△ABC中，CD⊥AB，∠A＝35°，∠ACB＝75°，求∠BCD的度数．
图3
能力提升
7．下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＋∠B＝90° B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
8．（RJ八上P22 T5）如图4，∠B＝42°，∠A比∠1小10°，∠ACD＝64°.求证：AB∥CD．
图4
9．如图5，某轮船在A处测得灯塔B的方向是北偏东54°，沿正东方向行驶到C处后，在C处测得灯塔B的方向是北偏东18°.求∠B的度数．
图5
思维拓展
10．【整体思想】如图6，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC等于（　　）
图6
A．115° B．125° C．130° D．140°
第2课时　认识三角形（二）—— 三角形的三边关系
基础过关
1．已知等腰三角形的周长为15，底边长为7，则它的腰长是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．4或7
2．三角形的两边长分别是7 cm，2 cm，第三边长为奇数，则第三边长是（　　）
A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
3．如图1，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 m，OB＝10 m，则A，B两点间的距离不可能是（　　）
图1
A．5 m B．10 m C．15 m D．20 m
4．一个等腰三角形的一边长是4 cm，另一边长是10 cm，则这个等腰三角形的周长是________cm．
5．若一个等腰三角形的周长为17，其中一边长为5，求该等腰三角形的腰长．
能力提升
6．（2025佛山期末）将一根14 cm长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（　　）
7．现有四根木棒，长度分别为4 cm，5 cm，8 cm，11 cm，从中任取三根木棒，能围成三角形的取法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且均为正整数，若a，b满足|a－5|＋（b－6）2＝0，则△ABC的周长的最大值是________．
思维拓展
9．在△ABC中，AB＝8，AC＝22，BC＝2a＋2.若△ABC为等腰三角形，求a的值．
第3课时　认识三角形（三）—— 三角形的高、中线、角平分线
基础过关
1．如图1，AE是△ABC的中线，D是BE上一点．若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（　　）
图1
A．5 B．6 C．7 D．8
2．用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放正确的是（　　）
3．下列说法中正确的是（　　）
A．三角形的角平分线都在三角形的内部
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部
D．三角形的高线必交于一点
4．如图2，在△ABC中，CM是△ABC的中线．若BC＝10，AC＝6，△BCM的周长为21，则△ACM的周长为________．
图2
5．（RJ八上P10 T8改编）如图3，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F.求证：∠1＝∠2．
图3
能力提升
6．（RJ八上P10 T7改编）如图4，在△ABC中，AC＝4，BC＝5，则△ABC的高AD与BE的比是________．
图4
7．如图5，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均在格点上，其中△ABC的重心是________．
图5
8．如图6，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D，点D在点E的左侧，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
图6
思维拓展
9．如图7，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点．若S△ABC＝4 cm2，则图中阴影部分的面积为________cm2．
图7
微专题2　三角形中的数学思想
基础过关
1．已知等腰三角形的两边长分别为3，7，则等腰三角形的周长是（　　）
A．13 B．7 C．13或17 D．17
2．（RJ八上P13 T2改编）如图1，在△ABC中，∠A＝40°，则∠B＋∠C＋∠ADE＋∠AED的度数为________．
图1
3．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD．若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________．
4．【推理能力】（RJ八上P17 T10改编）如图2，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E.求证：△ACE是直角三角形．
图2
能力提升
5．如图3，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠F＝110°，则∠A的度数为________．
图3
6．如图4，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长大3，AB与AC的和为13，则AB的长为（　　）
图4
A．5 B．6 C．7 D．8
7．在△ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，求∠A，∠B，∠C的度数，并判断△ABC的形状．
思维拓展
8．如图5，在△ABC中，AB＝AC，CG是边AB上的高，D是边BC上任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）若AB＝10，DE＝3，DF＝5，则△ABC的面积为________；
（2）猜想DE，DF，CG之间的数量关系，并加以证明．
图5
第4课时　全等三角形
基础过关
1．下列说法错误的是（　　）
A．形状、大小都相同的三角形是全等三角形
B．全等三角形的周长和面积相等
C．全等三角形对应边上的高相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
2．如图1，△ABC绕点A旋转后得到△ADE．
图1
（1）△ABC≌________；
（2）若BC＝3，则DE＝________；
（3）若∠BAC＝20°，∠B＝60°，则∠DAE＝________°，∠D＝________°．
3．如图2，△ABC≌△DEF，点B，C，E，F在同一条直线上．若BC＝6，CE＝2，则CF的长为________．
图2
4．（RJ八上P30例题）如图3，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，∠BAC＝65°，∠ABC＝26°，AC，BD的延长线相交于点E.求∠CBD，∠E的度数.　
图3
能力提升
5．如图4，△ACF≌△DBE，其中点A，B，C，D在同一条直线上．
（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；
（2）若AD＝9，BC＝5，求AC的长．
图4
思维拓展
6．如图5，点A，B，C在同一条直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2 cm，BC＝3 cm．
（1）求DE的长；
（2）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．
图5
第5课时　探索三角形全等的条件（一）—— SSS
基础过关
1．如图1，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的数学原理是（　　）
图1
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
2．如图2，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以直接判定（　　）
图2
A．△ABE≌△ACE B．△ABD≌△ACD C．△BDE≌△CDE D．以上都不对
3．如图3，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE.求证：△ABC≌△AED．
图3
4．（BS七下P106 T1）如图4，已知线段a，用尺规作△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2A．（保留作图痕迹，不写作法）
图4
能力提升
5．如图5，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（　　）
图5
A．2根 B．3根 C．4根 D．5根
6．如图6，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为________．
图6
7．如图7，B是AC的中点，BE＝BD，AE＝CD．
求证：（1）△ABE≌△CBD；（2）∠ABD＝∠CBE．
图7
思维拓展
8．如图8，已知AB⊥AC，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.试猜想AD与AE的位置关系，并说明理由．
图8
第6课时　探索三角形全等的条件（二）—— ASA，AAS
基础过关
1．如图1，已知∠B＝∠D，请添加一个条件：______________，使△ABC≌△ADC．　
图1
2．（RJ八上P44 T5）如图2，∠1＝∠2，∠B＝∠D．求证：AB＝CD．
图2
3．如图3，点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，DE＝AB，∠E＝∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．
图3
能力提升
4．（BS七下P108 T14改编）如图4，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎为三块．若带其中一块碎片到商店去，可以配一块与原来一样的三角形模具，则他应该带碎片________．（填序号）
图4
5．如图5，已知线段a和∠α，用尺规作△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝2∠α，BC＝A．（保留作图痕迹，不写作法）
图5
思维拓展
6．（RJ八上P60 T11改编）如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．
（1）求证：△CDA≌△BEC；
（2）若AD＝2.5，DE＝1.7，求BE的长．
图6
第7课时　探索三角形全等的条件（三）—— SAS
基础过关
1．如图1，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）
图1
A．SSA B．SAS C．AAS D．AAA
2．如图2，点B，C，F，E在同一条直线上，∠1＝∠2，BF＝EC．若用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，则需要添加的条件为__________．
图2
3．（2025陕西）如图3，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC．
图3
4．（BS七下P106 T6改编）如图4，已知线段a，B．用尺规作一个Rt△ABC，使其直角顶点为C，两条直角边AC＝b，BC＝A．（保留作图痕迹，不写作法）
图4
能力提升
5．如图5，已知△ABC的部分元素，在下面甲、乙、丙三个三角形中也标出了某些元素，则与△ABC不一定全等的三角形是________.（填“甲”“乙”或“丙”）
图5
6．如图6，已知CD⊥AB于点D，且AD＝CD，ED＝BD．若AE＝5，则BC＝________．
图6
思维拓展
7．如图7，在△ABC中，D是边BC上一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交边AC于点E，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠CDE＝80°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
图7
第8课时　探索三角形全等的条件（四）—— 全等三角形的判定综合
基础过关
1．如图1，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件可能是（　　）
图1
A．∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF
2．（2025武汉）如图2，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC．若______，则AD＝CB．从①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由．
图2
3．图3①是小军制作的燕子风筝，风筝的骨架示意图如图3②所示．已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的度数．
图3
能力提升
4．（BS七下P118 T13改编）如图4，已知∠AOB，这是“作一个角等于已知角”，即作∠A′O′B′＝∠AOB的尺规作图的痕迹，该尺规作图的依据是（　　）
图4
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
5．如图5，点B，C，E在同一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CED；
（2）若AB＝8，ED＝4，求BE的长．
图5
思维拓展
6．如图6，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．连接AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别为E，F.求证：OE＝OF．
图6
微专题3　四大常考全等模型
基础过关
1．如图1，O是线段AB的中点，OD∥BC，AD∥OC． 下列结论不一定正确的是（　　）
图1
A．∠C＝∠D B．∠A＝∠AOD C．OD＝BC D．AD＝OC
2．（RJ八上P34 T2）如图2，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．
求证：∠A＝∠D．
图2
能力提升
3．如图3①，△ABC为等边三角形，点D为边BC上一点，先将三角板60°角的顶点与点D重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB，AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图3②所示．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若AB＝6，CF＝2，则BE的长为______．
图3
思维拓展
4．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图4①，∠BAC＝90°，试说明△ABD≌△ACE，并求∠BCE的度数．
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β，如图4②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
图4
第9课时　利用三角形全等测距离
基础过关
1．如图1，小红要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，在池塘外AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD，再过点D作BF的垂线DE，交AC的延长线于点E，这时测得DE的长就是AB的长，这种做法的依据是（　　）
图1
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．如图2，亮亮想测量某面湖A，B两点间的距离，他选取了可以直接到达点A，B的一点C，连接CA，CB，并作BD∥AC，截取BD＝AC，连接CD，这时测得CD的长就是AB的长，为什么？
图2
能力提升
3．小聪利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“X型转动钳”工具按如图3所示的方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝6 cm，EF＝8 cm，则保温杯的壁厚为________．
图3
4．（RJ八上P59 T5）如图4，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方．如果从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离CA，DB相等．请你说明理由．
图4
思维拓展
5．小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千．如图5，小丽坐在秋千的起始位置A处（OA与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.3 m，点B到OA的距离BD为1.5 m，点C到OA的距离CE为1.8 m，∠BOC＝90°，则爸爸是在距离地面多高的地方（即点C距离地面的高度）接住小丽的？
图5
第10课时　☆问题解决策略—— 特殊化
基础过关
1．如图1，两个边长为6的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为________．
图1
2．【问题引入】从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【特殊化探究】我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．
从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如上表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小的是3，最大的是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，10这10个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有________种不同的结果．（结果用含n的式子表示）
【探究延伸】
（4）从60张面值分别为1元、2元、3元、…、60元的奖券中（面值均为整数），一次任意抽取5张奖券并把面值相加，共有______种不同的金额．
能力提升
3．（BS七下P115 T2改编）如图2，四边形ABCD的面积是18，各边中点分别为M，N，P，Q，MP与NQ相交于点O，则图中阴影部分的总面积为________．
图2
4．请用特殊化策略解决问题：甲、乙两人玩拿卡片游戏，两人依次从n张卡片中拿1张或2张，拿到最后的卡片就获胜，在下列情况下，甲必胜的策略是（　　）
A．当n＝3k时（k为正整数），甲先拿1张
B．当n＝3k时（k为正整数），甲先拿2张
C．当n＝3k＋1时（k为正整数），甲先拿2张
D．当n＝3k＋2时（k为正整数），甲先拿2张
思维拓展
5．（BS七下P115 T4改编）一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是多少？商的最小值呢？
第四章　三角形
第1课时　认识三角形(一)—— 三角形及其内角和
1．B　2．B　3．A　4．A　5．70°
6．解：因为∠A＝35°，∠ACB＝75°，
所以∠B＝180°－35°－75°＝70°．
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°．
7．C
8．证明：设∠1＝x，则∠A＝x－10°．
在△ABC中，∠A＋∠1＋∠B＝180°，
即x－10°＋x＋42°＝180°．解得x＝74°．
所以∠DCB＝64°＋∠1＝64°＋74°＝138°．
所以∠DCB＋∠B＝138°＋42°＝180°．
所以AB∥CD．
9．解：由题意，得∠DAB＝54°，∠ECB＝18°，∠DAC＝∠ACE＝90°．
所以∠BAC＝∠DAC－∠DAB＝90°－54°＝36°，
∠ACB＝∠ACE＋∠ECB＝90°＋18°＝108°．
所以∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－36°－108°＝36°．
10．A
第2课时　认识三角形(二)—— 三角形的三边关系
1．A　2．C　3．A　4．24
5．解：由于底边和腰不确定，分类讨论如下：
①当底边长为5时，腰长为 ×(17－5)＝6．
此时三边长分别为5，6，6，满足三边关系，能组成三角形．
②当腰长为5时，底边长为17－2×5＝7．
此时三边长分别为5，5，7，满足三边关系，能组成三角形．
综上，该等腰三角形的腰长为5或6．
6．D　7．C　8．21
9．解：当△ABC为等腰三角形时，由于底边和腰不确定，分类讨论如下：
①当AC为底边时，有BC＝AB，
即2a＋2＝8．解得a＝3．
此时三边长分别为8，8，22，不满足三边关系，所以不能组成三角形．
②当AC为腰时，有BC＝AC，
即2a＋2＝22．解得a＝10．
此时三边长分别为22，22，8，满足三边关系，所以能组成三角形．
综上，a的值为10．
第3课时　认识三角形(三)—— 三角形的高、中线、角平分线
1．C　2．B　3．A　4．17
5．证明：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以∠DAF＝∠1，∠DAE＝∠2．
因为AD是△ABC的角平分线，所以∠DAF＝∠DAE．所以∠1＝∠2．
6．4∶5　7．点D
8．解：因为∠B＝60°，∠C＝40°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－40°＝80°．
因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°．
因为AD⊥BC，∠B＝60°，
所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－30°＝10°．　
9．1
微专题2　三角形中的数学思想
1．D　2．280°　3．60°或10°
4．证明：因为AB∥CD，所以∠CAB＋∠ACD＝180°．
因为AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，
所以∠CAE＝∠CAB，∠ACE＝∠ACD．
所以∠CAE＋∠ACE＝(∠CAB＋∠ACD)＝×180°＝90°．
所以∠E＝180°－∠CAE－∠ACE＝180°－(∠CAE＋∠ACE)＝180°－90°＝90°．
所以△ACE是直角三角形．
5．40°　6．D
7．解：设∠B＝x，则∠C＝4x．
因为∠A－∠B＝30°，所以∠A＝30°＋∠B＝30°＋x．
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以30°＋x＋x＋4x＝180°．
解得x＝25°．
所以∠B＝25°，∠A＝30°＋25°＝55°，∠C＝4×25°＝100°．
所以△ABC是钝角三角形．
8．解：(1)40．
(2)CG＝DE＋DF．证明如下：
答图1
如答图1，连接AD．
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以 AB·CG＝AB·DE＋AC·DF．
又AB＝AC，所以CG＝DE＋DF．
第4课时　全等三角形
1．D　2．(1)△ADE；(2)3；(3)20　60　3．8
4．解：因为△ABC≌△BAD，所以∠ABD＝∠BAC＝65°．
所以∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝65°－26°＝39°．
在△AEB中，∠E＋∠BAE＋∠ABE＝180°，
所以∠E＝180°－∠BAE－∠ABE＝180°－65°－65°＝50°．
5．解：(1)因为BE⊥AD，所以∠EBD＝90°．
因为△ACF≌△DBE，所以∠FCA＝∠EBD＝90°．
所以∠A＝90°－∠F＝90°－62°＝28°．
(2)因为△ACF≌△DBE，所以CA＝BD．
所以CA－CB＝BD－BC，即AB＝CD．
因为AD＝9，BC＝5，所以AB＋CD＝9－5＝4．所以AB＝2．
所以AC＝AB＋BC＝2＋5＝7．
6．解：(1)因为△ABD≌△EBC，
所以BD＝BC＝3 cm，AB＝EB＝2 cm．
所以DE＝BD－EB＝3－2＝1(cm)．
答图1
(2)AD⊥CE．理由如下：
如答图1，延长CE，交AD于点F．
因为△ABD≌△EBC，所以∠D＝∠C，∠ABD＝∠EBC．
由题意，得∠ABD＋∠EBC＝180°．
所以∠ABD＝∠EBC＝90°．
所以∠A＋∠D＝180°－∠ABD＝180°－90°＝90°．
所以∠A＋∠C＝90°．
所以∠AFC＝180°－∠A－∠C＝180°－(∠A＋∠C)＝180°－90°＝90°，即AD⊥CE．
第5课时　探索三角形全等的条件(一)—— SSS
1．D　2．A
3．证明：因为BD＝CE，所以BD－CD＝CE－CD，即BC＝ED．
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SSS)．
4．解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
5．A　6．25°
7．证明：(1)因为B是AC的中点，
所以AB＝CB．
在△ABE和△CBD中，
所以△ABE≌△CBD(SSS)．
(2)因为△ABE≌△CBD，所以∠ABE＝∠CBD．
所以∠ABE－∠DBE＝∠CBD－∠DBE，即∠ABD＝∠CBE．
8．解：AD⊥AE．理由如下：
在△ABD和△ACE中，
所以△ABD≌△ACE(SSS)．所以∠BAD＝∠CAE，
即∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD．所以∠BAC＝∠DAE．
因为AB⊥AC，所以∠BAC＝90°．
所以∠DAE＝90°，即AD⊥AE．
第6课时　探索三角形全等的条件(二)—— ASA，AAS
1．∠BAC＝∠DAC(答案不唯一)
2．证明：在△ABC和△CDA中，
所以△ABC≌△CDA(AAS)．所以AB＝CD．
3．证明：因为AB∥DF，所以∠B＝∠CPD，∠A＝∠FDE．
因为∠E＝∠CPD，所以∠E＝∠B．
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(ASA)．
4．③
5．解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
【提示】作法：①作∠MBO＝∠α；
②在射线BO上截取BC＝a；
③以点C为顶点，以BC为一边，作∠NCB＝2∠α，NC交BM于点A．
△ABC就是所求作的三角形．
6．(1)证明：因为BE⊥CE，AD⊥CE，所以∠CDA＝∠E＝90°．
所以∠ACD＋∠CAD＝90°．
因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＋∠BCE＝90°．所以∠CAD＝∠BCE．
在△CDA和△BEC中，
所以△CDA≌△BEC(AAS)．
(2)解：由(1)知，△CDA≌△BEC．
所以CD＝BE，CE＝AD＝2.5．
因为CD＝CE－DE＝2.5－1.7＝0.8，所以BE＝0.8．
第7课时　探索三角形全等的条件(三)—— SAS
1．B　2．AC＝DF
3．证明：因为点D是BC延长线上一点，DE∥AB，
所以∠D＝∠ABC．
在△BDE和△ABC中，
所以△BDE≌△ABC(SAS)．所以BE＝AC．
4． 解：如答图1，△ABC即为所求．
答图1
【提示】作法：①作一条线段CB＝a；
②以点C为顶点，以CB为一边，作∠BCD＝90°；
③在射线CD上截取线段CA＝b；
④连接AB．
△ABC就是所求作的三角形．
5．甲　6．5
7．(1)证明：因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠DBE．
在△ABE和△DBE中，
所以△ABE≌△DBE(SAS)．
(2)解：在△CDE中，∠CDE＝80°，∠C＝50°，
所以∠CED＝180°－∠CDE－∠C＝180°－80°－50°＝50°．
所以∠AED＝180°－∠CED＝180°－50°＝130°．
因为△ABE≌△DBE，所以∠AEB＝∠DEB．
所以∠AEB＝∠AED＝×130°＝65°．
第8课时　探索三角形全等的条件(四)
—— 全等三角形的判定综合
1．D
2．解：选择①OA＝OC．
理由：因为AD∥BC，所以∠OAD＝∠OCB．
在△AOD和△COB中，
所以△AOD≌△COB(ASA)．所以AD＝CB．
(或选择②∠ABC＝∠CDA．
可证明△ABC≌△CDA，从而得到AD＝CB．)
3．解：因为∠BAD＝∠EAC，
所以∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD．
在△BAC和△EAD中，
所以△BAC≌△EAD(SAS)．所以∠C＝∠D．
因为∠C＝50°，所以∠D＝50°．
4．B
5．(1)证明：因为∠B＝∠ACD，且∠B＋∠ACB＋∠A＝180°，∠ACD＋∠ACB＋∠DCE＝180°，所以∠A＝∠DCE．
在△ABC和△CED中，
所以△ABC≌△CED(AAS)．
(2)解：因为△ABC≌△CED，所以AB＝CE＝8，BC＝ED＝4．
所以BE＝BC＋CE＝4＋8＝12．
6．证明：在△ABD和△CBD中，
所以△ABD≌△CBD(SSS)．所以∠ABD＝∠CBD．
因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以∠OEB＝∠OFB＝90°．
在△BOE和△BOF中，
所以△BOE≌△BOF(AAS)．所以OE＝OF．
微专题3　四大常考全等模型
1．B
2．证明：因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
所以△ABF≌△DCE(SAS)．所以∠A＝∠D．
3．(1)证明：因为△ABC为等边三角形，所以∠B＝∠C＝60°．
所以∠BDE＋∠BED＝180°－∠B＝180°－60°＝120°．
因为∠EDF＝60°，
所以∠BDE＋∠CDF＝180°－∠EDF＝180°－60°＝120°．
所以∠BED＝∠CDF．
在△BDE和△CFD中，
所以△BDE≌△CFD(AAS)．
(2)解：4．
4．解：(1)因为∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠B＝∠ACE．
因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠ACB＝90°．
所以∠ACE＋∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°．
(2)α＋β＝180°．
理由：由(1)，得△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠B＝∠ACE．
所以∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB＝∠BCE＝β．
因为∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，所以α＋β＝180°．
第9课时　利用三角形全等测距离
1．C
2．解：因为BD∥AC，所以∠ACB＝∠DBC．
在△ACB和△DBC中，
所以△ACB≌△DBC(SAS)．所以AB＝DC．
所以测得CD的长就是AB的长．
3．1 cm
4．解：由题意，得∠CAB＝∠DBA＝90°．
因为∠CAD＝∠CBD，
所以∠CAB－∠CAD＝∠DBA－∠CBD，即∠DAB＝∠CBA．
在△CAB和△DBA中，
所以△CAB≌△DBA(ASA)．所以CA＝DB．
所以海岛C，D到观测点A，B所在海岸的距离CA，DB相等．
5．解：由题意，得∠BDO＝∠OEC＝90°，OB＝OC．
所以∠OBD＋∠BOD＝180°－∠BDO＝180°－90°＝90°．
因为∠BOC＝90°，即∠BOD＋∠COE＝90°，
所以∠OBD＝∠COE．
在△OBD和△COE中，
所以△OBD≌△COE(AAS)．
所以BD＝OE＝1.5 m，OD＝CE＝1.8 m．
所以DE＝OD－OE＝1.8－1.5＝0.3(m)．
因为点B距离地面的高度为1.3 m，
所以点C距离地面的高度为0.3＋1.3＝1.6(m)．
答：爸爸是在距离地面1.6 m的地方接住小丽的．
第10课时　☆问题解决策略—— 特殊化
1．9　2．(1)7；(2)22；(3)(5n－24)；(4)276　3．9　4．D
5．解：设这个三位数为100a＋10b＋c．
因为 ＝100－，
所以当a≠0，b＝c＝0时，商最大，商的最大值是100．
因为 ＝10＋，
所以当a＝1，c＝9时，分子90a－9c有最小值．
此时若取b＝9，则分母a＋b＋c有最大值．
所以当a＝1，b＝c＝9时，商最小，商的最小值是10．