2025-2026学年下学期江西八所重点中学高三数学4月联考（含答案）

江西省八所重点中学 2026 届高三联考 数学试卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若全集 ,则集合 为( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. B. c. D.
3. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 设单位向量 的夹角为 ，则 在 上的投影数量为( )
A. B. C. D.
5. 已知正项等比数列 的前 项和为 ,满足 ,记 表示不超过 的最大整数,设 ,则数列 的前 30 项和为 ( )
A. 464 B. 465 C. 466 D. 467
6.若甲盒中有 3 个白球,2 个红球,1 个黑球,乙盒中有 个白球 ,3 个红球,2 个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件 “从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同” 的概率不小于 ,则 的最小值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 已知两定点 和 ，双曲线 以 ， 为焦点且经过动点 ，若 在直线 上运动， 则双曲线 的离心率的最小值为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 的零点为 ,函数 的零点为 ,其中 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 若 均为实数，则下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ,且 ,则 的最小值为
D. 若 ，且 ，则 的最大值为 2
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 ， 两点( 位于第一象限)，过 ， 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 2
B. 若直线 交 轴于点 ，则
C. 抛物线 在点 处的两条切线相互垂直
D. 若 ，则梯形 面积分别为 16
11. 在三棱锥 中, 平面 ,且 . 动点 在侧面 内(包括边界)运动，且满足点 到平面 的距离等于点 到点 的距离.设动点 的轨迹为曲线 ，则以下选项中正确的是( )
A. 三棱锥 的外接球的表面积为
B. 二面角 的正切值为
C. 三棱锥 的体积的最小值是
D. 过点 平行于平面 的平面截三棱锥 所得截面面积的最大值为
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 的二项展开式中，系数最大的项为_____.
13. 已知函数 满足 对任意实数 都成立,若 ，则 _____.
14. 在三角形 中， 边上的中线 ，外心为 ，重心为 ，则 的取值范是_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分 13 分)有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取 100 人. 现从这 200 名学生中随机选 1 名学生，设事件 为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件 为“选到的学生为男生”，且 ， .
(1)根据已知条件，完成下列 列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择 1 人，设选到女生的概率为 ,求 的值:
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
(2)依据小概率值 的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关.
参考公式与数据: ,其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15. (本题满分 15 分) 已知数列 的前 项和为 ,且满足
(1)求数列 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17. (本题满分 15 分) 如图,四棱锥 中, 平面 ,平面 平面 ,
(1)证明: 平面 ；
(2)点 为线段 上一点 ( 与 ， 不重合).
(i) 若 ，求二面角 的余弦值；
(ii) 是否存在点 ,使得 四点共球且该球心位于平面 内,若存在,指出点 位置; 若不存在, 请说明理由.
18. (本题满分 17 分)若椭圆: 上一点 处的切线方程为 . 已知椭圆 分别为左、右顶点且离心率 . 直线 过 交椭圆 于 两点. 当直线 垂直于 轴时, .
(1)求椭圆 的方程；
(2)连接 ，并过 两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点 ，过 作 的平行线交 于 点,直线 ( 为坐标原点)交直线 于点 ,直线 和直线 的斜率分别为 和 两点横坐标分别为 .
证明 (i) 为定值; (ii) 为定值.
19.(本题满分 17 分) 已知函数 .
(1)若 时，求函数 在点 上的切线方程；
(2)若 ，使得当 时， 的值域为 .
(i) 求实数 的取值范围; (ii) 证明: .
江西省八所重点中学 2026 届高三联考数学试卷 答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B D C B A C ACD BCD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.
1. A ,故 .
2.D ,故 ,
,故 的虚部为 .
3. B由已知可得 ,故 ,
.
4. D 在 上的投影数量为 ,
,
在 上的投影数量为 .
5. 由已知得 ,
当 时, ,当 时, .
设数列数列 的前 30 项和为 ,
6. B设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件 ,从甲盒中取出的球和从乙盒中取出
的球颜色相同为事件 ,则
,即 ,
故 ，所以 的最小值为 6 .
7. A焦距 ,半焦距 ,离心率 ,求 的最小值即求实半轴长 的最大值. ,先求 的最大值. 由于 (其中 为 关于直线 的对称点,当且仅当 在 延长线与 的交点时等号成立.
关于直线 的对称点 。故 ,
即 的最大值为 ,因此 .
故双曲线离心率的最小值为 。
8. C , 在 上单增, ,当 时, ,当 时, ,故 , ,即 . 令 , 故函数 在 上递增, 在上递减,则 ,所以 。
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. AC由不等式性质可知 A 正确, B 错误
C 选项,由已知得 ,则 ,故 C 正确
D 选项, 最小值为 2, D 选项错误
10.ACD由抛物线焦点弦最短可知 选项正确
由 得 选项错误
抛物线在 处的切线分别为 ,两条切线斜率之积为 选项正确由 得 ，(其中 为直线 的倾斜角) 选项正确
11.BCD三棱锥 的外接球半径为体对角线的一半, ,表面积 ,故 (A) 错误。
二面角 即平面 与平面 的夹角。平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 ,设夹角为 ,则 ,故 ,因此 (B) 正确。
以 为原点，建立空间直角坐标系: ， ， ， 。平面 SBC 的方程为 。 设 ,由条件 ,化简得 。联立 得 ,。由轨迹方程可求得 三棱锥 的体积 ,由 得 ,因此 正确。
过 且平行于平面 的平面方程为 ,截面为直角三角形,面积 ,
又 ，故 (D) 正确。
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 展开式的第 项系数为 ,其中 ,当 时, 系数为最大,故系数最大的项为 .
13. -1 已知 ,
所以 ,两式相减得
,
则 ,
14. 设 ,三角形 的面积为 。
由面积公式: ,得 。
由中线长公式: ,即
由余弦定理:
将 代入 得: ，即 .
将 代入式(3)，得 。
由基本不等式 ,得 ,解得 ; 结合三角形存在性,
,故 。
外接圆半径 满足: ,即 。
由 和 消去 ,结合 ,得 。
由 平方得 。
求 的取值范围:
当 时, ; 当 时, 。答案:
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(1)愿意报名参加答题活动的人数为 ，愿意参加答题活动的学生为男生的人数为 ,故愿意参加活动的学生为女生的人数为 ,不愿意参加答题活动的学生为男生的
人数为 ，不愿意参加答题活动的学生为女生的人数为 .
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动 20 60 80
愿意报名参加答题活动 80 40 120
合计 100 100 200
4 分
由表格得不愿意参加答题活动得 80 人有 60 个女生,所以 的估计值为 . 7 分
( 2 )零假设为 :该校学生报名参加答题活动与性别无关，
根据表中数据可得, , 11 分
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,即认为该校学生报名参加答题活动与性别有关，该推断犯错误的概率不超过 0.001 13 分
16.(1) 已知
当 时， ，解得 1 分
当 时， ，由 得: ， 3 分
两边同除以 ，得 ，因此 是首项为 ，公差为 3 的等差数列， 6 分
故 ,即 8 分
由 ,则
12 分
则数列 的前 项和为:
15 分
17.(1)方法一:由 平面 平面 ，得 。
因为平面 平面 ,且平面 平面 ,取 的中点为 ,又因为 ,所以 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以 ,又因为 ,所以 平面 .
方法二: 因为 平面 平面 ,得 ,又因为 ,所以 ,又因为 ,所以
又 ，由余弦定理得 ，所以 ，又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 ，又因为 ，且 ，所以 平面 . ...4 分
(2)(i)以 为原点， 方向为 轴方向建系，则有 ， ，由于 则 6 分
平面 的法向量: 设 ,由 得 令 得 分平面 的法向量: 设 ,由 得 令 ,得 . 9 分
设二面角 的平面角为 ,注意到 为锐二面角,
所以 ,即二面角 的余弦值为 . 10 分
(2)(ii)设 ，则 ； 11 分
设过 四点的球的球心为 ,半径为 ,则 ,即
可得
令 解得 满足条件,
综上: 即 时点 使得 四点共球且该球心位于平面 内. 15 分
18.(1) 由题意可知 在椭圆上,且由 ,可得 ,联立方程 4 分
(2)(i)由题意可知直线 不与 轴重合，设直线 ，点
.5 分
6 分
又因为 8 分
所以 . 9 分
(ii) 由题意可知过点 的切线和点 的切线分别为: ,和 ,联立方程
11 分
,所以 12 分
直线 ,直线
15 分
,又由(i)可知 ,所以 ,
即 . 16 分
可得 为 中点,所以 ,即 . 17 分.
19.(1)当 时, ,所以 ,故切线方程
为 . 4 分
(2)①显然 在 上单调递增，则 ,
令 ,则 ,故 在 上单调递增,在 上单调递减,
,函数 的大致图象为下图,故有 ,即 的取值范围为 10 分
② 记 ，则 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增,故 ,即 ,即 , 同理 ,因为函数 的 ,且对称轴为 ,
则方程 存在两根 ,且 ,
故 ,又 ,且 , 所以 ,则 ,即 .