2025-2026学年下学期山东高三数学4月调研测试（含答案）

山东省 2026 年普通高中学业水平 4 月调研 数 学
注意事项:
1、答题前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 黑色签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 均为 的子集，且 ，则 为
A. B. N C. M D. R
2. 已知复数 ,则
A. B. C. D.
3. 已知抛物线 的准线被圆 截得的弦长为 4, 则 的值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 某实验最近 100 天的数据 (单位: ) 绘制成如图所示的频率分布直方图, 则估计该实验数据的第 80 百分位数为
A. 4.8 B. 5
C. 5.2 D. 5.4
5. 设 的内角 的对边分别为 ,若 ,且 , 则 的外接圆半径为
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6. 若直线 过点 ，则 的最小值为
A. 7
B. C. 6 D.
7. 已知函数 在定义域 上单调递减,且函数 的图象关于点 对称,不等式 的解集为
A. B.
C. D.
8. 半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体. 如图所示, 某半正多面体由 4 个正三角形和 4 个正六边形构成, 其可由正四面体切割而
成,已知 ,若在该半正多面体内放一个球,则该球表面积的最大值为
A.
B.
C.
D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每个小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在菱形 中， ，点 满足 ， ，则
A. B. EFI/BD
C. D.
10. 数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为 ,第二、三行中的最大数分别为 ,第二、三行中的最小数分别为 ,则
A. 排列总数为 720 个 B. 的概率为
C. 的概率为 D. 满足 的排列有 120 个
11. 设函数 的极小值点为 ,则
A. 的单调递增区间为 和
B. 有且仅有两条斜率为 2 的切线
C.
D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
(第 13 题图)
12. 数列 满足 , 则 _____.
13. 已知函数 的部分图象如右图所示，图中阴影部分的面积为 ，则 _____.
14. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件 “第 次命中目标” ， ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知等差数列 和正项等比数列 满足 , .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
16.(15分)
如图所示，在所有棱长都为 2 的三棱柱 中，点 是棱 的中点， .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，点 是线段 上的一个动点， 若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度.
17. (15分)
某商场进行消费抽奖活动, 抽奖分成两轮, 第一轮游戏消费者投掷一枚质地均匀的硬币, 若正面朝上, 进入第二轮游戏, 否则游戏结束, 消费者获得三等奖; 第二轮游戏消费者在装有 2 个白球和 个红球的抽奖箱中任意抽取两个球,若抽取的两个球均为白球, 则获得一等奖, 奖金 30 元, 若抽取的球为一个红球一个白球, 则获得二等奖, 奖金 20 元, 若抽取的球均为红球, 则获得三等奖, 奖金 10 元, 抽奖箱中的所有小球, 除颜色外均相同.
(1)若 ，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
(2)记顾客一次抽奖所获得的奖金为 ，若商场希望 的数学期望小于 12 元，求 的最小值.
18.(17分)
已知函数 ，其中 .
(1)若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的值;
(2)若函数 在定义域内不单调，求 的取值范围；
(3)若 ，对任意的 恒成立，求 的最小值.
19.(17分)
已知 是坐标原点,双曲线 左顶点 ,直线 过点 交 的右支于 两点,记 的面积分别为 , . 且当直线 与 轴垂直时, .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知直线 交 轴于点 ，
(i) 若 ,求证: 为定值:
(ii) 在 (i) 条件下,若 ,当 时,求 的取值范围.
山东省 2026 年普通高中学业水平 4 月调研 数学答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1-8: CAAD DCBC
二、选择题 (每小题 6 分, 共 18 分)
9. ACD 10. ABC 11. AD
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12.
四、解答题(共 77 分)
15.(13分)解:(1)由数列 是等差数列及 ，得 ， -1 分由数列 是等比数列及 ,得 . -2 分
设数列 的公差为 ,数列 的公比为 ,
则有 解得 或 (舍),
所以 和 的通项公式为 . -6 分
(2)由(1)，得 ，
所以 -7 分
11 分
. 13 分
16. (15 分)
证明:(1)取 的中点 ，连接 ， ， .
因为 为 中点， 为 中点，所以 .
在三棱柱 中, ,则四边形 是菱形,
得 ,则 , 2 分
又 平面 ,所以 平面 . 3 分
又因为 平面 ,所以 . 4 分
因为 是等边三角形， 为 中点，所以 . -5 分
又因为 平面 ，
所以 平面 . -6 分
又因为 面 ,所以平面 平面 . 7 分
解: (2) 连接 .
因为 ,所以 是等边三角形,所以 .
又平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 . -8 分
由 平面 ,得 ,又 ,
如图，以 为原点，以 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .
-9 分
则 ,
设 ，则 ， 11 分
易知平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ,则
12 分
令 ,解得 ,此时 ,所以线段 . 15 分
17. (15分)
解:(1)可分为两种情况:
消费者第一轮游戏反面朝上，其概率为 ； -2 分
消费者第二轮,且摸出 2 个球均为白球,其概率为 , 4 分
故当 时,消费者参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为 . 6 分
(2)由题意可得 的可能取值有10,20,30, -7 分
且 ,
10 分
则 ,
化简可得 , -13 分
由题意可得 ,即 ,即 或 ,
又 ,所以 的最小值为 9 . 15 分
18.(17分)
解: (1) 因为 ,切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ,
所以切线与 轴交点的坐标为 . 2 分
所以切线斜率 ,
所以 的值为 -1 或 2 . -4 分
(2)由题意得 .
① 在 单调递减，
存在 ,使得 ,
所以 在 单调递增,在 单调递减,即 不单调. 6 分
② ， ， ， 在 单调递增，
在 单调递减,
,令 ,即 ,
此时存在 ,使得 ,
所以 在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减,
即 不单调. -9 分
综上所述 的取值范围为 . 10 分
(3)由(2)知当 时， 在 单调递减， ， ， 存在 ,使得 ,
所以 在 单调递增,在 单调递减,
11 分
所以 ,即 ,
13 分
令
因为 当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增, , 16 分
所以 ,
所以 的最小值为 . 17 分
19. (17 分)
解: (1) 由题意得 ,则当 与 轴垂直时,不妨设 ,
由 ,得 , 1 分
将 代入方程 ,解得 ,
所以双曲线 的方程为 . -3 分
(2)
设 ,
由 与 ,得 ,
即 ,所以 , -5 分
将 代入 的方程得: ,
整理得: ①, 7 分
同理由 可得 ②. -8 分
由①②知， 是方程 的两个不等实根.
由韦达定理知 ，所以 为定值. 10 分
(3)又 ，即 ，
整理得: , 11 分
又 ,不妨设 ,则 ,
整理得 ,又 ,故 , 13 分
而由 (i) 知 ,故 ,
代入得 , 15 分
令 ,得, ,
由双勾函数 在 上单调递增,得 ,
所以 的取值范围为 . -17 分