2025-2026学年下学期云南昭通高三数学3月二模（含答案）

数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 考试结束后，请将答题卡交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、 准考证号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的)
1. 已知全集 ，集合 是偶数 ，则
A.
B.
C.
D.
2. 已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 是 的边 上的点，且 ，则
A. B.
C. D.
4. 现有一个迷宫如图 1 所示，小球 从 任意一处滚动进入后，该处封闭，小球最终将从另一处滚动出来，出来后不再滚动进入，则 “小球 从 处滚动进入” 是 “小球 从 处滚动出来” 的
图 1
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 是两个平面, 是两条直线,则下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
6. 已知双曲线 的渐近线与以 为圆心,面积为 的圆相切,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
7. 设随机变量 的分布列为
1 2
其中 . 若 ,则
A. B. C. D.
8. 已知锐角 满足 ,则 的最小值为
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 函数 的最大值为 4，则
A.
B. 图象关于点 中心对称
C. 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
D. 在 上的值域为
10. 函数 ,下列结论正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则 的极大值点为
C. 当 时, 有 3 个零点 D. 若 ,则
11. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 的直线 与 交于 两点,其中 ,则
A. 直线 的斜率为 B. 点 到 轴的距离为 6
C. 的面积为 D. 直线 的倾斜角为 或
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
注意事项:
第 II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为_____.
13. 记 的面积为 ， 的外接圆半径为 ，且 ，则 _____.
14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体” 就是其中之一. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心, 以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分. 如图 2, 若正四面体 的棱长为 ，则对应的勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为_____.
图 2
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知点 在函数 上,记数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 2026 项和.
16. (本小题满分 15 分)
新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具, 通过创新神经网络结构, 优化传统模型难以处理的高噪声数据. 实验人员用含噪声的图象数据对一种新型 AI 降噪模型进行实验,对使用该模型后,图象中的噪声残留量 (单位:个/像素) 进行检测, 统计得到下表:
第 轮迭代 1 2 3 4 5
噪声残留量 (个/像素) 70 60 52 45 38
并计算得: .
(1)计算变量 (迭代轮数) 和变量 (噪声残留量) 的样本相关系数 ，并说明两变量线性的相关程度;
(2)若图象中的噪声残留量不高于 25 个/像素，则说明数据降噪完成. 用最小二乘法求 关于 的经验回归方程，并预测该 AI 模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式:
样本数据 的相关系数 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计值分别为: ,
17. (本小题满分 15 分)
如图 3,在四棱锥 中, .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的正弦值.
图 3
18. (本小题满分 17 分)
已知点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比为 .
(1)求 的轨迹方程 ；
(2)过点 的直线与 交于 两点，记 的面积为 ,过线段 的中点 作直线 的垂线,垂足为 ,设直线 的斜率分别为 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 求证: 为定值.
19. (本小题满分 17 分)
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法. 给定两个正整数 ,函数 在 处的 阶帕德近似定义为: , 且满足: . 注: 已知 在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数 的值；
(2)当 时，试比较 与 的大小，并证明；
(3)已知正项数列 满足: ， ，证明: .
数学参考答案
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A D C A C
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 ABD AD BCD
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 4
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 点 在函数 上, ,即 ,
, (2 分)
当 时， ；
当 时， ，
经验证当 时,上式成立, (5 分)
数列 的通项公式为 . (6 分)
(2)由(1)得 ，
(9 分)
设数列 的前 2026 项和为 ,
. (13 分)
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) ,
,
又 .
,
非常接近 两变量线性的相关程度很强. (6 分)
(2)由题意， ,
关于 的经验回归方程为 ,
令 ,解得 ,
所以至少需要迭代 7 轮才可以完成降噪. (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
(1)证明:取 的中点 ，连接 、 ，
因为 ,
所以 ,
又 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,
所以 ,所以 ,即 ,
又 ,且 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .
(7 分)
(2)解:由题意，四边形 为等腰梯形，取 的中点 ，连接 ，
则 且 ,
图 3
如图 3,以 为坐标原点, 所在直线分别为 , 轴建立空间直角坐标系,
则 , 所以 ,又 ,
,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
所以 取 ,
取平面 的一个法向量为 ，设平面 与平面 的夹角为 ，
,
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 .
(15 分)
18.(本小题满分 17 分)
(1)解:由题意，设点 ， ，
又点 到 的距离为 ,得 ,
所以 的方程为 . (4 分)
图 4
(2)(i)解:易知右焦点为 . 设直线 的方程为 ， ， ， 中点 ,如图 4 所示:
联立 消去 ,得 ,
所以 ,
且 , (6 分)
可得 ,
(7 分)
令 ,则 ,
所以 ,由对勾函数的性质可得 在 时单调递增,
所以 ,即 的取值范围为 . (10 分)
(ii) 证明: 方法一: 易知 ,所以 , 可得 . (12 分)
所以
因此 ,为定值. (17 分)
方法二: 不妨令 ,由题知 ,
所以
,
因此 ,为定值. (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
(1)解:由题得 ,
,故 ,
解得 . (4 分)
( 2 )解:由上可得 ，要比较 与 的大小，
由 ，只需比较1与 的大小，
令 ,
,从而可得 在 上单调递增,
,即 ,
. (9 分)
(3) 证明: 设 ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时, 在 上单调递增,
故 ,即 ,当且仅当 时等号成立;
由题意知 ,令 ,
故该函数在 上递减,故可得 ,即 ,可得 ;
一方面: 由 (2) 可得 ,又 ,
,即 ,即 ,
即 ,故 ,即 .
另一方面: 要证明 ,
两边同时除以 ,
令 ,
由基本不等式, ,
故 ,所以 在 单调递增,
所以 ,得证. (17 分)