2025-2026学年下学期江西吉安高一数学3月阶段检测(含解析)

高一年级 3 月数学学科素养训练
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生母、考场母、座位母填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1. 本试卷主要考试内容: 北师大版必修第一册. 必修第二册第一章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知 ,则 是
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 若函数 是奇函数，则 的值可能是
A. B. C. D.
3.
A. B. C. D.
4. " " 是 " " 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 ,则
A. B. C. D.
6. 我们都处于有声世界之中. 音量的单位是分贝( )，对于一个强度为 的声波，音量的计算公式是 . 这里常数 是人耳能听到的声音的最低声波强度，则 时的声音强度 是 时声音强度 的
A. 2 倍 B. 4 倍 C. 10 倍 D. 100 倍
7. 当 时，函数 与 图象的交点个数是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 已知一组数据由 5 个正整数组成, 下列描述中, 能确保这组数据中一定没有出现 8 的是
A. 平均数为 4 , 中位数 3 B. 平均数为 4 , 众数为 4
C. 平均数为 4，方差为 3.6 D. 中位数为 5 , 方差为 3.6
二、选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知角 的终边经过点 ,则
A.
B.
C.
D.
10. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 中心对称
C. 在 上单调递减
D. 当 在 上有 3 个零点时. 的最小值是
11. 函数 的定义域为 ,且 ,当 时, ,则
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上的最大值为
D. 当 时,
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的最小正周期是_____▲_____.
13. 书架上有 6 本不同的数辅书. 其中有 2 本是数学教辅书, 从中任取 2 本, 则没有取到数学教辅书的概率是_____▲_____.
14. 已知 是函数 的两个相邻零点, ,则 _____▲_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
2025 年 5 月 22 日至 5 月 28 日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周、本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩 (单位:分. 得分取正整数. 满分为
100 分)作为样本进行统计。将成绩进行整理后。按 。 [90,100]分为 5 组、得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中 的值。
(2)估计这 100 名学生这次竞赛成绩的中位数；
(3)在这 100 名学生中，从这次竞赛成绩在 [80, 100] 内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取 27 名学生进行调查. 求这 100 名学生这次竞赛成绩在 [90,100] 内被抽取的人数.
16.(15 分)
已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)求 在 上的值域；
(3)求不等式 的解集.
17.(15分)
某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌.铭牌的侧面形状是如图所示的扇形环面(由扇形 抡去扇形 后构成). 已知弧 的长度为 厘米,弧 的长度为 厘米, ,且该铭牌镜面的面积为 900 平方厘米。
(1)若 厘米,求 ，的值；
(2)求该铭牌截面的周长的最小值.
18.(17 分)
已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)求方程 的解集;
(3)当 时,关于 的方程 有 3 个不同实根,求 的取值范围.
19. (17 分)
若函数 对定义域内的每一个值 ,在其定义域内都存在唯一的 ,使得 成立，则称 为“双射奇函数”.
(1)判断函数 是否是定义在 上的“双射奇函数”，并说明理由；
(2)若函数 是定义在 上的“双射奇函数”,求 的最小值；
(3)若函数 是定义在 上的“双射奇函数”. 且存在 ,使得对任意 ,不等式 成立,求 的取值范围.
高一年级 3 月数学学科素养训练 参考答案
1. 因为 ,所以 是第四象限角.
2. 由题意可得 ,当 时, .
3. C .
4. A 由 ,得 ,即 . 当 时, ,此时 . 故 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
5.C 因为 ,所以 ,则 .
6. 由 ,得 ,所以 ,即 时的声音强度 是 时声音强度 的 100 倍.
7. 在同一直角坐标系中画出函数 与 的图象,由图可知函数 与 的图象在 上有 6 个交点.
8.C 对于 A，这组数据为2,3,3,4,8时，满足平均数为 4， 中位数 3,则 不符合题意. 对于 ,这组数据为1,3,4,4, 8 时,满足平均数为 4 ,众数为 4 ,则 不符合题意. 对于 ,假设这组数据的平均数为 4 ,且至少出现 1 个 8,则这组数据的方差 ,则假设不成立,则 符合题意. 对于 ,这组数据为2,5,5,5,8时,满足中位数为 5,方差为3.6,则 不符合题意.
9. BD 由题意可得 ,则 ,故选 BD.
10. ACD 由题意可得 ,则 ,所以 的图象关于直线 对称, 正确.
因为 ,所以 的图象不关于点 中心对称, 错误.
因为 ,所以 ,所以函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减， 正确.
因为 ,所以 ,则 ,解得 , D 正确.
11. ABD 因为 ,所以 是周期为 4 的周期函数,则 . 因为当 时, ,所以 ,所以 正确. 因为 ,所以 的图象关于直线 对称,又 ,所以 的图象关于直线 对称, 正确. 当 时,设 , 所以 ,所以 ,则 在 上的最大值为 2 . 因为 的图象关于直线 2 对称,所以 在 上的最大值为 2, 错误. 当 时, ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 , D 正确.
12. 由题意可得函数 的最小正周期是 .
13. 记 2 本数学教辅书分别为 1,2,其他教辅书分别为3,4,5,6,从中任取 2 本,样本空间 ,共含有 15 个样本点. 事件 表示 “没有取到数学教辅书”,则 ,共有 6 个样本点,故 .
14.4 或 8 设 的最小正周期为 ,则 或 ,即 或 , 解得 或 .
15. 解:(1)由频率分布直方图可知 ，解得 . 3 分
(2)因为 , 5 分
所以这 100 名学生这次竞赛成绩的中位数在 内. 6 分由 , 7 分
解得 ，故这 100 名学生这次竞赛成绩的中位数约为 78 分. 9 分
(3)由图可知这 100 名学生这次竞赛成绩在 内的频率分别为 0.35 和 0.1, 11 分
则这 100 名学生这次竞赛成绩在 内被抽取的人数为 . 13 分
16. 解: (1) 令 , 1 分
解得 , 3 分
则 的单调递减区间为 . 4 分
(2)因为 ，所以 . 5 分
当 ,即 时, 取得最大值,最大值为 ; 7 分
当 ,即 时, 取得最小值,最小值为 . 9 分
故 在 上的值域为 . 10 分
(3) 由 ,即 ,得 , 11 分
则 , 12 分
解得 , 14 分
故不等式 的解集为 . 15 分
17. 解: (1) 因为 ,所以 ,所以 , 2 分
则扇形 的面积 ，扇形 的面积 ， 4 分
故该铭牌截面的面积 . 6 分
因为该铭牌截面的面积为 900 平方厘米,且 厘米,所以 ,解得
22.5 厘米. 8 分
(2)由(1)可知 ，则该铭牌截面的周长 . 10 分
因为该铭牌截面的面积 ,即 . 11 分
因为 ,当且仅当 厘米时,等号成立, 13 分
所以该铭牌截面的周长 厘米,即该铭牌截面的周长的最小值是 120 厘米. 15 分
18. 解: (1) 由图可知 的最小正周期 . 1 分
因为 ,且 ,所以 . 2 分
因为 的图象经过点 ,所以 ,
所以 . 3 分
因为 ,所以 . 4 分
因为 的图象经过点 ,所以 ,解得 . 5 分故 . 6 分
(2)由 ，即 ，得 或 ， 8 分
解得 或 , 9 分
故方程 的解集为 或 . 10 分
(3) 由 ,得 ,解得 或 12 分
由 ,得 ,则 ,且 . 13 分
因为当 时,关于 的方程 有 3 个不同实根,
所以 或 15 分
解得 或 .
故 的取值范围为 . 17 分
19. 解: (1) 因为 ,所以 , 且 , 2 分
所以 ,且 , 3 分
则 不是定义在 上的“双射奇函数”. 4 分
(2)因为 是定义在 上的“双射奇函数”，且 在 上单调递增， 5 分所以 ,即 ,则 , 6 分
故 ,当且仅当 时,等号成立,故 的最小值为 . 7 分
(3)由“双射奇函数”的定义可知 是 上的单调函数， 8 分则 ,
即 ， 9 分
所以 ,解得 或 . 10 分
当 时, 在 上单调,符合题意;
当 时, 在 上不单调,不符合题意.
综上, ,则 . 12 分
存在 ,使得对任意 ,不等式 成立等价于不等式 对任意的 恒成立, 13 分则 ,即 . 14 分由题意可知存在 ,使得不等式 成立, 15 分则 或 , 16 分解得 或 ,即 的取值范围是 . 17 分