2025-2026学年下学期四川成都七中高三数学3月第五周测（含答案）

成都七中高 2026 届高三下期数学第五周测试题
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 请 把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ，则( )
A. B.
C. D.
2. 命题 “ ” 的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 设 为虚数单位, ,则 “ ” 是 “复数 是纯虚数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，以下说法正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
5. 已知二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大,则展开式中 项的系数为( )
A. -160 B. -80 C. 80 D. 160
6. 在如图所示的试验装置中，有两个边长为 1 的正方形框架 ，它们所在的平面互相垂直. 有一个活动弹子 在正方形 的对角线 上移动，运动过程中弹子 到直线 的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知 ,若圆 上存在点 满足 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对 得 6 分, 部分选对的得部分分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.某学校组织全体学生参加了文创大赛，随机抽取了 400 名学生的成绩进行统计，得频率分布直方图(如图)， 则( )
A. 图中 的值为 0.020
B. 该样本中成绩在区间 内的学生有 160 人
C. 估计全校学生成绩的平均数约为
D. 估计全校学生成绩的 80% 分位数约为 95
10. 已知椭圆 的焦点分别为 是 上的动点，设直线 与椭圆 交于 两点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆 的离心率为
B. 椭圆上存在点 使得
C. 点 为线段 的中点，则 的周长为
D. 是直线 上的动点，则 的最小值为
11. 已知函数 ,将 的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列 ,对于任意的正整数 ,则( )
A. B. 是极大值点
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 平面向量 ， ，则 在 上的投影向量坐标为_____.
13. 已知函数 ，则不等式 的解集为_____.
14.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动, 每位顾客只用一个会员号登录, 每次消费都有一次随机摸球的机会. 已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ; 从第二次摸球开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽中的概率为 ,若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为 . 记该顾客第 次摸球抽中奖品的概率为 ,则 的值为_____、该顾客第_____次摸球抽中奖品的概率最大.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 .
(1)(5 分)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)(8 分)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.
16. (15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 分别为 ， 的中点.
(1)(5 分)证明: 平面 ；
(2)(10 分)若平面 平面 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ,求点 到平面 的距离.
17. (15 分)中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域. 为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了 200 位社区居民，得到如下数据 (单位:人):
学历 关注 不关注 合计
本科及以上 80 20 100
本科以下 60 40 100
合计 140 60 200
(1)(5 分)依据小概率值 的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？
(2)(10 分)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下: 第一关:设置 3 道必答题，参与者需至少答对 2 道才能参与下一关答题，否则淘汰；
第二关:设置 3 道题，前 2 道题每答对 1 道奖励 200 元，答错即结束答题，奖励清零，2 道题都答对可选择放弃答题, 领取奖励, 也可以选择继续答题 (等可能的选择), 第 3 道题答对奖励 400 元, 答错前 2 道奖励减半, 答题结束. 已知甲参与闯关比赛,第一关答题的 3 道题每道题答对的概率均为 ,第二关答题的前 2 道题每道题答对的概率均为 ,第 3 道题答对的概率为 ,各题答对与否相互独立.
(i) (2 分) 求甲能进入第二关答题的概率;
(ii) (8 分) 已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第 3 道题，使获取的奖金更多.
参考公式及参考数据: .
0.05 0.01
3.841 6.635
18.(17分)在平面直角坐标系 中，抛物线 的方程为 ， 为 上一点， 为 的焦点，过点 ， 的直线交 于另一点 ( 不与 重合). 的最小值为 4 .
(1)(4 分)求 的标准方程；
(2)(13 分)过点 作直线 交 于 两点( 在 上方)，点 坐标为 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 .
(i) (6 分) 求 面积的最小值;
(ii) (7 分) 当 均不与 轴垂直时,设 中点为 中点为 ,求 的取值范围.
19.(17分)如图，直线 与 相交于点 . 直线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,过点 作 轴的垂线交直线 于点 ,这样一直作下去,可得到一系列点 . 点 的横坐标构成数列 .
(1)(5分)证明: ；
(2)(4 分)求数列 的通项公式:
(3)(8 分)比较 与 的大小.
成都七中高 2026 届高三下期数学第五周测试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A D A A A C BD ACD BCD
1.【答案】 依题意,集合 ,对于 错误, B 正确; 对于 错误. 故选: B
2.【答案】 根据全称命题的否定为存在命题，任意变存在，范围不变，结论相反，则命题“ ” 的否定是 “ ”,故选: B.
3.【答案】 . 因为复数 是纯虚数,所以 , 解得 . 所以 “ ” 是 “复数 是纯虚数”的充分不必要条件. 故选: A.
4.【答案】D 对于 ,若 ,则 或 或1与 相交,故 错误;
对于 ,若 ,则 或 或1与 相交,故 错误;
对于 ,若 ,则 或 或 与 相交不垂直或 与 垂直,故 错误;
对于 ,若 ,则 ,又因为 ,则 ,故 正确.
5.【答案】 因为二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大,
所以 ,所以 的展开式的通项为 ,
令 ,得 ,故 ,故展开式中 的系数为 -160 .
6.【答案】 根据题意以 为坐标原点, 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,设 ,
则点 到直线 的距离为 ,
其中 为直线 的单位方向向量, ,
可取 ,所以 ,
整理得 ,当 时, 取得最小值 . 故选: A.
7.【答案】 设点 ，则 ， ，所以 ，则 ， 所以点 的轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为 3,由此可知圆 与 有公共点,又圆 的圆心为 ,半径为 2,所以 , 解得 ,即 的取值范围是 ,故选: A.
8.【答案】C因为 ,所以 , 即 ,设 ,因为 ,所以 ,解得 , 则 ,从而 ,由对勾函数性质可知, 的取值范围是 ,从而 ,故所求范围为 . 故选: C.
9.【答案】BD 对于 ,由 ,得 错误;
对于 ,成绩在区间 内的学生人数为 正确;
对于 ,平均数 , C 错误;
对于 ,低于 90 分的频率为 ,设样本数据的 分位数为 ,
则 ，解得 ， 正确. 故选:
10.【答案】 椭圆 的焦点分别为 ，则 ，
可得 ,解得 .
对于选项 ,椭圆的离心率为 ,故 选项正确;
对于选项 ,假设在椭圆上存在点 ,使得 ,
且 ,
所以 ,在实数范围内无解,
椭圆上不存在点 使得 ，故 B 选项错误；
对于选项 ,设点 ,由题意可得 ,若直线的斜率不存在,则线段的中点在 轴上, 不符合题意,所以直线的斜率存在,则由 ,可得 , 即 ,所以直线的斜率为 , 因此直线 的方程为 ,即 ,显然直线经过焦点 , 所以 的周长为: ,故 选项正确; 对于 选项,因为 到直线 的距离为 . 所以 ,故 D 选项正确. 故选:ACD.
11.【答案】BCD 的极值点为 在 上的变号零点.
即为函数 与函数 图像在 交点的横坐标.
又注意到 时, 时, ,
时, . 据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.
对于 ,由图像可知 ,则 ,故 错误;
对于 ,注意到 时, .
结合图像可知当 , ,
当 是函数的极大值点, 是函数的极小值点,故 正确,
对于 表示两点 与 间距离，由图像可知，
随着 的增大,两点间距离越来越近,即 为递减.
故 ,化简可得 ,故 正确;
对于 ,由于 ,
故 ,因此 ,
且 ,故 ,
由于 为单调递减函数, 为单调递增函数,结合 为单调递增函数,因此 为单调递增函数,由于 ,可得 ,故 正确. 故选: BCI
12.【答案】 由 ,得 ,
则 在 上的投影向量为 .
13.【答案】 ,当 时, ; 当 时, ;
,则当 时, ,即函数 是 上的偶函数,
不等式 ,
整理得 ,解得 ,所以原不等式的解集为 .
14. 答案: ; ② 2 .
记该顾客第 次摸球抽中奖品为事件 ,依题意, ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
又因为 ,则 ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
故 .
当 为奇数时, ,
当 为偶数时, ,则 随着 的增大而减小,所以 .
综上, 该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
15. 解: (1) 当 时,
,则切点为 ,
切线方程是 ,即 分
(2) ,
函数 在区间 上单调递减
在区间 上恒成立,
,化简得 ,
而 ,则 ,得到 恒成立,......9 分
令 ,即 恒成立, 即可,
而 ,令 ,
而当 时, ,则 在 上单调递减,
故 ,得到 在 上单调递减,
. ......13 分
16. 解: (1) 取 PB 中点 ,连接 ,
分别为 的中点,
且 且 ，
，且 ，则四边形CEFG为平行四边形，
平面 平面 ,
平面 分
(2)取 中点 ，连接 ， ， ，因为 ，所以 ，
平面 平面 面 为交线，
平面 为正三角形， ，
以 为原点，分别以 ， ， 为 轴建系，如图，
则 ,
所以 ,易知平面 的法向量可取 ,
设平面 PAE 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可取 ,
所以 ,解得 分
所以 ,
设平面 PBC 的法向量为 ,
因为 ,令 ,可得 ,
所以 .
17. 解: (1) 解: 零假设为 : 对航天工程的关注情况与学历无关,
依据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,即认为对航天工程的关注情况与学历有关....... 5 分
(2)解:(i)记甲能进入第二关答题为事件 ，即 3 道题至少答对 2 道题，
所以 分
(ii) 若确定不挑战第 3 道题,获得奖金为 的可能取值为 0,400,
则 的分布列为:
0 400
所以 ; ......10 分
若确定挑战第 3 道题,获得奖金为 的可能取值为0,200,800,
则 的分布列为
Y 0 200 800
所以 分
令 ,
故当 时， ，建议挑战第 3 道题；
当 时， ，挑战和不挑战第 3 道题都可以；
当 时， ，建议不挑战第 3 道题......15 分
18. 解: (1) 由题抛物线 的焦点 ,可设直线 ,
联立 ,设 ,
所以 ,
则 ,
所以 ,
所以当 时有 ,则由题意 ,
所以 的标准方程为 分
(2)(i)由(1) ，则可设直线 1 的方程为 ，直线 的方程为 ，
且 ,
联立 得 ,
所以 ,故 ,同理 ,
联立 ，则 ，故 ，故 ，
而 ,
故 ,
故 ,而 ,当且仅当 时等号成立,
故 的最小值为 ......10 分
(ii) 由抛物线的对称性,不妨设 ,则 。
由 (i) 可得 ,故 ,
而 ,故 ,
而 ,故 ,故 ,
故 ,
设 ,则 即 ,当且仅当 时等号成立,
又 ,
由双勾函数的单调性可得 在 上为减函数,故 ,
故 ，故 ，故 分
19. 解: (1) 由题意,可知 与 的横坐标相同, 与 的纵坐标相同,则点 的横坐标为 ,
将 代入 ，解得 ，则 与 的纵坐标为 ， 将其代入 ，可得 ， ， ,故 分
(2)由(1)中 ，则数列 是以 为公比的等比数列，
对于直线 ,令 ,可得 ,解得 ,则点 的横坐标
故数列 的通项公式为 ,
故 分
(3)由(2)可得 ，联立可得 ，解得 ，则 ，
即 ;
令 ,易知函数 为偶函数且在 单调递增,
令 ,可得 ,则 ,解得 ,
则当 时, ,当 时, ,
即当 时, ,当 时, ,
由( 2 )中得到的 ,令 ,
解得 ,则当 时, ,
则 ,
令
当 时,易知函数 在 是单调递增的,则 , ,即 ;
当 时,易知函数 在 是单调递减的,则 ,即
综上,当 时, ;
当 时, .