第16章 函数及其图象
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.一支冰激凌的价格是5元，买a支冰激凌共支付b元，则a是( )
A.常量 B.自变量 C.因变量 D.以上都不对
2.在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点的坐标是( )
A.（1，3） B.（－3，1） C.（3，－1） D.（－3，－1）
3.已知方程组的解是则直线y＝－x＋3与y＝x＋1的交点坐标是( )
A.（1，2） B.（1，0）
C.（2，1） D.（－1，－2）
4.将直线y＝2x＋1向下平移2个单位长度后所得图象对应的函数表达式为( )
A.y＝2x＋5 B.y＝2x＋3
C.y＝2x－2 D.y＝2x－1
5.已知点A（－4，y1），B（－2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y3＜y2＜y1 B.y1＜y3＜y2
C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y3＜y1
6.在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为( )
A.12 A B.8 A C.6 A D.4 A
7.若下列反比例函数的表达式均为y＝，则阴影部分的面积为4的是( )
A B C D
8.已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a，b为常数，则它们在同一平面直角坐标系中的图象可以是( )
A B C D
9.如图，在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，甲、乙两车同时出发，甲车先到达目的地.图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图象，下列说法中错误的是( )
A.出发2 h后，两车相遇
B.乙车的速度是48 km/h
C.出发3 h后，甲车距离B地96 km
D.甲车到B地比乙车到A地早 h
第9题图
10.如图，直线y＝x＋4分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C和点D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD的值最小时，点P的坐标为( )
第10题图
A.（－3，0） B.（－6，0）
C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.函数y＝中，自变量x的取值范围是 .
12.若点A（－2，n）在x轴上，则点B（n－1，n＋1）在第 象限.
13.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式： .
14.如图，点A，点B分别位于反比例函数y＝（k≠0）与y＝的图象上，连结AB，若AB⊥y轴，点C为x轴上一点，连结AC和BC.S△ABC＝3，则k＝ .
第14题图
15.如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度匀速往水槽中注水，13秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的关系如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满.
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1.
（1）点A，B的坐标分别为 ， ；
（2）作出点C（2，2）；
（3）在（2）的条件下，D为y轴左侧一点，且BD∥AC，BD＝AC，则点D的坐标为 .
17.（8分）已知一次函数y＝ax－4的图象经过点（2，0），与y轴交于点A.
（1）求a的值和点A的坐标；
（2）画出该一次函数的图象.
18.（9分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离.根据有关资料，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s（m）与车速v（km/h）之间的关系为s＝v.
（1）写出上述关系中的变量和常量；
（2）当v＝30时，求相应的刹车距离s的值；
（3）若该车在限速40 km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速.
19.（9分）如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，－2）.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求使得y≥2的x的取值范围；
（3）若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为（2，2），求△BOC的面积.
20.（9分）如图，等腰三角形ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰AC的中点为D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的另外2个格点，再画出该反比例函数的图象；
（3）将等腰三角形ABC沿y轴方向向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离a.
21.（10分）实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示.国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.
（1）求线段OA和双曲线AB的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由.
22.（12分）4月1日，“我们的节日”——2025开封清明文化节在开封清明上河园开幕.春和景明，游人如织，一旁的非遗市集上，“大宋切糕”“东京汴绣”“吹糖人”“汴京宋室风筝”等传统技艺齐聚登场，让游客沉浸式感受传统文化节日的氛围和魅力.景区某商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，已知一把太阳伞的进价是一顶太阳帽进价的2倍，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元.
（1）求一顶太阳帽和一把太阳伞的进价；
（2）若该商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞的总数量为300，且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x＋6的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝－x＋b的图象交于点C（－2，m）.函数y＝－x＋b的图象与x轴交于点D.
（1）求m和b的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△ACE为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 第16章 函数及其图象
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.一支冰激凌的价格是5元，买a支冰激凌共支付b元，则a是（ B ）
A.常量 B.自变量 C.因变量 D.以上都不对
2.在平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点的坐标是（ B ）
A.（1，3） B.（－3，1） C.（3，－1） D.（－3，－1）
3.已知方程组的解是则直线y＝－x＋3与y＝x＋1的交点坐标是（ A ）
A.（1，2） B.（1，0）
C.（2，1） D.（－1，－2）
4.将直线y＝2x＋1向下平移2个单位长度后所得图象对应的函数表达式为（ D ）
A.y＝2x＋5 B.y＝2x＋3
C.y＝2x－2 D.y＝2x－1
5.已知点A（－4，y1），B（－2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ C ）
A.y3＜y2＜y1 B.y1＜y3＜y2
C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y3＜y1
6.在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为（ A ）
A.12 A B.8 A C.6 A D.4 A
7.若下列反比例函数的表达式均为y＝，则阴影部分的面积为4的是（ C ）
A B C D
8.已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a，b为常数，则它们在同一平面直角坐标系中的图象可以是（ C ）
A B C D
9.如图，在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，甲、乙两车同时出发，甲车先到达目的地.图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系的图象，下列说法中错误的是（ C ）
A.出发2 h后，两车相遇
B.乙车的速度是48 km/h
C.出发3 h后，甲车距离B地96 km
D.甲车到B地比乙车到A地早 h
第9题图
10.如图，直线y＝x＋4分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C和点D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD的值最小时，点P的坐标为（ C ）
第10题图
A.（－3，0） B.（－6，0）
C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠1 .
12.若点A（－2，n）在x轴上，则点B（n－1，n＋1）在第 二 象限.
13.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式： y＝－2x－1（答案不唯一） .
14.如图，点A，点B分别位于反比例函数y＝（k≠0）与y＝的图象上，连结AB，若AB⊥y轴，点C为x轴上一点，连结AC和BC.S△ABC＝3，则k＝ －2 .
第14题图
15.如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度匀速往水槽中注水，13秒时注满水槽，水槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的关系如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 3 秒恰好将水槽注满.
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1.
（1）点A，B的坐标分别为 （－3，2） ， （1，0） ；
（2）作出点C（2，2）；
（3）在（2）的条件下，D为y轴左侧一点，且BD∥AC，BD＝AC，则点D的坐标为 （－4，0） .
解：（2）如图所示.
17.（8分）已知一次函数y＝ax－4的图象经过点（2，0），与y轴交于点A.
（1）求a的值和点A的坐标；
（2）画出该一次函数的图象.
解：（1）将点（2，0）代入y＝ax－4，得
2a－4＝0，解得a＝2.
∴一次函数的表达式为y＝2x－4.
将x＝0代入y＝2x－4，得y＝－4.
∴点A的坐标为（0，－4）.
（2）如图所示.
18.（9分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离.根据有关资料，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s（m）与车速v（km/h）之间的关系为s＝v.
（1）写出上述关系中的变量和常量；
（2）当v＝30时，求相应的刹车距离s的值；
（3）若该车在限速40 km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速.
解：（1）s，v是变量，是常量.
（2）当v＝30时，s＝×30＝7.5.
（3）由题意，得12＝v，解得v＝48.
∵48＞40，∴该车超速了.
19.（9分）如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，－2）.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求使得y≥2的x的取值范围；
（3）若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为（2，2），求△BOC的面积.
解：（1）将A（1，0），B（0，－2）代入y＝kx＋b，得
解得
∴这个一次函数的表达式为y＝2x－2.
（2）由题意，得2x－2≥2，解得x≥2.
（3）S△BOC＝×2×2＝2.
20.（9分）如图，等腰三角形ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰AC的中点为D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的另外2个格点，再画出该反比例函数的图象；
（3）将等腰三角形ABC沿y轴方向向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离a.
解：（1）由题意，得2＝，∴k＝8.
∴这个反比例函数的表达式为
y＝（x＞0）.
（2）描绘格点及反比例函数图象如图所示.
（3）设平移后点A的坐标为（3，3－a），将（3，3－a）代入反比例函数y＝，得a＝.
∴平移的距离a为.
21.（10分）实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）所示.国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.
（1）求线段OA和双曲线AB的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由.
解：（1）设线段OA的函数表达式为
y＝mx，把代入y＝mx，
得m＝80.∴y＝80x（0≤x≤）.
当x＝时，y＝120，即A.
设双曲线AB的函数表达式为y＝，
由题意，得k＝180.∴y＝（x≥）.
（2）第二天早上6：00能驾车去上班，理由如下：
在y＝中，当y＝20时，x＝9.
从20：00到第二天早上6：00时间间距为10小时，
∵10＞9，∴第二天早上6：00能驾车去上班.
22.（12分）4月1日，“我们的节日”——2025开封清明文化节在开封清明上河园开幕.春和景明，游人如织，一旁的非遗市集上，“大宋切糕”“东京汴绣”“吹糖人”“汴京宋室风筝”等传统技艺齐聚登场，让游客沉浸式感受传统文化节日的氛围和魅力.景区某商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，已知一把太阳伞的进价是一顶太阳帽进价的2倍，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元.
（1）求一顶太阳帽和一把太阳伞的进价；
（2）若该商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞的总数量为300，且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
解：（1）设一顶太阳帽的进价是a元，一把太阳伞的进价是b元.
根据题意，得 解得
答：一顶太阳帽的进价是10元，一把太阳伞的进价是20元.
（2）设购进太阳帽x顶，则购进太阳伞（300－x）把.
根据题意，得x≥2（300－x），解得x≥200.
设获得的利润为W元，则
W＝（15－10）x＋（30－20）（300－x）＝－5x＋3 000.
∵－5＜0，∴W随x的增大而减小.
∴当x＝200时，W的值最大，W最大＝－5×200＋3 000＝2 000.
此时300－x＝300－200＝100.
答：当购进太阳帽200顶、太阳伞100把时，销售所获利润最大，最大利润为2 000元.
23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x＋6的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝－x＋b的图象交于点C（－2，m）.函数y＝－x＋b的图象与x轴交于点D.
（1）求m和b的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△ACE为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，将C（－2，m）代入y＝x＋6，得m＝－2＋6＝4.
∴C（－2，4）.
将C（－2，4）代入y＝－x＋b，得
4＝－×（－2）＋b，解得b＝.
（2）在y＝－x＋中，当y＝0时，－x＋＝0，解得x＝10.
∴D（10，0）.
在y＝x＋6中，当y＝0时，x＋6＝0，解得x＝－6；
当x＝0时，y＝6.∴A（－6，0），B（0，6）.
∴AD＝10－（－6）＝16.
∴S△ACD＝AD ｜yc｜＝×16×4＝32.
（3）在x轴上存在一点E，使△ACE为等腰直角三角形.
理由如下：由（2）知，A（－6，0），B（0，6），∴∠BAO＝45°.
图1①若∠AEC＝90°，如图1，则
∠BAO＝∠ACE＝45°，∴AE＝EC.
∵C（－2，4），∴E（－2，0）；
②若∠ACE＝90°，如图2，
则∠BAO＝∠AEC＝45°，∴AC＝EC.
过点C作CF⊥AO交x轴于点F，
图2∴AE＝2CF.
∵C（－2，4），即CF＝4，∴AE＝2CF＝8，
∴OE＝AE－AO＝2.∴E（2，0）.
综上所述，当点E的坐标为（－2，0）或（2，0）时，△ACE为等腰直角三角形.
