2025-2026学年上海市杨浦区九年级（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年上海市杨浦区九年级（下）段考数学试卷（3月份）（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-03 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年上海市杨浦区九年级（下）段考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的相反数是（ ）
A. 2026-1 B. C. -2026 D.
2.下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A. x2-mx-1=0 B. ax=3
C. ·=0 D. =
3.如果k＜0，b＞0，那么一次函数y=kx+b的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限
4.在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形图 C. 斐波那契螺族线 D. 科克曲线
5.如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算：（y3）2÷y5= ．
8.分解因式：a2-2ab+b2-1= ．
9.方程x-1=的解为： ．
10.如果正比例函数y=（k-2）x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，那么k的取值范围是______．
11.已知关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．
12.一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为______．
13.如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设=，=，用，表示，那么=______．
14.半径分别为16cm和20cm的两圆相交，公共弦长为24cm,则这两个圆的圆心距等于 .
15.如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC= ______.
16.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ABE=∠C，DE∥AB，如果AB=6，AC=9，那么S△BDE：S△CDE的值是 .
17.我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点.如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是______.
18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.计算：+（）-3-（3）0-4cos30°+．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
解方程组：．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（a,2）（其中a＞3），射线OA与函数的图象交于点P，点B在函数的图象上，且AB∥x轴，连接BO.
（1）求直线BO的表达式；
（2）连接BP，如果∠ABP=30°，求△APB的面积.
22.(本小题10分)
DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识.
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100.
下面给出了部分信息：
其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 ______ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ______ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ______ .
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
23.(本小题12分)
如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠DAB，点O是AC上一点，以OA为半径的⊙O过B、D两点.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设⊙O与AC交于点E，联结DE并延长，交AB的延长线于点F，若AB2=AC EC，求证：AE=EF.
24.(本小题12分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（-1，2），B（-1，-1），C（3，-1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点.连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以A、B为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
25.(本小题14分)
已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】y
8.【答案】（a-b+1）（a-b-1）
9.【答案】x=1
10.【答案】0＜k＜2
11.【答案】m＜1且m≠0
12.【答案】
13.【答案】-
14.【答案】25cm或7cm
15.【答案】3
16.【答案】
17.【答案】2
18.【答案】-＜r＜+
19.【答案】解：原式=3+8-1-4×+2
=10-2+2
=10．
20.【答案】解：由（2）得（x-y）（x-2y）=0．
∴x-y=0或x-2y=0．
原方程组可化为
解这两个方程组，得原方程组的解为
另解：由（1）得x=12-2y（3）
把（3）代入（2），得（12-2y）2-3（12-2y）y+2y2=0．
整理，得y2-7y+12=0．
解得y1=4，y2=3．
分别代入（3），得x1=4，x2=6．
∴原方程组的解为
21.【答案】；
．
22.【答案】解：（1）50；83.5；144°．
（2）B组的人数为50×30%=15（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）1200×=720（人）．
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人．
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
23.【答案】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，=，
∴AD=CD，
∵AE是圆直径，
∴+=+，
∴=，
∴AD=AB，
∴CD=AB，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=CD，∠DCE=∠BCE，
∵AB2=AC EC，
∴BC2=EC AC，
∴BC：EC=AC：BC，
∵∠BCE=∠BCA，
∴△CBE∽△CAB，
∴∠CBE=∠CAB，
∵CD=CB，∠DCE=∠BCE，CE=CE，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE，
∵DC∥AB，
∴∠F=∠CDE，
∴∠F=∠CAB，
∴AE=EF．
24.【答案】M1，M2 △ABC是直角三角形，
理由：∵点A，B是抛物线y=-x2+x+上的“梦之点”，
∴y=y2，
即-x2+x+=x，
解得x1=3，x2=-3，
∴当x=3时，y=3，当x=-3时，y=-3，
∴A（3，3），B（-3，-3），
∵y=-x2+x+=-（x-1）2+5，
∴顶点C（1，5），
∴AC2=（3-1）2+（3-5）2=8，AB2=（-3-3）2+（-3-3）2=72，BC2=（-3-1）2+（-3-5）2=80，
∴BC2=AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形 P点坐标为或
25.【答案】解：（1）∵OD⊥AC，
∴=，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴=，即+=+，
∴=，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1×=，
则AC=2AF=；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE，∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF，EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO-OF=1-t，
∴1-t=2t，
解得：t=，
则DF=BC=，AC===，
∴EF=FC=AC=，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则cot∠ABD=cot∠D===；
（3）如图2，
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC=，∠AOD=∠COD=，
则+2×=180，
解得：n=4，
∴∠BOC=90°，∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC=，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcos∠AOF=，
则DF=OD-OF=1-，
∴S△ACD=AC DF=××（1-）=．
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一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的相反数是（ ）
A. 2026-1 B. C. -2026 D.
2.下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A. x2-mx-1=0 B. ax=3
C. ·=0 D. =
3.如果k＜0，b＞0，那么一次函数y=kx+b的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限
4.在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形图 C. 斐波那契螺族线 D. 科克曲线
5.如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算：（y3）2÷y5= ．
8.分解因式：a2-2ab+b2-1= ．
9.方程x-1=的解为： ．
10.如果正比例函数y=（k-2）x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，那么k的取值范围是______．
11.已知关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______．
12.一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为______．
13.如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设=，=，用，表示，那么=______．
14.半径分别为16cm和20cm的两圆相交，公共弦长为24cm,则这两个圆的圆心距等于 .
15.如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC= ______.
16.如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ABE=∠C，DE∥AB，如果AB=6，AC=9，那么S△BDE：S△CDE的值是 .
17.我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点.如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是______.
18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.计算：+（）-3-（3）0-4cos30°+．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
解方程组：．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（a,2）（其中a＞3），射线OA与函数的图象交于点P，点B在函数的图象上，且AB∥x轴，连接BO.
（1）求直线BO的表达式；
（2）连接BP，如果∠ABP=30°，求△APB的面积.
22.(本小题10分)
DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题.
模型设计水平调查报告
调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识.
调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100.
下面给出了部分信息：
其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89.
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 ______ 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 ______ 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ______ .
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率.
23.(本小题12分)
如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠DAB，点O是AC上一点，以OA为半径的⊙O过B、D两点.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设⊙O与AC交于点E，联结DE并延长，交AB的延长线于点F，若AB2=AC EC，求证：AE=EF.
24.(本小题12分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（-1，2），B（-1，-1），C（3，-1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点.连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以A、B为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
25.(本小题14分)
已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】y
8.【答案】（a-b+1）（a-b-1）
9.【答案】x=1
10.【答案】0＜k＜2
11.【答案】m＜1且m≠0
12.【答案】
13.【答案】-
14.【答案】25cm或7cm
15.【答案】3
16.【答案】
17.【答案】2
18.【答案】-＜r＜+
19.【答案】解：原式=3+8-1-4×+2
=10-2+2
=10．
20.【答案】解：由（2）得（x-y）（x-2y）=0．
∴x-y=0或x-2y=0．
原方程组可化为
解这两个方程组，得原方程组的解为
另解：由（1）得x=12-2y（3）
把（3）代入（2），得（12-2y）2-3（12-2y）y+2y2=0．
整理，得y2-7y+12=0．
解得y1=4，y2=3．
分别代入（3），得x1=4，x2=6．
∴原方程组的解为
21.【答案】；
．
22.【答案】解：（1）50；83.5；144°．
（2）B组的人数为50×30%=15（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）1200×=720（人）．
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人．
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
23.【答案】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，=，
∴AD=CD，
∵AE是圆直径，
∴+=+，
∴=，
∴AD=AB，
∴CD=AB，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=CD，∠DCE=∠BCE，
∵AB2=AC EC，
∴BC2=EC AC，
∴BC：EC=AC：BC，
∵∠BCE=∠BCA，
∴△CBE∽△CAB，
∴∠CBE=∠CAB，
∵CD=CB，∠DCE=∠BCE，CE=CE，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠CBE=∠CDE，
∵DC∥AB，
∴∠F=∠CDE，
∴∠F=∠CAB，
∴AE=EF．
24.【答案】M1，M2 △ABC是直角三角形，
理由：∵点A，B是抛物线y=-x2+x+上的“梦之点”，
∴y=y2，
即-x2+x+=x，
解得x1=3，x2=-3，
∴当x=3时，y=3，当x=-3时，y=-3，
∴A（3，3），B（-3，-3），
∵y=-x2+x+=-（x-1）2+5，
∴顶点C（1，5），
∴AC2=（3-1）2+（3-5）2=8，AB2=（-3-3）2+（-3-3）2=72，BC2=（-3-1）2+（-3-5）2=80，
∴BC2=AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形 P点坐标为或
25.【答案】解：（1）∵OD⊥AC，
∴=，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴=，即+=+，
∴=，
∴==，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1×=，
则AC=2AF=；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE，∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF，EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF=t，则BC=DF=2t，
∵DF=DO-OF=1-t，
∴1-t=2t，
解得：t=，
则DF=BC=，AC===，
∴EF=FC=AC=，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则cot∠ABD=cot∠D===；
（3）如图2，
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC=，∠AOD=∠COD=，
则+2×=180，
解得：n=4，
∴∠BOC=90°，∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC=，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcos∠AOF=，
则DF=OD-OF=1-，
∴S△ACD=AC DF=××（1-）=．
第1页，共1页
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