第18章 矩形、菱形与正方形
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.菱形的对角线不一定具有的性质是( )
A.互相平分 B.互相垂直
C.每一条对角线平分一组对角 D.相等
2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为6.4 km，则M，C两点间的距离为( )
A.3 km B.3.2 km
C.12.8 km D.不确定
第2题图
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A.当AB＝BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当AC＝BD时，它是正方形
D.当∠ABC＝90°时，它是矩形
第3题图
4.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( )
第4题图
A.α－90° B.180°－α
C.α－45° D.270°－α
5.如图，在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是( )
A B C D
6.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
（1）两组对边分别相等；（2）一组对边平行且相等；（3）一组邻边相等；（4）一个角是直角.
顺次添加的条件：
①（1）→（3）→（4）
②（2）→（4）→（3）
③（1）→（2）→（3）
则正确的是( )
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OH⊥BC于点H，若∠ADC＝70°，则∠COH的度数为( )
A.30° B.35°
C.40° D.70°
第7题图
8.如图，B，E，F，D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形ABCD的边长为( )
第8题图
A.10 cm B.12 cm
C.13 cm D.15 cm
9.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图1中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图2.根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是( )
A.1 B. C.2 D.
第9题图
10.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC.其中正确结论的序号是( )
第10题图
A.①②④ B.②④
C.①②③ D.①③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，且AD＝BD＝CD，若∠A＝36°，则∠BCD＝ °.
第11题图
12.如图，分别以点A，B为圆心，以大于AB的定长a为半径画弧，两弧相交于点C，D，则四边形ADBC是菱形的理由是 .
第12题图
13.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.若BD＝4，则DE＝ .
第13题图
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连结OE.若OE＝3，OB＝4，则CE的长为 .
第14题图
15.将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点P是左侧正方形对角线的交点，也是中间正方形的一个顶点，点Q是中间正方形对角线的交点，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 .
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AO＝3，菱形ABCD的面积为24，求AB的长.
17.（8分）如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝CD.
18.（8分）下面是证明直角三角形斜边上的中线的性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点. 求证：CD＝AB.
方法一 证明：如图，取AC的中点E，连结DE. 方法二 证明：如图，延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE，BE.
19.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E.若 ，则四边形ADCE是一个正方形.请从①BD＝AD；②∠DAE＝90°；③CD＝CE这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
20.（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N，连结BM，DN.
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.
21.（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB.
（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在BC边上取一点E，使AE＝BC；
②在CD边上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等.
（2）在（1）的条件下，连结AF.若AB＝6，AD＝10，求△ADF的面积.
22.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
23.（13分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N.
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是 ；
（2）如图2，若点O与正方形两条对角线的交点重合，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形；
（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论（不必说明理由）.第18章 矩形、菱形与正方形
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.菱形的对角线不一定具有的性质是（ D ）
A.互相平分 B.互相垂直
C.每一条对角线平分一组对角 D.相等
2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为6.4 km，则M，C两点间的距离为（ B ）
A.3 km B.3.2 km
C.12.8 km D.不确定
第2题图
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ C ）
A.当AB＝BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当AC＝BD时，它是正方形
D.当∠ABC＝90°时，它是矩形
第3题图
4.两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ B ）
第4题图
A.α－90° B.180°－α
C.α－45° D.270°－α
5.如图，在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（ D ）
A B C D
6.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
（1）两组对边分别相等；（2）一组对边平行且相等；（3）一组邻边相等；（4）一个角是直角.
顺次添加的条件：
①（1）→（3）→（4）
②（2）→（4）→（3）
③（1）→（2）→（3）
则正确的是（ C ）
A.仅① B.仅③ C.①② D.②③
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OH⊥BC于点H，若∠ADC＝70°，则∠COH的度数为（ B ）
A.30° B.35°
C.40° D.70°
第7题图
8.如图，B，E，F，D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形ABCD的边长为（ C ）
第8题图
A.10 cm B.12 cm
C.13 cm D.15 cm
9.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图1中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图2.根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（ C ）
A.1 B. C.2 D.
第9题图
10.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC.其中正确结论的序号是（ D ）
第10题图
A.①②④ B.②④
C.①②③ D.①③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，连结CD，且AD＝BD＝CD，若∠A＝36°，则∠BCD＝ 54 °.
第11题图
12.如图，分别以点A，B为圆心，以大于AB的定长a为半径画弧，两弧相交于点C，D，则四边形ADBC是菱形的理由是 四条边都相等的四边形是菱形 .
第12题图
13.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.若BD＝4，则DE＝ 4 .
第13题图
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连结OE.若OE＝3，OB＝4，则CE的长为 .
第14题图
15.将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点P是左侧正方形对角线的交点，也是中间正方形的一个顶点，点Q是中间正方形对角线的交点，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是 3 .
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AO＝3，菱形ABCD的面积为24，求AB的长.
解：∵四边形ABCD为菱形，AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA.
∴∠AOB＝90°.
∵菱形ABCD的面积为24，∴AC BD＝24，
即×6 BD＝24.∴BD＝8.∴BO＝BD＝4.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝＝＝5.
17.（8分）如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝CD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，AB＝CD，∠B＝90°.∴∠DAF＝∠AEB.
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.
在△DFA和△ABE中，
∴△DFA≌△ABE（AAS）.∴DF＝AB.
∴DF＝CD.
18.（8分）下面是证明直角三角形斜边上的中线的性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点. 求证：CD＝AB.
方法一 证明：如图，取AC的中点E，连结DE. 方法二 证明：如图，延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE，BE.
证明：方法一：如图，取AC的中点E，连结DE，
∵AD＝BD，∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC.
∴∠AED＝∠ACB＝90°.∴DE垂直平分AC.∴CD＝AD.
∵AD＝AB，∴CD＝AB.
∴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
方法二：如图，延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE，BE，∴CD＝CE.
∵AD＝BD，∴四边形AEBC是平行四边形.
∵∠ACB＝90°，∴平行四边形AEBC是矩形.∴AB＝CE.∴CD＝AB.
∴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
19.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E.若 ①或③ ，则四边形ADCE是一个正方形.请从①BD＝AD；②∠DAE＝90°；③CD＝CE这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
解：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，AD⊥BC.
∵AN是∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝（∠BAC＋∠CAM）＝×180°＝90°.
∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE为矩形.
选择①BD＝AD，∴AD＝CD.∴矩形ADCE是正方形.
选择③CD＝CE，
∴矩形ADCE是正方形.
20.（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N，连结BM，DN.
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长.
解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD.
∴∠MOD＝∠NOB＝90°.
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB（AAS）.∴OM＝ON.
∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形.
∵MN⊥BD，∴平行四边形BNDM是菱形.
（2）∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴OB＝BD＝12，OM＝MN＝5.
在Rt△BOM中，由勾股定理，得
BM＝＝＝13.
∴菱形BNDM的周长为4BM＝4×13＝52.
21.（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB.
（1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在BC边上取一点E，使AE＝BC；
②在CD边上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等.
（2）在（1）的条件下，连结AF.若AB＝6，AD＝10，求△ADF的面积.
解：（1）如图，点E，F即为所求.
（2）连结EF，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠ADF＝90°.
∵AD＝AE＝10，∴BE＝＝＝8.
∴EC＝BC－BE＝10－8＝2.
∵AD＝AE，∠DAF＝∠EAF，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（SAS）.∴DF＝EF.
设DF＝EF＝x，则CF＝6－x，
在Rt△ECF中，x2＝22＋（6－x）2，∴x＝.
∴S△ADF＝AD DF＝×10×＝.
22.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
解：（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE.
∵MN∥AB，
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE＝AD.
（2）四边形BECD是菱形.
理由：∵点D为AB的中点，∴AD＝BD.
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形.
∵DE⊥BC，∴平行四边形BECD是菱形.
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.
∵D为BA的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.
由（2）知四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形.
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
23.（13分）现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N.
（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是 OM＝ON ；
（2）如图2，若点O与正方形两条对角线的交点重合，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM＝ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形；
（4）如图4是点O在正方形外部的一种情况.当OM＝ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论（不必说明理由）.
解：（2）OM＝ON仍然成立，理由如下：
过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥CD于点F，
则∠OEM＝∠OFN＝90°.
∵O是正方形ABCD两条对角线的交点，
∴OE＝OF，∠EOF＝90°.∴∠EON＋∠NOF＝90°.
∵∠MOE＋∠EON＝90°，∴∠MOE＝∠NOF.
∴△OEM≌△OFN（ASA）.∴OM＝ON.
（3）过点O作OG⊥BC于点G，OH⊥CD于点H，
则∠OGM＝∠OHN＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠GON＋∠NOH＝∠GOH＝90°.
∵∠MOG＋∠GON＝90°，∴∠MOG＝∠NOH.
∵OM＝ON，∴△OGM≌△OHN（AAS）.∴OG＝OH.
∴点O在∠BCD的平分线上.
∴点O在正方形的内部（含边界）移动过程中所形成的图形是正方形ABCD的对角线AC.
（4）点O移动所形成的图形为直线AC.
