第五章图形的轴对称 课时练（含答案） 22025-2026学年数学北师大版七年级下册

第五章　图形的轴对称
第1课时　轴对称及其性质
基础过关
1．（2025重庆）下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
2．线段AB与A′B′（AB＝A′B′）不关于直线l成轴对称的是（　　）
3．如图1，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A′＝50°，∠C＝20°，则∠B′的度数为（　　）
图1
A．110° B．70° C．90° D．30°
4．如图2，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P在直线MN上，下列判断错误的是（　　）
图2
A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
5．下面图形中，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，请指出其对称轴的数量，并画出它们的对称轴．
能力提升
6．如图3，直线AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，则与它成轴对称的图形是数字________．
图3
7．如图4，P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N.若P1P2＝15，则△PMN的周长为________．
图4
8．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图5是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，那么所得的对弈图是轴对称图形．（A，B，C，D都位于棋盘的格点上）
图5
思维拓展
9．如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P在边BC上，将△ABP沿AP折叠，使点B落在AC延长线上的点D处．若∠CPD＝40°，则∠PAC的度数为________．
图6
第2课时　简单的轴对称图形（一）—— 等腰三角形
基础过关
1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠A的度数为（　　）
图1
A．130° B．120° C．110° D．100°
2．如图2，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，BD＝2，则AC的长为（　　）
图2
A．2 B． C．3 D．4
3．如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，过点A作BC的平行线MN，则∠CAN的度数为________．
图3
4．如图4，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，则下列结论正确的是________.　
图4
①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③BD＝CD；④AB＝2BD．
5．如图5，在△ABC中，D为AC上一点，连接BD．若∠A＝40°，AD＝BD＝BC，求∠CBD的度数．
图5
能力提升
6．如图6，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　）
图6
A．100° B．115° C．130° D．145°
7．（RJ八上P80 T3改编）如图7，在△ABC中，CD是边AB上的中线，且CD＝AB．求证：∠ACB＝90°．
图7
思维拓展
8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，求这个等腰三角形底角的度数．
第3课时　简单的轴对称图形（二）—— 线段
基础过关
1．如图1，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，若MA＝3，则MB的长为（　　）
图1
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图2，在△ABC中，BC＝15，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.若△BCE的周长为35，则AC的长为（　　）
图2
A．15 B．17.5 C．20 D．25
3．图3是利用尺规作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（　　）
图3
A．∠B＝45° B．AB⊥CD C．AC＝BC D．∠CAE＝∠CBE
4．如图4，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，则∠ADC＝________°．
　　
图4
5．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图5所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离都相等，那么这个体育公园应建在__________________________的位置，其原理是__________________________________________________．
图5
能力提升
6．如图6，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝7 cm，△ABD的周长为20 cm，求△ABC的周长．
图6
7．如图7，在△ABC中，∠A＞∠B，D是边AB上一点．
（1）尺规作图：过点D作边AB的垂线DE，与AB，BC分别相交于点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接AE，若D是边AB的中点，求∠CAE的度数．
图7
思维拓展
8．如图8，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC．若∠BAC＝110°，则∠DAF＝________°．
图8
第4课时　简单的轴对称图形（三）—— 角
基础过关
1．观察图1中尺规作图的痕迹，下列说法错误的是（　　）
图1
A．OE平分∠AOB B．点E到OA，OB的距离相等
C．OC＝OD D．OD＝CE
2．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E.若AC＝8 cm，则AD＋DE＝（　　）
图2
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
3．如图3，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点，连接PQ.若PA＝4，则PQ的最小值为（　　）
图3
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图4，在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝130°．
（1）尺规作图：作∠A的平分线，交BC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求∠ADC的度数．
图4
能力提升
5．如图5，在△ABC中，BC＝12，BD平分∠ABC，交AC于点D．若DE⊥AB，垂足为E，且DE＝4，则△BCD的面积为（　　）
图5
A．12 B．20 C．24 D．48
6．如图6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB．其中一定正确的有________．（填序号）
图6
7．（RJ八上P53 T6）如图7，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF．
图7
思维拓展
8．如图8，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是4，6，8，三条角平分线相交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝（　　）
图8
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
微专题4　尺规作图及其运用
基础过关
1．如图1，在∠BAC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长度为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO.点D在AO上，E为AB上一动点．若点D到AC的距离为3，则DE的长度的最小值为________．
图1
2．如图2，在△ABC中，某同学用尺规作图的方法在边BC上作出D，E两点．根据作图痕迹，若BC＝7，则△ADE的周长为________．
图2
3．如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点P，作射线AP，交BC于点D．若CD＝4，AB＝13，则△ABD的面积为________．
图3
4．如图4，已知直线l和l上的一点P，用尺规过点P作l的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）
图4
能力提升
5．如图5，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AC于点D，交AB于点E，连接BD．若△ABC的周长为10 cm，△BCD的周长为6 cm，则AE的长度为（　　）
图5
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
6．如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，交AB于点Q，交BC于点P.按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点F；作射线AF.射线AF与直线PQ相交于点G，则∠AGQ的度数为________．
图6
思维拓展
7．如图7，直线AO，BO表示两条笔直的公路，它们相交于点O，点M，N表示两个村庄．现计划新建一家超市，使得超市到两条公路的距离相等，同时到两个村庄的距离也相等，请你在图中用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
图7
第5课时　☆问题解决策略—— 转化
基础过关
1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，直线AD是△ABC的对称轴，交BC于点D，E为AC上一定点，F为线段AD上一动点，当________________时，EF＋CF的值最小．
图1
2．如图2，圆的面积为4π，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留π）
图2
3．如图3，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，直线DF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点F，P为DF上一动点，则△ABP周长的最小值是________．
　　
图3
4．如图4，直线m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在直线m的同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，员工一般是从工作区A下班后到点P领取午餐，再到生活区B就餐、休息．点P应选在哪才能使员工所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出员工所走路线．
图4
能力提升
5．如图5，以半圆上的点A为圆心，AB为半径作扇形ABC． 线段AC交弧AB的中点于点D．若AB＝8，则阴影部分面积S＝________．（结果保留π）
图5
6．黑板上写着一排连续的自然数1，2，3，…，51，甲、乙两人轮流划掉连续的3个数，甲先开始，规定划掉最后连续3个数的人获胜．若甲、乙两人都按照最佳策略划掉连续的3个数，则甲、乙谁会获胜？获胜的策略是什么？
思维拓展
7．如图6，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
图6
第五章　图形的轴对称
第1课时　轴对称及其性质
1．B　2．B　3．A　4．B
5．解：①③是轴对称图形．其中①有1条对称轴，③有3条对称轴．
画出各自的对称轴如答图1所示．
答图1
6．2　7．15　8．D　9．20°
第2课时　简单的轴对称图形(一)—— 等腰三角形
1．D　2．D　3．70°　4．①②③
5．解：因为∠A＝40°，AD＝BD，所以∠ABD＝∠A＝40°．
所以∠ADB＝180°－∠ABD－∠A＝180°－40°－40°＝100°．
所以∠BDC＝180°－∠ADB＝180°－100°＝80°．
因为BD＝BC，所以∠C＝∠BDC＝80°．
所以∠CBD＝180°－∠C－∠BDC＝180°－80°－80°＝20°．
6．B
7．证明：因为CD是边AB上的中线，所以AD＝BD＝AB．
又CD＝AB，所以CD＝AD＝BD．
所以∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD．
因为∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD，
所以∠A＋∠ACD＋∠BCD＋∠B＝180°，
即2∠ACD＋2∠BCD＝180°．
所以∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°．
8．解：分以下两种情况讨论：
①如答图1，当等腰三角形ABC为锐角三角形时，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D．
由题意，得∠ABD＝56°，∠ADB＝90°．　
所以∠A＝90°－∠ABD＝90°－56°＝34°．
所以∠ABC＝∠C＝＝73°．
答图1 答图2
②如答图2，当等腰三角形ABC为钝角三角形时，AB＝AC，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D．
由题意，得∠ABD＝56°，∠ADB＝90°．
所以∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－56°＝34°．
所以∠BAC＝180°－∠BAD＝180°－34°＝146°．
所以∠ABC＝∠C＝＝17°．
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为73°或17°．
第3课时　简单的轴对称图形(二)—— 线段
1．B　2．C　3．A　4．60
5．三条边垂直平分线的交点
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
6．解：因为DE是AC的垂直平分线，所以AD＝CD，AE＝CE．
所以AC＝2AE＝14 cm．
因为△ABD的周长为20 cm，
所以AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝20 cm．
所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20＋14＝34(cm)．
7．解：(1)作图如答图1所示．
答图1
(2)由(1)，得DE⊥AB．
又D是边AB的中点，
所以DE是AB的垂直平分线．所以AE＝BE．
因为∠B＝50°，所以∠BAE＝∠B＝50°．
因为∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－60°＝70°．
所以∠CAE＝∠BAC－∠BAE＝70°－50°＝20°．　
8．40
第4课时　简单的轴对称图形(三)—— 角
1．D　2．C　3．D
4．解：(1)如答图1，射线AD即为所求．
答图1
(2)因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠BAC＝×130°＝65°．
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－65°＝85°．
所以∠ADC＝180°－∠ADB＝95°．
5．C　6．①②④
7．证明：因为OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠DOF＝∠EOF，∠PDO＝∠PEO＝90°，PD＝PE．
因为∠DPO＝180°－∠DOF－∠PDO，∠EPO＝180°－∠EOF－∠PEO，所以∠DPO＝∠EPO．
所以180°－∠DPO＝180°－∠EPO，即∠DPF＝∠EPF．
在△PDF和△PEF中，
所以△PDF≌△PEF(SAS)．所以DF＝EF．
8．C
微专题4　尺规作图及其运用
1．3　2．7　3．26
4．解：如答图1，直线MN即为所求．
答图1 答图2
5．A　6．56°
7．解：如答图2，点P即为超市所在的位置．
第5课时　☆问题解决策略—— 转化
1．点B，F，E在同一直线上　2．2π　3．7
4．解：如答图1，作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点，连接AP，BP，折线APB即为员工所走的最短路线．
答图1
5．8π－16
6．解：甲会获胜．
获胜的策略：甲先把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这剩下的数分成了两组，每组有24个数．这样，只要乙在某一组划去连续的3个数，那么甲就在另一组里相对称的位置上划掉连续的3个数．
7．解：如答图2，作点A关于MN的对称点A′，作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′，分别交MN，直线l于点C，D，连接AC，DB，则路径ACDB即为所求．
答图2