2025-2026学年下学期云南昭通高一数学3月第一次月考试卷（含答案）

昭通市市直中学 2026 年春季学期高一年级第一次月考 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每个小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 复数 的虚部为
A. 2
B.
C.
D.
2. 在 中, 分别是角 的对边, ,那么
A. B.
C. 或 D.
3. 向量的数量积可以表示为:以这组向量为邻边的平行四边形的 “和对角线” 与 “差对角线” 平方差的四分之一. 即如图 1 所示: ,我们称为极化恒等式. 在 中, 是 中点, ,则
图 1
A. 32
B. -32
C. 16
D. -16
4. 在 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是
A. B.
C. D.
5. 向量 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量为
A. B.
C. D.
6. 在 中,已知 ,则 的形状为
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
7. 在 中,角 所对的边分别为 ,已知 ,则角 等于
A. B. C. D.
8. 如图 2，在平行四边形 中， ， 和 相交于点 ，且 为 上一点 (不包括端点),若 ,则 的最小值为
图 2
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 若复数 ,则
A. 的实部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 已知 中, 分别是角 的对边,其中 为 中点，点 为 的内心，连接 延长交 于 ，下列结论正确的是
A. 的面积为 B.
C. D.
11. 在 中,已知角 的对边分别为 ,且 , ,则下列说法正确的是有
A.
B. 的外接圆的周长为
C. 周长的最大值为 9
D. 若 为锐角三角形，则 面积的取值范围为
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
注意事项:
第 II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若复数 是纯虚数，则实数
13. 已知向量 满足 ，且 ， ，则 _____.
14. 如图 3,在菱形 中, 分别为 上的点， ，若线段 上存在一点 ，使得 ，则 _____；若点 为线段 上一个动点,则 的取值范围为_____. (第一空 2 分, 第二空 3 分)
图 3
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知向量 满足 且向量 与 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)若向量 与向量 共线，求 的值.
16. (本小题满分 15 分) 如图 4,在平面四边形 中, 的面积为 .
图 4
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
17. (本小题满分 15 分)
某测量小组为测量如图 5 甲山的高度,建立了如图乙所示的数学模型三棱锥 ， 垂直水平面 ,点 代表凤凰亭的上顶点, 两点代表山脚地面上的两个观测点,同学甲在 处测得仰角为 ,同学乙在 处测得仰角为 ,同学丙测得两个观测点之间的距离 为 90 米. (附:若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.)
图 5
(1)求 ；
(2)同学甲测出 为钝角，同学乙测算出 ，求山高 的近似值.
18. (本小题满分 17 分)
已知锐角 的内角 所对的边分别为 ,向量 , ,且 .
(1)求角 的值；
(2)若 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
我们可以把平面向量坐标的概念推广为 “复向量”,即可将有序复数对 , 视为一个向量,记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算: 两个复向量 的数量积记作 ,定义为 ; 复向量 的模定义为 .
(1)设 ，求复向量 与 的模；
(2)① 求证:对任意的实向量 与 ，都有 ；
②利用①的结论，求证:对任意实数 ，不等式 成立,并写出此不等式的取等条件;
③设复向量 ，求证:对任意两个复向量 与 ，不等式 仍然成立.
昭通市市直中学 2026 年春季学期高一年级第一次月考 数学参考答案
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A C D B
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 AD ABD ACD
第 II 卷(非选择题，共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 2
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
解: (1) 因为 ,且向量 与 的夹角为 ,
所以 ,
则 .
(7 分)
(2)因为向量 与向量 共线，则存在实数 ，
使得 ,
所以 ,解得 . (13 分)
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) 因为 ,
又 ,所以 . (3 分)
在 中,由余弦定理得:
,
所以 . (6 分)
(2)在 中，由正弦定理得 ， (8 分)
即 ,解得 , (9 分)
又 ,所以 , (11 分)
所以 (13 分)
,
故 . (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) 在 中,由 得 , (1 分)
在 Rt 中,由 得 , (2 分)
在 中,利用正弦定理得: , (4 分)
所以 . (6 分)
(2)在 中，利用余弦定理得: ，
(8 分)
即 ,化简为 ,
(10 分)
解得 ,或 , (13 分)
当 时， ，与 为钝角矛盾，经验证 符合条件，
所以山高的近似值 为 90 米. (15 分)
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 因为 ,
所以
, (2 分)
方法一:利用正弦定理角化边得 ，
又 ,
，则 ， (4 分)
又 为锐角三角形,故 . (6 分)
方法二: 由和差公式可得 ,
又因为 ,所以 , (4 分)
又 为锐角三角形,故 . (6 分)
(2)由正弦定理得 ， (8 分)
由于 为锐角三角形,则 , (9 分)
又 ,解得 , (11 分)
方法一: 所以
, (14 分)
而 ,即 , (15 分)
, (16 分)
故 的取值范围为 . (17 分)
方法二: 所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,
由余弦定理得 ,
记 ,
易知 在 上单调递增,
所以 ,即 ,
所以 的取值范围为 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
解: (1) 令 .
由已知得 ,所以 ,
(1 分)
由 ,可得 , (2 分)
由 ,可得 . (4 分)
(2)① 设实向量 与 的夹角为 ，则 ， (5 分)
因为 ，所以 ， (6 分)
即 ,当且仅当 与 共线时等号成立. (7 分)
② 设 ( 为实数).
(8 分)
(10 分)
由①得 成立， (11 分)
当且仅当 与 共线,即 时等号成立. (12 分)
③设复向量 , (14 分)
由 得 . (16 分)
又因为 ,
所以 仍然成立. (17 分)