北京市十一学校龙樾实验中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段学情自测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市十一学校龙樾实验中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段学情自测数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-03 00:00:00 | ||
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文档简介
北京市十一学校龙樾实验中学2025-2026学年九年级下学期3月阶段学情自测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱
2.据央视新闻2025年4月19日报道，复旦大学科研团队成功开发出半导体电荷存储器“破晓（PoX）”，其擦写速度可达400皮秒，是迄今最快的半导体电荷存储技术.已知一皮秒相当于一万亿分之一秒，即1×10-12秒，400皮秒用科学记数法表示应为（ ）
A. 4×10-10秒 B. 4×10-11秒 C. 4×10-12秒 D. 40×10-12秒
3.实数a, b, c在数轴上对应点的位置如图所示, 若|a|=|c|, 则下列结论中正确的是( )
A. a+c>0 B. a-b>0 C. a+b<0 D. ab>0
4.内角和为540°的多边形是（ ）
A. B. C. D.
5.若关于x的方程-x-m=0没有实数根,则m的值可以为（ ）
A. -1 B. - C. 0 D. 1
6.3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点．
①与的面积一定相等；
②若点是边的中点，则点一定为的中点；
③在点的运动过程中，是一个定值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若有意义，则的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 ．
13.4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为 名．
14.用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a= .
15.如图，在中，，正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为 ．
16.某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表：
零部件 甲 乙 丙 丁
冲压时间 8 3 7 5
组装时间 6 4 9 2
若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要 分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按 的先后顺序加工零部件．
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
17.计算：．
18.解不等式组：．
四、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题3分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题6分)
如图，在中，于点，，分别为，的中点，为边上一点，，连接．
(1) 求证：四边形是平行四边形．
(2) 若点是的中点，，，求的长．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知直线经过点和．
(1) 求直线的表达式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围．
22.(本小题3分)
已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积．
23.(本小题8分)
校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
、甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图：
．丙运动员次测试成绩：
．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
(1) 表中 （填“”“”或“”）；
(2) 求表中和的值；
(3) 根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 ．
24.(本小题6分)
如图，中，是的直径，点为上一点，连接、，过点作的垂线，交，于点，、交于另一点，已知．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求的长．
25.(本小题9分)
某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量（单位： kg）与弹簧伸长长度（单位： cm）之间的关系，现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验.当弹簧所挂物体质量为时，记录 A型弹簧和B型弹簧的伸长长度为和，数据如下：
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25
型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64
通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题：
(1) 在给出的平面直角坐标系中，画出与的函数图象；
(2) 与的关系式为 ；
(3) 重新取A、B型弹簧各一个，再次进行实验.将质量为的重物挂在 A型弹簧下，将质量为的重物挂在 B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等．若，则 （结果保留小数点后一位）．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点）．
(1) 若轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，直接写出的取值范围；
(2) 若点也是抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为．若，求的取值范围．
27.(本小题9分)
如图，在中，，，为线段上的动点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1) 如图1，当是中点时，连接，求证：；
(2) 如图2，过点作直线、交直线于点．作交射线于点，请补全图2．探究线段和线段的等量关系并证明；
(3) 如图3，若，，为的中点，为线段上的动点，为线段上的动点，，为线段的中点．直接写出线段的最小值．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点，给出如下定义：若上存在点使得线段的垂直平分线与相切于点，则称点是点的“垂切点”．线段的长度称为点关于点的垂切系数．
(1) 如图1，点，在，，中，点 是点的“垂切点”，垂切系数 ．
(2) 点在轴上，点是点的“垂切点”，则点的纵坐标的取值范围为 ．
(3) 已知点、，若线段上存在点，使得点是上某点的“垂切点”，且点关于点的垂切系数满足，直接写出的取值范围 ．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】x=1
12.【答案】 /度
13.【答案】450
14.【答案】-2（答案不唯一）
15.【答案】2
16.【答案】29
乙-丙-甲-丁
17.【答案】解：
．
18.【答案】解：，
①去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得，，
②去分母得，，
移项合并同类项得，，
解得，，
∴不等式组的解集为：．
19.【答案】解：∵，
∴，
∴.
20.【答案】【小题1】
证明：∵F为边中点，，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵E，F分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
【小题2】
解：∵，，
∴设，则，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴．
21.【答案】【小题1】
解：∵直线经过点和
∴，
解得，
∴直线的表达式为；
【小题2】
解：由题意得，当时，恒成立，
∴对于一切都成立，
令，
可得随着的增大而增大，
当时，，
∴满足对于一切都成立时，则；
由题意得，当时，恒成立，
∴对于一切都成立，
令，
可得随着的增大而减小，
当时，，
∴满足对于一切都成立时，则，
综上：的取值范围为．
22.【答案】解：设A区域的面积为，
，
解得，
，
答：C区域的面积是．
23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：乙的次测试成绩从小到大排列为： ，
∵第个和第个数据分别为，，
∴乙的次测试成绩的中位数，
∵丙运动员次测试成绩： ，
∴丙运动员次测试成绩的平均数，
【小题3】
乙、丁、甲、丙
24.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是切线；
【小题2】
解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
25.【答案】【小题1】
解：与的函数图象如图：
；
【小题2】
【小题3】
1.3或6.8
26.【答案】【小题1】
解：由可知：
抛物线的顶点坐标为：，
当时：，
当时：，
∴，
∵，
∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图：
由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点，
∴a的取值范围为：或；
【小题2】
解：∵，
∴，
当时，，
∴，
①当M在点A的左侧，即：，时：
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍掉）；
②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；
③当M对称轴的右侧，即时，当时，
此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；
④当M对称轴的右侧，即时，当时，
此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上：或．
27.【答案】【小题1】
证明：由旋转可知：，
∵，点P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：由题意可得如图：
连接，作，交于点D，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：连接，
∵，， O为的中点，
∴，，
∴．
∵，D为线段的中点，
∴，
∴点D在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动．
∵，
∴最短时，线段的值最小．
由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在与成角的射线上运动，
∴当时，的值最小，即线段取得的最小值．
∵，
∴线段取得的最小值为．
28.【答案】【小题1】
4
【小题2】
【小题3】
或
第1页，共1页
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱
2.据央视新闻2025年4月19日报道，复旦大学科研团队成功开发出半导体电荷存储器“破晓（PoX）”，其擦写速度可达400皮秒，是迄今最快的半导体电荷存储技术.已知一皮秒相当于一万亿分之一秒，即1×10-12秒，400皮秒用科学记数法表示应为（ ）
A. 4×10-10秒 B. 4×10-11秒 C. 4×10-12秒 D. 40×10-12秒
3.实数a, b, c在数轴上对应点的位置如图所示, 若|a|=|c|, 则下列结论中正确的是( )
A. a+c>0 B. a-b>0 C. a+b<0 D. ab>0
4.内角和为540°的多边形是（ ）
A. B. C. D.
5.若关于x的方程-x-m=0没有实数根,则m的值可以为（ ）
A. -1 B. - C. 0 D. 1
6.3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，依据尺规作图的痕迹，计算的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点．
①与的面积一定相等；
②若点是边的中点，则点一定为的中点；
③在点的运动过程中，是一个定值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若有意义，则的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 ．
13.4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x（百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为 名．
14.用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a= .
15.如图，在中，，正方形的边长为，它的顶点分别在的边上，则的长为 ．
16.某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表：
零部件 甲 乙 丙 丁
冲压时间 8 3 7 5
组装时间 6 4 9 2
若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要 分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按 的先后顺序加工零部件．
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
17.计算：．
18.解不等式组：．
四、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题3分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题6分)
如图，在中，于点，，分别为，的中点，为边上一点，，连接．
(1) 求证：四边形是平行四边形．
(2) 若点是的中点，，，求的长．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，已知直线经过点和．
(1) 求直线的表达式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围．
22.(本小题3分)
已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积．
23.(本小题8分)
校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
、甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图：
．丙运动员次测试成绩：
．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
(1) 表中 （填“”“”或“”）；
(2) 求表中和的值；
(3) 根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 ．
24.(本小题6分)
如图，中，是的直径，点为上一点，连接、，过点作的垂线，交，于点，、交于另一点，已知．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求的长．
25.(本小题9分)
某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量（单位： kg）与弹簧伸长长度（单位： cm）之间的关系，现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验.当弹簧所挂物体质量为时，记录 A型弹簧和B型弹簧的伸长长度为和，数据如下：
所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25
型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64
通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题：
(1) 在给出的平面直角坐标系中，画出与的函数图象；
(2) 与的关系式为 ；
(3) 重新取A、B型弹簧各一个，再次进行实验.将质量为的重物挂在 A型弹簧下，将质量为的重物挂在 B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等．若，则 （结果保留小数点后一位）．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点）．
(1) 若轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，直接写出的取值范围；
(2) 若点也是抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为．若，求的取值范围．
27.(本小题9分)
如图，在中，，，为线段上的动点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1) 如图1，当是中点时，连接，求证：；
(2) 如图2，过点作直线、交直线于点．作交射线于点，请补全图2．探究线段和线段的等量关系并证明；
(3) 如图3，若，，为的中点，为线段上的动点，为线段上的动点，，为线段的中点．直接写出线段的最小值．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点，给出如下定义：若上存在点使得线段的垂直平分线与相切于点，则称点是点的“垂切点”．线段的长度称为点关于点的垂切系数．
(1) 如图1，点，在，，中，点 是点的“垂切点”，垂切系数 ．
(2) 点在轴上，点是点的“垂切点”，则点的纵坐标的取值范围为 ．
(3) 已知点、，若线段上存在点，使得点是上某点的“垂切点”，且点关于点的垂切系数满足，直接写出的取值范围 ．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】x=1
12.【答案】 /度
13.【答案】450
14.【答案】-2（答案不唯一）
15.【答案】2
16.【答案】29
乙-丙-甲-丁
17.【答案】解：
．
18.【答案】解：，
①去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得，，
②去分母得，，
移项合并同类项得，，
解得，，
∴不等式组的解集为：．
19.【答案】解：∵，
∴，
∴.
20.【答案】【小题1】
证明：∵F为边中点，，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵E，F分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
【小题2】
解：∵，，
∴设，则，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴．
21.【答案】【小题1】
解：∵直线经过点和
∴，
解得，
∴直线的表达式为；
【小题2】
解：由题意得，当时，恒成立，
∴对于一切都成立，
令，
可得随着的增大而增大，
当时，，
∴满足对于一切都成立时，则；
由题意得，当时，恒成立，
∴对于一切都成立，
令，
可得随着的增大而减小，
当时，，
∴满足对于一切都成立时，则，
综上：的取值范围为．
22.【答案】解：设A区域的面积为，
，
解得，
，
答：C区域的面积是．
23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：乙的次测试成绩从小到大排列为： ，
∵第个和第个数据分别为，，
∴乙的次测试成绩的中位数，
∵丙运动员次测试成绩： ，
∴丙运动员次测试成绩的平均数，
【小题3】
乙、丁、甲、丙
24.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴是切线；
【小题2】
解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
25.【答案】【小题1】
解：与的函数图象如图：
；
【小题2】
【小题3】
1.3或6.8
26.【答案】【小题1】
解：由可知：
抛物线的顶点坐标为：，
当时：，
当时：，
∴，
∵，
∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图：
由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点，
∴a的取值范围为：或；
【小题2】
解：∵，
∴，
当时，，
∴，
①当M在点A的左侧，即：，时：
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍掉）；
②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；
③当M对称轴的右侧，即时，当时，
此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；
④当M对称轴的右侧，即时，当时，
此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上：或．
27.【答案】【小题1】
证明：由旋转可知：，
∵，点P是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：由题意可得如图：
连接，作，交于点D，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：连接，
∵，， O为的中点，
∴，，
∴．
∵，D为线段的中点，
∴，
∴点D在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动．
∵，
∴最短时，线段的值最小．
由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在与成角的射线上运动，
∴当时，的值最小，即线段取得的最小值．
∵，
∴线段取得的最小值为．
28.【答案】【小题1】
4
【小题2】
【小题3】
或
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