2025-2026学年下学期东北三省高三数学3月二模（含答案）

2026 年 高三年级 模拟考试
数学科试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. ” ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 是方程 的根，则 ( )
A. B. C. 2 D. 3
4. 在三棱锥 中, 分别是 上的点,且 1:2,则 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5. 人工智能(AI)领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型. 神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出. 是最常用的激活函数，下面关于 表述错误的是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 的极大值为 1，则 的极小值为 0_____( )
A. -1 B. 1 C. D.
7. 在 中，若内角 ， 为锐角，满足 ，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆上一点,若 , ，则 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 记 为等差数列 的前 项和,若 ,则 ( )
A. B. 公差
C. D. 若 ，则
10. 下列说法正确的是( )
A. 随机事件 相互独立的充要条件是
B. 设 为随机变量,则
C. 若 ,则
D. 若 ,记函数 ,则 的图象关于点 对称
11. 曲线 是优美的封闭曲线,其围成的面积记为 , 是 与 轴正半轴的交点，过原点 的直线交 于点 ，则()
A. B.
C. 当 时, 的最大值是 D. 当 时,
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 过 引直线 ,与圆 相切于 ,则 _____.
13. 函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是_____.
14. 已知向量 满足 ，则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数 ,最小正周期 的范围为[3,4].
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，函数 的图象关于直线 对称，求 的值.
16.(15分)
四棱柱 的底面 是菱形,且 ,侧面 是矩形,且 是 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
在自动驾驶系统的路径规划中, 车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述. 设道路只有两条车道, 分别记为车道 0 和车道 1. 每隔一个固定时间步长, 车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记 为第 个时间步长车辆所在的车道 . 马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记 为一步转移概率,矩阵 为一步转移概率矩阵.
已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下:若当前在车道 0，下一时刻变道至车道 1 的概率为 ; 若当前在车道 1,下一时刻变道至车道 0 的概率为 .
(1)已知 时刻车辆处于车道 0 的概率为 ，处于车道 1 的概率为 .
①写出该模型的一步转移概率矩阵P；
②若 时刻车辆处于车道 1，求 时刻车辆处于车道 0 的概率.
(2)在第(1)问的初始概率条件下,记 ,求随机变量 的分布列(结果用含 的式子表示).
18.(17分)
已知
(1)设函数 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，证明: ；
(3)当 时， ，求实数 的取值范围.
19.(17分)
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,实轴长为 ,双曲线 的一条渐近线为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)0为坐标原点，点 、 、 是双曲线 上不同三点，且 、 两点关于 轴对称， 的外接圆经过点 .
① 求证:直线 与圆 相切；
②直线 与渐近线交于 两点，求 的取值范围.
2026 年 高三年级 模拟考试 数学科试题答案
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B B D C D C
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 AD ABD ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 2 13. 14. 4
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)
因为 ,所以 ,则 分
(2)若 ，由(1)知 ，所以 ，所以 分又函数 的图象关于直线 对称,则 ,解得 . 10 分则 分
16. (15 分)
(1)证明:取 中点为 ，连接 ，
分别为 中点,且 是矩形,
平面
分
在菱形 中， ，
为 中点，
4 分
平面 平面 平面
平面 平面 6 分
(2)在平面 内,过 ,
平面 平面
平面 两两垂直,如图建立空间直角坐标系 8 分
则
由(1)知 ，所以 为二面角 平面角，所以
又
设平面 的法向量为
,得
14 分
直线 与平面 所成角的正弦值为 15 分
17. (15 分)
(1)由题意可知，从状态 0 转移到状态 1 的概率 ，则 .
从状态 1 转移到状态 0 的概率为 ,则 .
故一步转移概率矩阵为: 4 分
记事件 为 “ 时刻车辆处于车道 ,事件 为 “ 时刻车辆处于车道1”.
已知 ,由全概率公式, .
由贝叶斯公式,所求概率为 分
(2)记 ，则 .
由全概率公式及转移矩阵可得递推关系:
10 分
则 ,
故数列 是以 为首项,公比为 的等比数列.
所以 12 分
故 . 13 分
故随机变量 的分布列为:
0 1
15 分
18. (17 分)
(1) 2 分
当 时, 在 单调递增
当 时,令 ; 令
在 单调递减,在 单调递增 4 分
(2)当 时，原不等式 .
当 时, ,原不等式
. 6 分
设 ,则 .
当 时， ；当 时， ，
在 单调递减,在 单调递增. . .9 分
(3)原不等式 .
①当 时，当 时， ， ，
,不合题意. 11 分
② 当 时，原不等式 .
设 .
则 .
1) 当 时, 在 单调递减, ,
在 单调递增, ,不合题意. 13 分
2) 当 时, 在 单调递增, ,
在 单调递减, . 15 分
3) 当 时,令 .
在 单调递减, .
在 单调递增, ,不合题意.
综上, . 17 分
19. (17 分)
解: (1) 由已知 ,所以双曲线的方程为 . 2 分
(2)① 设 ，直线 ，代入 中得
当 且 时, 4 分
的中点 垂直平分线为
与 轴交点记为 ,令 ,得 5 分
6 分
化简得 ,即 分
点到 的距离 直线 与圆 相切. 分
② 设 ,将 代入 中得 当 且 ,
12 分
由①知
14 分
又 且 15 分
且 17 分