2025-2026学年下学期安徽滁州高一数学3月阶段检测（含解析）

2026 高一 3 月份学生能力评价 数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第六章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1.
A. 0 B. C. D.
2. 已知向量 ,若 ,则实数
A. -6 B. C. 6 D.
3. 在 中, ,则 外接圆的面积为
A. B. C. D.
4. 已知力 作用于同一质点,使之由点 移动到点 ,则力 的合力 对质点所做的功为
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
5. 若向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
A. B.
C. D.
6. 已知钝角 的三边长分别为 ，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 已知 为单位向量，若 ，且 ，则 的最小值为
A. B. 2 C. 3 D. 6
8. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的最小值为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 在下列各组向量中, 不能作为基底的是
A. B.
C. D.
10. 已知非零向量 的夹角为 ,则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ，且 ，则
C. 若 ,则
D. 若 ，且 ，则
11. 已知 的内角 所对的边分别为 ， ， ,则下列结论正确的是
A.
B. 若 ,则满足条件的 有且只有一个
C. 若 ，且 是整数，则
D. 若 是 的最小内角,则 面积的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 与 垂直的单位向量的坐标为_____.
13. 设 的内角 的对边分别为 ,若 ,点 在 边上, 为 的角平分线，则 _____.
14. 已知正八边形 的边长为 2,点 为正八边形的中心,点 是正八边形内一动点 (含边界),则 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知向量 .
(1) 求 。 ；
(2)当 为何值时， 与 共线？
16. (本小题满分 15 分)
已知 的内角 所对的边分别为 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的最小值.
17. (本小题满分 15 分)
如图，某公园有一块等腰梯形形状的空地 ，其中 ， ， 长为 200 m， 长为 . 该公园拟在空地中间用栅栏围一块三角形区域 种植花卉,其中 分别在边 上,且 .
(1)证明: 的长为定值；
(2)求 周长的最小值.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在 中， 分别是边 上的点， 与 交于点 ，且 .
(1)若 .
(1)求 的值；
(1)求 的值；
(2)若存在实数 ，使得 ，求 的取值. 范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知 是锐角三角形,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求边 上的中线 的取值范围.
2026 高一 3 月份学生能力评价 - 数学 参考答案、提示及评分细则
1. D . 故选 D.
2. A 由 ,得 ,解得 . 故选 A.
3. D 设 外接圆的半径为 ,则 ,则 外接圆的面积为 . 故选 D.
4. A 依题意, ,所以合力 对质点所做的功为 . 故选 A.
5.C 因为 ,所以 ,解得 ,所以向量 在向量 上的投影向量为 . 故选 C.
6. 根据三角形三边长关系及余弦定理可知 解得 ,即实数 的取值范围是 . 故选 D.
7. C 不妨设 ，因为 ，则可设 ， . 又 ，则 2,所以可设 ,则 . 故选 C.
8. 由 及 ,得 ,且 . 由正弦定理可得 ,所以 ,因为 ,所以 ,令 ,则 ,所以 ,当 ,即 时,等号成立. 故选 B.
9.BCD 对于 不共线,可以作为基底; 对于 方向相反,共线,不能作为基底; 对于 , 共线,不能作为基底; 对于 ,则 方向相同,共线,不能作为基底. 故选BCD.
10. BCD 若 ,则 ,所以 或 , A 错误; 由 为非零向量及 可知 ,所以 ,即 正确; 若 ,则 ,得 ,所以 ,即 , C 正确; 若 ,则 ,得 ,即 ,又 不共线,所以 正确. 故选 BCD.
11. ACD 对于 A,由 及正弦定理,可得 ,所以 ,因为 ,所以 正确; 对于 ,因为 3,满足条件的 有两个, B 错误; 对于 ,由题可得 ,又 是整数,若 ,符合题意; 若 ,则 ,不合题意; 随着 取更大的整数, 的值逐渐减小,不合题意,所以 , 正确; 对于 ,因为 是 的最小内角,则 ,则 ,当 时, ; 当 时,由正弦定理,得 ,所以 ,因为 , 所以 ,所以 . 综上, 面积的取值范围是 , D正确. 故选 ACD.
12. 或 设与 垂直的单位向量的坐标为 ,则 解得 所以与 垂直的单位向量的坐标为 或 .
13. 因为 ,由余弦定理知 ,即 ,解得 或 -6 (舍去)，因为 ，所以 ，解得 .
14. 如图，取 ， 边的中点 ， ，连接 ， ， 与 交于点 ， 则由正八边形的性质易得 为 的中点， ，则 ,当点 在 边上时, 在 上的投影向量为 ，此时 取得最大值，所以 的最大值为 .
15. 解: (1) 由 ,得 ,解得 . 3 分
所以 . 5 分
(2) ， 7 分
9 分
因为 与 共线,所以 , 11 分
解得 . 13 分
16. 解: (1) 因为 ,且 ,
所以 , 2 分由正弦定理 ，得 . 6 分
(2)因为 ，
所以 , 8 分
又 ,所以 , 9 分
因为 的面积为 ,所以 ,
所以 ， 12 分
所以 ,当且仅当 时取等号,
所以 的最小值是 . 15 分
17. ( 1 )证明:因为四边形 为等腰梯形，则 ，
在 中， ， ，则 ，
由正弦定理可得 ,则 , 3 分
同理可得 . 4 分
又 ,
所以 ,即 的长为定值. 7 分
(2)解:在 中， ，
由余弦定理可得
, 12 分
所以 ,当且仅当 时,等号成立. 14 分
所以 周长的最小值为 . 15 分
18. 解:(1)(i)因为 ，所以 ， 2 分
又 ，所以 , 4 分
所以 ， 6 分
(ii) 因为 ,所以 ,
设 ,则 , 8 分
因为 三点共线,所以 ,所以 ,即 . 10 分
(2)因为 ,所以 , 11 分
因为存在 ,使得 ,
则 13 分
整理得 ， 14 分
显然函数 在 上单调递增,所以 , 16 分
所以 的取值范围是 . 17 分
19. 解: (1) 由 及正弦定理得, , 1 分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,即 , 3 分
因为 ,所以 ,因为 ,所以 . 5 分
(2)
. 7 分
因为 是锐角三角形,且 ,所以 所以 , 8 分
所以 ,
所以 的取值范围为 . 10 分
(3)由余弦定理得， ，即 .
由 ,两边平方得 . 12 分由正弦定理可知, ,所以 ,
所以
, 15 分
由 (2) 知 ,所以 ,
即 ,则 . 17 分