第17章 平行四边形
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.如图，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（ A ）
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段CD的长度
第1题图
2.下列说法不正确的是（ C ）
A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角线互相平分
C.平行四边形的对角互补，邻角相等
D.平行四边形的对边平行且相等
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为（ B ）
第3题图
A.13 B.17 C.20 D.26
4.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D的度数为（ B ）
A.36° B.108° C.72° D.60°
5.如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线交边AB于点E，连结CE.若∠ADE＝25°，∠BCE＝15°，则∠BEC的度数为（ A ）
第5题图
A.115° B.120° C.125° D.130°
6.在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是（ D ）
取BD的中点O，作BN＝NO，OM＝MD 作AN⊥BD于N，
CM⊥BD于M 作AN，CM分别平分∠BAD，∠BCD
交BD于点N，MA.只有甲、乙 B.只有甲、丙 C.只有乙、丙 D.甲、乙、丙
7.如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O的一条直线，分别交边AB，DC于点E，F，则下列结论一定正确的是（ D ）
A.AE＝BE
B.OE＝DF
C.△AEO与△DFO全等
D.四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等
8.如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连结BE.下列结论错误的是（ D ）
A.BO＝OH B.DF＝CE
C.DH＝CG D.AB＝AE
第8题图
9.如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连结DE并延长至点F，使得EF＝DE，连结BF，则BF为（ B ）
A. B.3 C. D.4
第9题图
10.如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连结CQ并延长交AB于点E，连结AF与DE相交于点P.若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，则阴影部分的面积为（ C ）
第10题图
A.24 cm2 B.17 cm2
C.18 cm2 D.10 cm2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.平行四边形相邻两边之比为3∶5，它的周长是32 cm，则这个平行四边形较长的边长为 10 cm.
12.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为 65° .
第12题图
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为（5，0），（2，3），若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 （3，－3）或（－3，3）或（7，3） .
第13题图
14.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作出∠ADC的平分线DE，交BC于点F.若AB＝25，GC＝48，则DF的长为 14 .
第14题图
15.如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连结BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连结BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 24 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连结DF并延长，交CB的延长线于点G，求证：BG＝CE.
证明：∵点F为AE的中点，∴AF＝FE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴∠ADF＝∠EGF.
∵∠AFD＝∠EFG，
∴△AFD≌△EFG（AAS）.
∴AD＝GE.∴GE＝BC.
∴BG＝CE.
17.（8分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE，过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝DC.
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠AEB＝∠GFD＝90°.
在△AEB和△GFD中，
∴△AEB≌△GFD（ASA）.∴AB＝DG.
∴DG＝DC.
18.（8分）如图，点O是 ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形.求证：OE与AD互相平分.
证明：连结AE，∵四边形OCDE是平行四边形，
∴DE∥OC，DE＝OC.
∵点O是 ABCD的对角线AC与BD的交点，
∴OA＝OC.∴DE＝OA.
又∵DE∥OC，∴DE∥OA.
∴四边形ODEA是平行四边形.
∴OE与AD互相平分.
19.（8分）如图1所示是某校篮球架实物图，如图2所示是篮球架的侧面示意图，蓝板边侧AB垂直于地面.八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图3所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿HE的夹角∠HFB的度数为48°，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量GF的长度为1 m，活动分享时，小明说：“GF的长度就是篮板AB的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由.
解：我认为小明的说法正确.理由如下：
∵HE⊥CD，AB⊥CD，∴∠HEC＝∠AKC＝90°.∴AB∥GF.
∵∠HGA＝∠HFB.∴AG∥BF.
∴四边形AGFB是平行四边形.∴GF＝AB＝1 m.
∴GF的长度就是篮板AB的高度.
20.（10分）如图，在四边形ABCD中，E是AD的中点，CE，BD交于点F，DF＝FB，连结AF，若 （1）或（2） ，则四边形AFCB是平行四边形.请从（1）AF∥CB；（2）CF＝2EF；（3）AF＝BC这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
解：∵E是AD的中点，DF＝FB，
∴EF是△ABD的中位线.∴EF∥AB，EF＝AB.
选择（1）AF∥CB，
又∵AB∥CF，∴四边形AFCB是平行四边形.
故（1）符合题意；
选择（2）CF＝2EF，
∵EF＝AB，∴AB＝CF.
又∵AB∥CF，∴四边形AFCB是平行四边形.
故（2）符合题意.
21.（10分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD.
由折叠的性质，可知∠DAB＝∠ECG.
∴∠BCD＝∠ECG.∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF，
即∠ECB＝∠FCG.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CD，AD＝BC.∴∠AEF＝∠EFC.
由折叠的性质，可知∠AEF＝∠CEF，AD＝CG.
∴BC＝CG，∠CEF＝∠CFE.∴CE＝CF.
又∵∠BCE＝∠GCF，
∴△EBC≌△FGC（SAS）.
22.（12分）将一把直尺如图放置，与 ABCD的边CD，AB交于点E，F，连结AE，CF分别与DF，BE相交于M，N两点.
（1）求证：四边形MFNE是平行四边形；
（2）若EM为直尺的宽，EM＝DM，且AB＝6，求 ABCD的面积.
解：（1）证明：∵点D，F与点B，E分别在直尺的对边上，
∴DF∥BE.
∵四边形ABCD是平行四边形，点F，E分别在AB，CD上，
∴FB∥ED，AB＝CD.∴四边形BEDF是平行四边形.
∴BF＝DE.∴AB－BF＝CD－DE.∴AF＝CE.
∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形.
∵点M，N分别在AE，CF上，∴EM∥FN.
∵FM∥EN，
∴四边形MFNE是平行四边形.
（2）∵EM为直尺的宽，∴EM⊥DF.∴∠DME＝∠AEB＝90°.
∵EM＝DM，∴∠EAB＝∠MED＝∠MDE＝45°.
∴∠EBA＝∠EAB＝45°.∴AE＝BE.
过点E作EH⊥AB于点H，则AH＝BH.
∵AB＝6，∴EH＝AB＝3.
∴S ABCD＝AB EH＝6×3＝18.
23.（13分）【课本再现】在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
【性质应用】（1）如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连结BE，若 ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，求CE的长度；
【拓展提升】（2）如图2，有一个三角形景观花园ABC，现市政府为进一步提升城市绿化景观品质，决定对这个三角形花园进行创意性扩建.规划方案为：延长AB边到点D，使得BD＝AC，同时延长AC边到点E，使得CE＝AB，最后连结DE，打造出全新的三角形景观区域ADE.在原三角形花园ABC里，点P是BC边的中点，从A到P有一条贯穿的小径AP，现需要把BC，AP，BE这三条路线打造为空中观景步道，方便市民从空中俯瞰花园美景.已知∠BAC＝60°，请探究线段BE与线段AP之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵平行四边形ABCD的周长＝2（BC＋CD）＝28，∴BC＋CD＝14，
∵OE⊥BD，∴OE垂直平分BD，∴DE＝BE，
∵△BCE的周长＝BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋CE＋CD＝BC＋CD＋2CE＝18，
∴CE＝2.
（2）BE＝2AP，理由如下：过点B作BH∥AE交DE于点H，连结PH，CH，AH，
∵∠BAC＝60°，∴∠DBH＝∠BAC＝60°.
∵AB＝CE，AC＝BD，∴AB＋BD＝AC＋CE，即AD＝AE.
∴△ADE是等边三角形.∴∠D＝60°，DE＝DA.
∴△DBH是等边三角形.∴BH＝BD＝DH.∴BH＝AC.
∵BH∥AC，∴四边形ABHC是平行四边形.
∴AH，BC互相平分.
∵点P为BC的中点，∴A，P，H三点共线.∴AH＝2AP.
∴△ADH≌△EDB（SAS）.∴BE＝AH.
∴BE＝2AP. 第17章 平行四边形
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.如图，a∥b，直线a与直线b之间的距离是( )
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段CD的长度
第1题图
2.下列说法不正确的是( )
A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.平行四边形的对角线互相平分
C.平行四边形的对角互补，邻角相等
D.平行四边形的对边平行且相等
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
第3题图
A.13 B.17 C.20 D.26
4.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D的度数为( )
A.36° B.108° C.72° D.60°
5.如图，在 ABCD中，∠ADC的平分线交边AB于点E，连结CE.若∠ADE＝25°，∠BCE＝15°，则∠BEC的度数为( )
第5题图
A.115° B.120° C.125° D.130°
6.在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是( )
取BD的中点O，作BN＝NO，OM＝MD 作AN⊥BD于N，
CM⊥BD于M 作AN，CM分别平分∠BAD，∠BCD
交BD于点N，MA.只有甲、乙 B.只有甲、丙 C.只有乙、丙 D.甲、乙、丙
7.如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O的一条直线，分别交边AB，DC于点E，F，则下列结论一定正确的是( )
A.AE＝BE
B.OE＝DF
C.△AEO与△DFO全等
D.四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等
8.如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连结BE.下列结论错误的是( )
A.BO＝OH B.DF＝CE
C.DH＝CG D.AB＝AE
第8题图
9.如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连结DE并延长至点F，使得EF＝DE，连结BF，则BF为( )
A. B.3 C. D.4
第9题图
10.如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连结CQ并延长交AB于点E，连结AF与DE相交于点P.若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，则阴影部分的面积为( )
第10题图
A.24 cm2 B.17 cm2
C.18 cm2 D.10 cm2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.平行四边形相邻两边之比为3∶5，它的周长是32 cm，则这个平行四边形较长的边长为 cm.
12.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为 .
第12题图
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为（5，0），（2，3），若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 .
第13题图
14.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作出∠ADC的平分线DE，交BC于点F.若AB＝25，GC＝48，则DF的长为 .
第14题图
15.如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连结BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连结BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连结DF并延长，交CB的延长线于点G，求证：BG＝CE.
17.（8分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE，过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
18.（8分）如图，点O是 ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形.求证：OE与AD互相平分.
19.（8分）如图1所示是某校篮球架实物图，如图2所示是篮球架的侧面示意图，蓝板边侧AB垂直于地面.八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图3所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿HE的夹角∠HFB的度数为48°，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量GF的长度为1 m，活动分享时，小明说：“GF的长度就是篮板AB的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由.
20.（10分）如图，在四边形ABCD中，E是AD的中点，CE，BD交于点F，DF＝FB，连结AF，若 ，则四边形AFCB是平行四边形.请从（1）AF∥CB；（2）CF＝2EF；（3）AF＝BC这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
21.（10分）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC.
22.（12分）将一把直尺如图放置，与 ABCD的边CD，AB交于点E，F，连结AE，CF分别与DF，BE相交于M，N两点.
（1）求证：四边形MFNE是平行四边形；
（2）若EM为直尺的宽，EM＝DM，且AB＝6，求 ABCD的面积.
23.（13分）【课本再现】在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.
【性质应用】（1）如图1，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连结BE，若 ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，求CE的长度；
【拓展提升】（2）如图2，有一个三角形景观花园ABC，现市政府为进一步提升城市绿化景观品质，决定对这个三角形花园进行创意性扩建.规划方案为：延长AB边到点D，使得BD＝AC，同时延长AC边到点E，使得CE＝AB，最后连结DE，打造出全新的三角形景观区域ADE.在原三角形花园ABC里，点P是BC边的中点，从A到P有一条贯穿的小径AP，现需要把BC，AP，BE这三条路线打造为空中观景步道，方便市民从空中俯瞰花园美景.已知∠BAC＝60°，请探究线段BE与线段AP之间存在怎样的数量关系，并说明理由.
