二次函数综合问题（线段与周长问题） 重点考点专题练 2026届初中数学中考一轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数综合问题（线段与周长问题） 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
1．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)当线段长等于2时，求点的坐标．
(3)直接写出线段长的最大值是________．
2．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ；
(3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式．
(3)是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过，两点．动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，过点作交于点．
(1)求点的坐标及抛物线的函数表达式；
(2)过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？
(3)连接，是否存在的值使为等腰三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
5．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当线段最短时，求点的坐标；
(3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值．
6．如图，一次函数分别交轴、轴于两点，抛物线过、B两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直于轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当取何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)在（2）的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，求第四个顶点的坐标．
7．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长；
(3)连接，当时，求点P的坐标．
(4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是抛物线上一点，且，求点D的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，某二次函数的图象交坐标轴于、、三点，点是直线下方抛物线上的一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求点的坐标，使面积最大，最大面积是多少？
(3)直接写出对称轴上点的坐标，使的周长最小．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值；
(3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值．
11．如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，求出点和点的坐标；
(3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为，点是抛物线上一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合），过点作，垂足为点，连接交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的长；（用含的式子表示）
(3)若，请直接写出的取值范围．
13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．
(1)求的解析式；
(2)当点在线段上时，求的最大值；
(3)设点，到直线的距离的和为（）．
①求关于的函数解析式；
②根据的不同取值，试探索点的个数情况．
14．抛物线交轴于，两点（在）的右侧，交轴于点是第四象限内抛物线上一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，过动点作，垂足为点，连接．当时，求点的坐标；
(3)如图2，过动点作的平行线交轴于点，若射线平分线段，求的长．
参考答案
1．(1)；点的坐标为
(2)或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，求出函数解析式，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，可得，求出，由可得结论；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴可得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
直线的解析式为；
轴，点的横坐标为，
，
，
解得或，
，
或；
（3）解：，
，，
当时，取最大值，最大值为．
长度的最大值是．
故答案为：．
2．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)最大值为
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（）由（）得抛物线的解析式为，所以，然后通过二次函数的平移即可求解；
（）作直线轴于点，交抛物线于点，由（）得抛物线的解析式为，令，则，则，求出直线解析式为，设，则，则，最后通过二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（）得抛物线的解析式为，
∴，
∵将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，
∴平移后的解析式为，
∵平移后的解析式恰好经过点，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：；
（3）解：如图，作直线轴于点，交抛物线于点，
由（）得抛物线的解析式为，
令，则；
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，为．
3．(1)
(2)抛物线顶点的坐标为，直线的函数表达式为
(3)
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，线段最值问题，解题的关键是正确求出表达式．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将抛物线配方成顶点式即可求出顶点坐标；利用待定系数法求出直线的函数表达式；
（3）设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵
∴抛物线顶点的坐标为；
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为
设直线的函数表达式为
将，代入得，
解得
∴直线的函数表达式为；
（3）解：设，则
∴
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，有最大值
将代入得，．
4．(1)，
(2)当时，有最大值是1
(3)存在，或或
【分析】（1）利用矩形的性质即可得到点A的坐标；用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可得的长，且用待定系数法可求得直线的解析式，易得，由相似三角形的性质可求得的长，从而可求得点E、G的坐标，得到关于t的二次函数关系式，即可求得的最大值及此时的t值；
（3）分三种情况：；利用两点间的距离公式可得关于t的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：矩形的三个顶点，，，
轴，轴，点的坐标为，
将、两点坐标分别代入得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1，由题意得：，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
，即，
，
当时，，
，，，，
，
，
当时，有最大值是1；
（3）解：有三种情况：
①当时，
，，，，
根据两点间距离公式，得：
．
整理得，
，
解得或（此时、重合，不能构成三角形，舍去）；
②当时，
，，，，
根据两点间距离公式，得：
，
整理得，
解得：，（此时不在矩形的边上，舍去）；
③当时，
，，，
根据两点间距离公式，得：，
解得（此时、重合，不能构成三角形，舍去）或．
综上，的值是或或．
5．(1)
(2)点P的坐标为；
(3)的值为或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵和
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
又∵轴，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴当时，最短，
∴当时，；
∴点P的坐标为；
（3）解：当时，；
当时，；
，
∴抛物线的对称轴为；
①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴最大值与最小值的差为，
解得，不符合题意舍去；
②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴最大值与最小值的差为，
解得，不符合题意舍去；
③当时，即，此时最大值为，
∴最小值为，
若，则或（舍去）；
若，则或（舍去）；
故的值为或．
6．(1)
(2)当时，有最大值，最大值为4
(3)或或
【分析】（1）根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）用含t的式子表示出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据（2）所求可求出点M和点N的坐标，再分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∵抛物线过、B两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4；
（3）解：由（2）可知，当时，，
∴．
设，
当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得
，
解得，
∴点D的坐标为；
当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得
，
解得，
∴点D的坐标为；
当为该平行四边形的对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得
，
解得，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或或．
7．(1)
(2)
(3)点P的坐标为
(4)存在，点M的坐标为或或或．
【分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解；
（3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求；
（4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交于点，连接，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
点是直线上方抛物线上，
，
当时，有最大值，此时；
∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴当为最大值时，线段的长．
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
，
作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
，
在直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
点与点重合，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或（舍，
；
（4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，，，
①当为菱形对角线时，，
，
解得，
，；
②当为菱形对角线时，，
，
解得，
，或，；
③当为菱形对角线时，，
，
解得或（舍，
；
综上所述：点的坐标为或或或．
8．(1)
(2)点D坐标为或或
(3)存在，点P坐标为
【分析】本题考查了二次函数综合——面积问题和周长问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点D坐标为，求得，可得，即，解方程即可得答案；
（3）连接，，利用抛物线点对称性可知当点B、P、C三点共线时，此时的周长最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，即可解答．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设点D坐标为，
∵，
∴，
∴，
即
∴或，
解得：，此时；
解得：，此时或
∴点D坐标为或或；
（3）解：存在，
如图所示，连接，，
∵点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴，
∴的周长，
即当点B、P、C三点共线时，此时的周长最小，
对于，令，则，
∴，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴对于，当时，，
∴点P坐标为．
9．(1)
(2)；
(3)
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解函数解析式、二次函数的图象与性质、三角形的面积、方程思想等知识．
（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标；
（3）可得对称轴为直线，而，故，那么当共线时，即点为对称轴与直线的交点时，的周长取得最小值，再将代入即可求解坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由题意可设，
过作轴于点，交直线于点，如图2，
设直线解析式为，则有：
，解得：，
∴直线解析式为，
，
∴，
∵
，
∵
∴当时，最大值为8，此时，
∴点坐标为．
（3）解：对于抛物线，则对称轴为直线
∵抛物线与轴交于点，
∴点关于对称轴对称，
∴，
∵
∴当共线时，即点为对称轴与直线的交点时，的周长取得最小值，
将代入得，，
∴的周长最小时，．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键．
（1）代入点、坐标，用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得，为定值，则根据当取得最小值时，有最小值即可求解；
（3）根据条件判断出符合条件的点的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案．
【详解】（1）解：将点，代入，得，
解得，
∴．
（2）解：，，
∴，
∵，，则，，
∴为定值，
∴当取得最小值时，有最小值，
当点在线段上时，取得最小值，最小值为，
∴的最小值为．
（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点，
设该直线的解析式为，
联立方程，得，整理得，，
有且只有一个交点，
∴，
解得，
∴点符合条件的位置之一在直线上，
设直线与轴交于点，则，
∴．
11．(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数的表达式，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，则可求出直线的函数表达式为，设，则，则可得到，解方程即可得到答案；
（3）设，则，分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，利用两点间的距离公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的函数表达式为，则，
∴，
∴直线的函数表达式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为，
设，则，
∵，
∴，
，
，
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得或（舍去）
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
12．(1)抛物线的表达式为
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据抛物线的性质，确定点B，点C的坐标，再确定直线的解析式，再根据解析式确定点D的坐标， 则，解答即可．
（3）设， 直线的解析式为，解得直线的解析式为：．设与的交点为G，故故， 根据三角形面积关系，构造不等式，构造二次函数确定取值范围，结合已知确定答案即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求不等式的解集，面积分割法，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线（，为常数）交轴于点，两点（点在点右侧），交轴于点，顶点为，
解得
抛物线的解析式为．
（2）解：由抛物线的解析式为，
得，
解得，
故点B的坐标为，点C的坐标为，
又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合），
故，且，
故，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
令，
解得，
故，
∴.
（3）解：由抛物线的解析式为，
得，
解得，
故点B的坐标为，点C的坐标为，
又是抛物线上的一动点，且在抛物线对称轴的左侧（不与点重合），
故，且，
故，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
设与的交点为G，
故
故，
故，
，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
令，
当时，解得或，
∴时，t的取值范围是，
∵，
∴．
13．(1)
(2)取最大值4
(3)①；②当时，有4个点；当时，有3个点；当时，有2个点．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，一次函数解析式的求解，等腰三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题关键是将二次函数，一次函数与具体函数图象结合分析．
（1）先求解出点与点的坐标，再将两个点的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）先表示出点，点与点的坐标，再表示出的长度，根据二次函数的最值求解即可；
（3）①先求解出直线的函数解析式，再由边与角的关系得到和都是等腰直角三角形，根据与或这两种情况求解即可；
②作出关于的函数图象，再根据m的不同取值求解即可．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，即，
当时，，解得，，，
即，，
将，代入，
得，解得，
∴的解析式为；
（2）解：∵直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点，
∴点，点，点，
∵点在线段上，即，
∴，
当时，取最大值4；
（3）解：①过点作于点，过点作于点，
设直线交于点，如图，
设直线为，将代入得，解得，
∴直线为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
根据勾股定理，，，
∴，，
当时，，
，
∴；
当或时，，
，
∴；
综上可得，；
②由得，当时，有最大值，
关于的函数图象如图所示，
∴当时，有4个点，
当时，有3个点，
当时，有2个点．
14．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）由两点的坐标可得三角形是等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，交于点，可得是等腰直角三角形，进而得出，从而可求得点坐标；
（3）过作轴平行线交射线于点，可得，从而求得点坐标．
【详解】（1）解：抛物线过，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）解：抛物线，
，
解析式为：，
如图，过点作轴，垂足为，交于点，
，
设，则，
，
解得：，
或；
（3）解：，
解析式为：，
过作轴平行线交射线于点，
射线平分，
设，则，
，
，
，
解得：（舍去）或，
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)