2025-2026学年下学期四川广安高三数学3月二模（含答案）

秘密★启用前
高 2023 级第二次模拟考试 数学试题
本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后, 只将答题卡交回。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知不共线向量 、 满足 ,则
A. B. C. D.
3. 已知 是两条不同的直线，且 在平面 内，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 甲乙两位同学从 6 种不同的课外读物中各自选读 2 种, 则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有
A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种
5. 函数 的部分图象如图所示,则
第 5 题图
A. B.
C. D.
6. 已知 4 个不全相等的正整数的平均数与中位数都是 2 , 则这组数据的极差为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 已知点 为抛物线 上的动点，点 为圆 上的动点，点 为抛物线 的焦点,则 的最小值为
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
8. 借助信息技术计算 的值,我们发现当 时, 的底数越来越小,而指数越来越大,随着 越来越大, 会无限趋近于 是自然对数的底数),根据以上知识判断,当 越来越大时, 会无限趋近于
A. B. C. 3 D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项是符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,直线 与 的另一个交点为 ,若 ,则
A. 的短轴长为
B. 的焦距为 2
C. 的周长为 8
D. 的离心率为
10. 下列几何体中,能够被整体放入棱长为 1 (单位: ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不计) 内的有
A. 直径为 的球体
B. 底面直径为 ,高为 的圆柱体
C. 底面直径为 ,高为 的圆锥体
D. 所有棱长均为 的四面体
11. 已知定义在 上的偶函数 满足 ,设 在 上的导函数为 ,则
A.
B.
C.
D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设复数 满足 ( 为虚数单位),则 _____.
13. 记 为数列 的前 项和 ,已知 是公差为 1 的等差数列. 则 的通项公式为_____.
14. 设函数 . 当 时, 的值域为_____；若存在 ，使得关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 记 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
16.(15分)在四棱锥 中， 底面 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正切值.
第 16 题图
17. (15 分) 已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 ，当 时， 在 上的极小值点为 ，求证: .
注:
18.(17 分)已知 是二维离散型随机变量，其中 、 是两个相互独立的离散型随机变量， 的分布列如下表:
0 2 4
1 1 4
3 1 8
(1)求 和 ；
(2)“ ” 表示在 条件下 的取值.
(i) 求 “ ” 的分布列;
(ii) 为 的数学期望, 为 “ ” 的数学期望,
证明: .
19.(17 分)已知双曲线 C: 的离心率为 ，点 为双曲线 C 上的点,按如下方式依次构造点 ,过点 作斜率为 -1 的直线与双曲线 的另一支交于点 ,点 关于 轴的对称点为 ,记 的坐标为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)证明 为等比数列;
(3)记 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 取何值时 最小.
高 2023 级第二次模拟考试数学参考答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. C 7. D 8. A
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BC 10. ACD 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)因为 ，
所以 2 分
由正弦定理得 3 分
所以 4 分
又 ,所以 5 分
又 ,所以 6 分
(2)因为 的面积为
所以 ,解得 8 分
由余弦定理得 ，
即 11 分
解得 12 分
所以 的周长为 13 分
16. 解:(1)证明:在四边形 中，作 于 ， 于 1 分因为 ,
所以四边形 为等腰梯形 2 分
所以 ，
故 3 分
所以 ,所以 4 分
因为 平面 平面 ,
所以 ,
又 ,
所以 平面 6 分
又因 平面 ,所以 7 分
(2)如图，以点 为原点建立空间直角坐标系， ， 则 8 分
则 分设平面 的法向量 ,
则有 ,
设平面 的法向量 12 分
14 分
所以平面 与平面 所成夹角的正切值为 2 15 分
17. 解: (1) 因为 ,其中 1 分
① 当 时， 恒成立， 在 上单调递增 3 分
② 当 时,令 ,得 ,
由 可得 ; 由 可得 5 分
此时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增
综上所述: 当 时, 在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增 6 分
(2)当 时， ， 7 分
令 ,则
由 得,
当 时, 单减
当 时, 单增 9 分
又因为
所以存在唯一的 ,使得 ,即 11 分所以当 时, 单减
当 时, 单增
所以 是 在 上唯一极小值点 13 分
则
因为 ,且 在 单减
所以 15 分
18. 解: (1) 由已知 4 分
(2)(i)“ ”的可能取值为 0,2,4 5 分因为 ,
6 分
所以 7 分
8 分
9 分
所以“ ” 分布列为
0 2 4
15 15 3 5
10 分
(ii) 因为 ,所以 12 分因为 ,
所以 13 分
14 分
15 分
所以 16 分
所以 17 分
19. 解: (1) 由 的离心率为 ,点 在 上,
得 , 2 分
所以 ，曲线 的方程为 4 分
(2)由 得
因为直线 的斜率为 -1,
所以 ,即 5 分
又因为 ,
两式相减得:
所以 7 分
又因为 ,
两式相减得: 9 分
所以 ,而
所以数列 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列 10 分
(3)由(2)得 ①
又因为 ,所以
所以 ②
由①②得: ， 12 分
直线 的斜率: ,
直线 的斜率:
所以 ，直线 与 平行，所以
所以 的面积 为定值 14 分
四边形 的面积
15 分
令 ,则 16 分
当 时, 单调递增,
所以当 时, 取得最小值,即 取得最小值 17 分