第15章 分式
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.分式有意义，则x的取值范围为（ C ）
A.x＞2 B.x＜2 C.x≠2 D.x＝2
2.分式与的最简公分母是（ A ）
A.6a2b B.6ab C.6a2b2 D.2ab
3.下列分式变形正确的是（ D ）
A.＝－ B.＝
C.＝a＋b D.＝
4.生物学家发现：生物具有遗传多样性，遗传密码大多储存在DNA分子上.一个DNA分子的直径约为0.000 000 2 cm，这个数用科学记数法可以表示为（ B ）
A.0.2×10－6 B.2×10－7
C.0.2×10－7 D.2×10－8
5.化简－的结果是（ C ）
A. B. C. D.
6.解分式方程＋＝，以下四步，其中错误的一步是（ D ）
A.方程中各分母的最简公分母是（x－1）（x＋1）
B.方程两边同乘以（x－1）（x＋1），得2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C.解这个整式方程，得x＝1
D.原分式方程的解为x＝1
7.将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x，y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值（ A ）
A.不改变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍
8.一辆汽车以v千米/时的速度行驶，从A地到B地需要t小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米/时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（ C ）
A. B.t－ C. D.－t
9.红心脐橙又名卡拉红肉脐橙，是江津的特产之一.该品种果肉粉红色至红色，色泽均匀，有特殊香味，品质优、商品性好，吃时甜汁欲滴，满腮生津，广得人们喜爱.某果园计划种植一批红心脐橙，原计划总产量5.5万公斤，为满足市场需求，该果园决定改良红心脐橙品种，改良后平均亩产量是原来的1.6倍，总产量比原计划增加了0.9万公斤，种植亩数减了10亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ D ）
A.－＝10 B.－＝10
C.－＝10 D.－＝10
10.李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程－1＝，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当k＝0时，此方程的解为x＝1；乙：若此方程有增根，则k＝4；丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是k≥4.下列判断正确的是（ A ）
A.甲、乙对，丙错
B.甲、丙对，乙错
C.乙、丙对，甲错
D.甲、乙、丙都对
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.若分式的值为0，则a的值是 － .
12.计算：x－2y3 （x2y－2）－3＝ .
13.计算： ＝ x＋1 .
14.已知－＝4，则＝ 6 .
15.若整数a使关于x的分式方程＝2－的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 7 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（9分）计算：
（1）（－1）2 026－｜－7｜＋×（－π）0＋－1；
解：原式＝1－7＋3＋5
＝2.
（2）（ab3）2 ÷4；
解：原式＝a2b6
＝a4b3.
（3） （x－3）.
解：原式＝ （x－3）
＝1－
＝.
17.（8分）解下列方程：
（1）＝；
解：方程两边都乘以x（x＋1），约去分母，得30（x＋1）＝10x.
解这个整式方程，得x＝－.
检验：把x＝－代入x（x＋1），得－×≠0，
所以，x＝－是原方程的解.
（2）＝－3.
解：方程两边都乘以（x－2），约去分母，得1＝－（1－x）－3（x－2）.
解这个整式方程，得x＝2.
检验：把x＝2代入x－2，得2－2＝0，
所以，x＝2是原分式方程的增根，原分式方程无解.
18.（8分）先化简，再求值：÷，其中a＝2，b＝3.
解：原式＝÷
＝
＝.
当a＝2，b＝3时，原式＝＝－5.
19.（8分）某市开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做3天，剩下的工程再由甲、乙两队合作8天可以完成，求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天.
解：设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天.
根据题意，得＋＝1.
解得x＝15.
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意.
∴2x＝30.
答：甲队单独完成这项工程需要15天，乙队单独完成这项工程需要30天.
20.（8分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
－＝
（1）聪明的你请求出盖住部分的代数式；
（2）当x＝2，y等于何值时，原分式的值为5？
解：（1）由题意，得÷
＝
＝
＝－.
∴盖住部分的代数式为－.
（2）∵x＝2时，原分式的值为5，即＝5，
∴10－5y＝2.解得y＝.
经检验，y＝是原方程的解.
所以当x＝2，y＝时，原分式的值为5.
21.（10分）阅读理解：
已知x＋＝3，求分式的值.
解：∵x＋＝3，∴＝x－4＋＝x＋－4＝3－4＝－1.∴＝＝＝－1.
根据材料，解答下面问题：
（1）已知a＋＝3，则分式的值为 ，分式的值为 ；
（2）已知x＋＝，求分式的值.
解：（2）∵x＋＝，
∴＝＝＝x＋＋1＝＋1＝.
∴＝＝＝.
22.（12分）“垃圾分一分，环境美十分”.我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4 000元购买A品牌垃圾桶的数量与用6 000元购买B品牌垃圾桶的数量相同.
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元；
（2）若学校决定再次准备用不超过4 800元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价下降了20％，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
解：（1）设A品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个（x＋50）元.
根据题意，得＝，解得x＝100.
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意.
∴x＋50＝150.
答：A品牌垃圾桶每个100元，B品牌垃圾桶每个150元.
（2）设该学校此次可购买y个B品牌垃圾桶，则可购买（50－y）个A品牌垃圾桶.
由题意，得（50－y）×100×0.9＋150y（1－20％）≤4 800，解得y≤10.
答：B品牌垃圾桶最多买10个.
23.（12分）阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘以y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解.
当y＝2时，＝2，解得x＝－1；
当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x1＝－1，x2＝是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题：
（1）若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为 －＝0 ；
（2）若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为 y－＝0 ；
（3）模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
解：（3）原方程化为－＝0.
设y＝，则原方程化为y－＝0.
方程两边同时乘以y，得y2－1＝0，解得y＝±1.
经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解.
当y＝1时，＝1，该方程无解；
当y＝－1时，＝－1，解得x＝－.
经检验，x＝－是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x＝－.第15章 分式
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.分式有意义，则x的取值范围为( )
A.x＞2 B.x＜2 C.x≠2 D.x＝2
2.分式与的最简公分母是( )
A.6a2b B.6ab C.6a2b2 D.2ab
3.下列分式变形正确的是( )
A.＝－ B.＝
C.＝a＋b D.＝
4.生物学家发现：生物具有遗传多样性，遗传密码大多储存在DNA分子上.一个DNA分子的直径约为0.000 000 2 cm，这个数用科学记数法可以表示为( )
A.0.2×10－6 B.2×10－7
C.0.2×10－7 D.2×10－8
5.化简－的结果是( )
A. B. C. D.
6.解分式方程＋＝，以下四步，其中错误的一步是( )
A.方程中各分母的最简公分母是（x－1）（x＋1）
B.方程两边同乘以（x－1）（x＋1），得2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C.解这个整式方程，得x＝1
D.原分式方程的解为x＝1
7.将x克蔗糖完全溶于y克水配置成蔗糖水，蔗糖水的浓度为，若x，y同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水浓度的值( )
A.不改变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍
8.一辆汽车以v千米/时的速度行驶，从A地到B地需要t小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米/时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少( )
A. B.t－ C. D.－t
9.红心脐橙又名卡拉红肉脐橙，是江津的特产之一.该品种果肉粉红色至红色，色泽均匀，有特殊香味，品质优、商品性好，吃时甜汁欲滴，满腮生津，广得人们喜爱.某果园计划种植一批红心脐橙，原计划总产量5.5万公斤，为满足市场需求，该果园决定改良红心脐橙品种，改良后平均亩产量是原来的1.6倍，总产量比原计划增加了0.9万公斤，种植亩数减了10亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为( )
A.－＝10 B.－＝10
C.－＝10 D.－＝10
10.李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程－1＝，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论：甲：当k＝0时，此方程的解为x＝1；乙：若此方程有增根，则k＝4；丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是k≥4.下列判断正确的是( )
A.甲、乙对，丙错
B.甲、丙对，乙错
C.乙、丙对，甲错
D.甲、乙、丙都对
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.若分式的值为0，则a的值是 .
12.计算：x－2y3 （x2y－2）－3＝ .
13.计算： ＝ .
14.已知－＝4，则＝ .
15.若整数a使关于x的分式方程＝2－的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（9分）计算：
（1）（－1）2 026－｜－7｜＋×（－π）0＋－1；
（2）（ab3）2 ÷4；
（3） （x－3）.
17.（8分）解下列方程：
（1）＝；
（2）＝－3.
18.（8分）先化简，再求值：÷，其中a＝2，b＝3.
19.（8分）某市开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做3天，剩下的工程再由甲、乙两队合作8天可以完成，求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天.
20.（8分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
－＝
（1）聪明的你请求出盖住部分的代数式；
（2）当x＝2，y等于何值时，原分式的值为5？
21.（10分）阅读理解：
已知x＋＝3，求分式的值.
解：∵x＋＝3，∴＝x－4＋＝x＋－4＝3－4＝－1.∴＝＝＝－1.
根据材料，解答下面问题：
（1）已知a＋＝3，则分式的值为 ，分式的值为 ；
（2）已知x＋＝，求分式的值.
22.（12分）“垃圾分一分，环境美十分”.我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶.已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4 000元购买A品牌垃圾桶的数量与用6 000元购买B品牌垃圾桶的数量相同.
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元；
（2）若学校决定再次准备用不超过4 800元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价下降了20％，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
23.（12分）阅读下面材料，解答后面的问题.
解方程：－＝0.
解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘以y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.
经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解.
当y＝2时，＝2，解得x＝－1；
当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x1＝－1，x2＝是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题：
（1）若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为 ；
（2）若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为 ；
（3）模仿上述换元法解方程：－－1＝0.
