2025-2026学年下学期湖北十堰高三数学3月调研（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期湖北十堰高三数学3月调研（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-06 00:00:00 | ||
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文档简介
十堰市 2026 年高三年级 3 月调研考试 数 学
均为必考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
视考试顺利
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3. 非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的卷面整洁。考试结束后, 只交答题卡。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知复数 满足 ,则
A. B. C. D. -2-i
2. 已知单位向量 满足 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
3. 已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 19 B. 25 C. 30 D. 33
5. 已知直线 与圆 交于 两点,则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 冷链物流是指冷蔽冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程. 主要包括初级农产品(如蔬菜、水果、肉禽蛋等)、加工食品(如速冻食品、冰淇淋等)和特殊商品(如药品等). 已知某蔬菜的保鲜时间 (单位:小时)与贮藏温度 (单位:℃)之间满足: (其中 为常数). 若该蔬菜在贮藏温度为 的环境下保鲜时间为 261 小时,在 的环境下保鲜时间为 29 小时,且该蔬菜所需物流时间为 87 小时,则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过
A. 12°C B. 14°C C. 16°C D. 18°C
7. 如图，在正方形 中， 为 的中点，将 沿直线 折起至 处，使得点 在平面 上的射影在直线 上，若三棱锥 外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积为
D.
8. 已知函数 ,存在 ,满足 . 设 ,函数 ,则 在区间 上的最小值为
A. B. C. D. -2cos 1
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ,记一组数据 为 ,则
A. 若 的极差为 9,则
B. 若 的 80% 分位数是 6,则
C. 若 的平均数为 3,则
D. 若 的方差为 6.8,则
10. 已知函数 ,则
A. 为奇函数
B. 3是 的极大值点
C. 曲线 在点 处的切线方程为
D. 若 ,则 在 上存在最大值
11. 已知抛物线 的焦点为 ，点 为 的准线 上一点，过焦点 且斜率大于 0 的直线 与 交于 , 两点 在第一象限 ,与准线 交于 点, 为原点,直线 , 分别交 于 两点,则
A. 若 ,则直线 的斜率为
B. 若过 点的 的切线与 交于 点，则
C. 若 的面积为 ，则
D. 若 ,则直线 的倾斜角为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 的展开式中所有奇数项的系数和为_____.
13. 已知双曲线 的右顶点为 ,点 . 若在 的渐近线上存在点 ,使得 ，则 的离心率的取值范围是_____.
14. 已知等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,其中 ,若 ，且存在 ， ，使得 ，则 _____， _____. (用 表示)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 为边 上一点， ， ，判断 的形状，并说明理由.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱柱 中，四边形 为菱形， ， 为棱 BC 的中点， 平面 ,且 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 为棱 的中点，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)若 ，函数 ，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
18.(本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过 且与 轴垂直的直线交 于 ， 两点.
(1)求 的大小，
(2)若 为 的上顶点，斜率为 的直线 与 交于 , 两点(异于 的上、下顶点)，记直线 DM, DN 的斜率分别为 .
(1)若 ,求 的方程；
(II)若 ，过 作 的垂线，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
19.(本小题满分17分)
某智慧城市在主干道部署了 5 个独立边缘计算节点. 初始时有 2 个节点在线(假设在线的不再宕机), 3 个为宕机(停摆，不能正常工作). 每个月系统随机等概率地巡查 1 个节点:若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为 ；若该节点已在线,则仅进行维护. 用 表示第 个月后在线节点数, 表示其数学期望.
(1)当 时，求 ；
(2)证明: ；
(3)已知每个宕机节点每个月会造成 2 万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第 1 个月开始的 个月内的经济损失的总期望.
十堰市 2026 年高三年级 3 月调研考试 数学参考答案
1. 由 . 得 . 故选 D.
2. 由 ，得 . 结合 ，得 . 所以 . 又 ，所以 与 的夹角为 . 故选 B.
3. 由 . 得 由 ,得 ,所以 ,又 . 所以 . 故选 A.
4.B 法 设 的公差为 ，由 ，得 ，即 ，由 ，得 ，所以 ,所以 ,所以 . 故选 B.
法 设 的公差为 . 由题意. 得 即 解得 . 所以 . 故选 B.
5.C 由题意知所. . 直线 过定点 . 当 时. 最小. 此时 ，即 的最小值为 . 故选 C.
6. 由题意得 两式相除,得 . 所以 . 所以 . 设该弦菜物流过程中的贮藏温度为 。 则 . 所以 . 因为 . 所以 . 即该蓝菜在物流过程中贮藏温度不能超过 16℃. 故选 C.
7. A 记 在平面 上的射影为点 ，则 在 上。连接 . 由 平面 . 可得 . 又 是线段 的中垂线,所以 在 上. 即 . 因为三棱锥 外接球的表面积为 . 所以该球的半径为 ，又 . 所以 ；因为 为 的中点. 为 的中点. 所以 为 的重心,所以 . . 所以三棱锥 的体积 . 故选 A.
8. ,则 . 所以 . 若存在 ,满足 . 则当且仅当 时等号成立。所以 , 解得 ,所以 . 所以 . 令 . 当 时,1 的取值范围是 . 令 . 则 . 当 时 单调递减 1 当 时. 单调递增,所以 . 所以 在 上的最小值为 . 故选 C.
9. 对于 . 因为 . 其极差为 9，所以 . 所以 ，故 正确；对于 . 中共 5 个数。5 . 则 分位数是从小到大排列后第 4 个数和第 5 个数的平均数. 因为 分位数是 6 . 则必有一数小于 6 . 一数大于 6 . 故 ,解得 . 故 B 正确; 对于 C,由 ,解得 . 故 C 错误! 对于 D. 的平均数为 ,所以 . 化简得 . 解得 。或 。故 D 错误. 故选 AB.
10. AC . ,已点 是奇函数,可以 正确: . 易得 在 上单调递增. 在 上单调递成. 所以 在 处取得极小值. 故 错误: . 故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 故 正确,由上知 在 处取得极大值 . 由 ,得 或 。所以若 在 上存在最大值,则 满足 ,故 D 错误. 故选 AC.
11. BCD 由题意知 . 所以 . 故 的方程为 . 设 . 对于 A. 因为 ,由抛物线的定义. 得 . 解得 . 又 . . 所以 . 此时 的斜率为 . 故 A 错误,对于 B. 过 作 的垂线,垂足为 ,由抛物线光学性质得 的反射光线平行于 轴,即直线 与直线 关于 对称,故 . 又 . 得 ,故 . 即 . 故 正确；对于 C，设直线 :的方程为 ，联立 ，当的方程与 的方程。 ，则 ，且 . 易得直线 的方程为 . . 得 . 即 . 同理 . 所以 轴 轴 由抛物线的性质得 ，又 ，即 ,所以 . 故 正确: 由 成立,得 . 由选项 C 知 轴， ， ，故 ，由 C 得， ， ，且 . 故 ,故 . 所以 +2. 又 ,所以 ,解得 (舍),或 ,所以 ,所以 的斜率等于 ，所以 : 的倾斜角为 . 故 正确. 故选 BCD.
12. 121 展开式的通项为 . 当 时, ,其系数和为 .
13. 法 1:双曲线 的右顶点 . 不妨取渐近线方程为 . 设 , 则 . 由 ,得 . 整理得 . 由题意知该关于 的方程有解,所以 . 可得 . 则 . 所以 . 又 , 所以 . 即 的离心率的取值范围是 .
法 2:由 知. 点 在以 为直径的圆 上,由题意知. 的渐近线与 有公共点, 所以 到 的渐近线 的距离满足 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 . 又 . 所以 . 即 的内心串的取值范围为 .
14. 考虑到 . 分册说讨论:
(1)若 ,则
(2)若 ,则 所以 ,
(3)若 ,则 所以 .
综上, .
由 . 得 . 所以 . 又 . 所以 . 此时 . 所以 .
15.(1)解:由 及 . 得 .
由正弦定理,得 . 3 分
所以 . 又 ,所以 . 5 分
(2)证明: 为等边三角形. 6 分
理由如下:
由(1)知 . 因为 . 所以 . 8 分
由 . 及 ，得 .
所以 . 10 分
由余弦定理,得 ,即 , 11 分
所以 ,解得 , 12 分
所以 ,又 . 所以 为等边三角形. 13 分
16.(1)证明，连接 . 因为四边形 为菱形， ，所以 为正三角形。
又 为 的中点,所以 . 1 分
因为 . 所以 .
因为 平面 平面 ,所以 , 3 分
又 . 平面 . 且 . 所以 平面 .
又 平面 : 所以平面 : 上平面 . 5 分
(2)解: 由(1)知 . . ，两两垂直. 以 为原点,直线 . ， ，分别为 轴. 轴. 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 . ,又 . 所以 .
所以 .
. 8 分
设平面 的一个法向量 ,则 即 令 ,解得 ,
所以 . 10 分
设平面 的一个法向量 ,则 即 令 ,解得 ,
所以 . 12 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解:(1)当 时， .
所以 的定义域为 . 且 . 2 分
当 时. 在 上恒成立,所以 在 上单调递减: 3 分
当 时,令 ,得 ; 令 ,得 ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 5 分
(2) 由 得 .
设 ,则 ,
故 . 即 在 上是增函数. 6 分
且当 时, ,当 时, ,
故存在 ,使得 . 即存在 ,亦即 . 8 分
且当 时, ,当 时, ,
所以函数 在 上为减函数. 在 上为增函数,
故 . 又 . 10 分
所以 , 13 分
当 ,即 时取等号,此时 . 14 分
故 . 解得 . 即 的取值范围为 . 15 分
18. 解:(1)设 的坐标为(c. 0). 由题意知 ，所以 .
又 ,所以 , 2 分
将 代入 ,得 ,所以 , 3 分
所以 . 又 . 所以 . 4 分
由椭圆的对称性知 . 5 分
(2)因为 为 的上顶点,所以 ,即 ,所以 . 所以 . 所以 的方程为 .
6 分
(1)若 . 则直线 的方程分别为 .
由 得 . 所以 . 所以 . 所以 . 同理可求得 . 8 分所以直线 的斜率为 . 所以 的方程为 .
即 . 10 分
( II ) 设直线 的方程为 . , ,由 消去 并整理,得
则 .
且 , 12 分
由 . 得
. 15 分
解得 . 满足 ,所以直线 的方程为 . 故 过定点 ,
由四意知点 在以 为直径的圆上,所以当点 为线段 的中点 时, . 为定值。
17 分
19.(1)解:初始状态 . 即 2 个在线、3 个宕机、第 1 个月选中在线节点的概率为 . 此时 选中宕机节点的概率为为 . 其中修复成功的概率为 . 此时 : 修复失败的概率为 . 此时 .
所以 . 2 分
.
所以 .
故当 时. . 4 分
(2)证明:由题意知 .
所以 . 5 分
6 分
7 分
8 分
所以
. 9 分
所以
因为 .
所以 .
所以 . 11 分
(3)解:因为 . 设 .
所以 .
所以 .
所以 是以 为公比的等比数列. 13 分
,
故 .
所以 .
所以 . 15 分
第 个月的期望宕机节点数为 .
何台宕机节点每月损失 2 万元,故第 个月的经济损失的期望为 .
设从第 1 个月开始的 个月的经济损失的总期望为 .
则 (万元). 17 分
均为必考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
视考试顺利
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3. 非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的卷面整洁。考试结束后, 只交答题卡。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知复数 满足 ,则
A. B. C. D. -2-i
2. 已知单位向量 满足 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
3. 已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 19 B. 25 C. 30 D. 33
5. 已知直线 与圆 交于 两点,则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 冷链物流是指冷蔽冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程. 主要包括初级农产品(如蔬菜、水果、肉禽蛋等)、加工食品(如速冻食品、冰淇淋等)和特殊商品(如药品等). 已知某蔬菜的保鲜时间 (单位:小时)与贮藏温度 (单位:℃)之间满足: (其中 为常数). 若该蔬菜在贮藏温度为 的环境下保鲜时间为 261 小时,在 的环境下保鲜时间为 29 小时,且该蔬菜所需物流时间为 87 小时,则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过
A. 12°C B. 14°C C. 16°C D. 18°C
7. 如图，在正方形 中， 为 的中点，将 沿直线 折起至 处，使得点 在平面 上的射影在直线 上，若三棱锥 外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积为
D.
8. 已知函数 ,存在 ,满足 . 设 ,函数 ,则 在区间 上的最小值为
A. B. C. D. -2cos 1
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ,记一组数据 为 ,则
A. 若 的极差为 9,则
B. 若 的 80% 分位数是 6,则
C. 若 的平均数为 3,则
D. 若 的方差为 6.8,则
10. 已知函数 ,则
A. 为奇函数
B. 3是 的极大值点
C. 曲线 在点 处的切线方程为
D. 若 ,则 在 上存在最大值
11. 已知抛物线 的焦点为 ，点 为 的准线 上一点，过焦点 且斜率大于 0 的直线 与 交于 , 两点 在第一象限 ,与准线 交于 点, 为原点,直线 , 分别交 于 两点,则
A. 若 ,则直线 的斜率为
B. 若过 点的 的切线与 交于 点，则
C. 若 的面积为 ，则
D. 若 ,则直线 的倾斜角为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 的展开式中所有奇数项的系数和为_____.
13. 已知双曲线 的右顶点为 ,点 . 若在 的渐近线上存在点 ,使得 ，则 的离心率的取值范围是_____.
14. 已知等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,其中 ,若 ，且存在 ， ，使得 ，则 _____， _____. (用 表示)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 为边 上一点， ， ，判断 的形状，并说明理由.
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱柱 中，四边形 为菱形， ， 为棱 BC 的中点， 平面 ,且 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 为棱 的中点，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)若 ，函数 ，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
18.(本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过 且与 轴垂直的直线交 于 ， 两点.
(1)求 的大小，
(2)若 为 的上顶点，斜率为 的直线 与 交于 , 两点(异于 的上、下顶点)，记直线 DM, DN 的斜率分别为 .
(1)若 ,求 的方程；
(II)若 ，过 作 的垂线，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
19.(本小题满分17分)
某智慧城市在主干道部署了 5 个独立边缘计算节点. 初始时有 2 个节点在线(假设在线的不再宕机), 3 个为宕机(停摆，不能正常工作). 每个月系统随机等概率地巡查 1 个节点:若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为 ；若该节点已在线,则仅进行维护. 用 表示第 个月后在线节点数, 表示其数学期望.
(1)当 时，求 ；
(2)证明: ；
(3)已知每个宕机节点每个月会造成 2 万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第 1 个月开始的 个月内的经济损失的总期望.
十堰市 2026 年高三年级 3 月调研考试 数学参考答案
1. 由 . 得 . 故选 D.
2. 由 ，得 . 结合 ，得 . 所以 . 又 ，所以 与 的夹角为 . 故选 B.
3. 由 . 得 由 ,得 ,所以 ,又 . 所以 . 故选 A.
4.B 法 设 的公差为 ，由 ，得 ，即 ，由 ，得 ，所以 ,所以 ,所以 . 故选 B.
法 设 的公差为 . 由题意. 得 即 解得 . 所以 . 故选 B.
5.C 由题意知所. . 直线 过定点 . 当 时. 最小. 此时 ，即 的最小值为 . 故选 C.
6. 由题意得 两式相除,得 . 所以 . 所以 . 设该弦菜物流过程中的贮藏温度为 。 则 . 所以 . 因为 . 所以 . 即该蓝菜在物流过程中贮藏温度不能超过 16℃. 故选 C.
7. A 记 在平面 上的射影为点 ，则 在 上。连接 . 由 平面 . 可得 . 又 是线段 的中垂线,所以 在 上. 即 . 因为三棱锥 外接球的表面积为 . 所以该球的半径为 ，又 . 所以 ；因为 为 的中点. 为 的中点. 所以 为 的重心,所以 . . 所以三棱锥 的体积 . 故选 A.
8. ,则 . 所以 . 若存在 ,满足 . 则当且仅当 时等号成立。所以 , 解得 ,所以 . 所以 . 令 . 当 时,1 的取值范围是 . 令 . 则 . 当 时 单调递减 1 当 时. 单调递增,所以 . 所以 在 上的最小值为 . 故选 C.
9. 对于 . 因为 . 其极差为 9，所以 . 所以 ，故 正确；对于 . 中共 5 个数。5 . 则 分位数是从小到大排列后第 4 个数和第 5 个数的平均数. 因为 分位数是 6 . 则必有一数小于 6 . 一数大于 6 . 故 ,解得 . 故 B 正确; 对于 C,由 ,解得 . 故 C 错误! 对于 D. 的平均数为 ,所以 . 化简得 . 解得 。或 。故 D 错误. 故选 AB.
10. AC . ,已点 是奇函数,可以 正确: . 易得 在 上单调递增. 在 上单调递成. 所以 在 处取得极小值. 故 错误: . 故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 故 正确,由上知 在 处取得极大值 . 由 ,得 或 。所以若 在 上存在最大值,则 满足 ,故 D 错误. 故选 AC.
11. BCD 由题意知 . 所以 . 故 的方程为 . 设 . 对于 A. 因为 ,由抛物线的定义. 得 . 解得 . 又 . . 所以 . 此时 的斜率为 . 故 A 错误,对于 B. 过 作 的垂线,垂足为 ,由抛物线光学性质得 的反射光线平行于 轴,即直线 与直线 关于 对称,故 . 又 . 得 ,故 . 即 . 故 正确；对于 C，设直线 :的方程为 ，联立 ，当的方程与 的方程。 ，则 ，且 . 易得直线 的方程为 . . 得 . 即 . 同理 . 所以 轴 轴 由抛物线的性质得 ，又 ，即 ,所以 . 故 正确: 由 成立,得 . 由选项 C 知 轴， ， ，故 ，由 C 得， ， ，且 . 故 ,故 . 所以 +2. 又 ,所以 ,解得 (舍),或 ,所以 ,所以 的斜率等于 ，所以 : 的倾斜角为 . 故 正确. 故选 BCD.
12. 121 展开式的通项为 . 当 时, ,其系数和为 .
13. 法 1:双曲线 的右顶点 . 不妨取渐近线方程为 . 设 , 则 . 由 ,得 . 整理得 . 由题意知该关于 的方程有解,所以 . 可得 . 则 . 所以 . 又 , 所以 . 即 的离心率的取值范围是 .
法 2:由 知. 点 在以 为直径的圆 上,由题意知. 的渐近线与 有公共点, 所以 到 的渐近线 的距离满足 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 . 又 . 所以 . 即 的内心串的取值范围为 .
14. 考虑到 . 分册说讨论:
(1)若 ,则
(2)若 ,则 所以 ,
(3)若 ,则 所以 .
综上, .
由 . 得 . 所以 . 又 . 所以 . 此时 . 所以 .
15.(1)解:由 及 . 得 .
由正弦定理,得 . 3 分
所以 . 又 ,所以 . 5 分
(2)证明: 为等边三角形. 6 分
理由如下:
由(1)知 . 因为 . 所以 . 8 分
由 . 及 ，得 .
所以 . 10 分
由余弦定理,得 ,即 , 11 分
所以 ,解得 , 12 分
所以 ,又 . 所以 为等边三角形. 13 分
16.(1)证明，连接 . 因为四边形 为菱形， ，所以 为正三角形。
又 为 的中点,所以 . 1 分
因为 . 所以 .
因为 平面 平面 ,所以 , 3 分
又 . 平面 . 且 . 所以 平面 .
又 平面 : 所以平面 : 上平面 . 5 分
(2)解: 由(1)知 . . ，两两垂直. 以 为原点,直线 . ， ，分别为 轴. 轴. 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 . ,又 . 所以 .
所以 .
. 8 分
设平面 的一个法向量 ,则 即 令 ,解得 ,
所以 . 10 分
设平面 的一个法向量 ,则 即 令 ,解得 ,
所以 . 12 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 .
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解:(1)当 时， .
所以 的定义域为 . 且 . 2 分
当 时. 在 上恒成立,所以 在 上单调递减: 3 分
当 时,令 ,得 ; 令 ,得 ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 5 分
(2) 由 得 .
设 ,则 ,
故 . 即 在 上是增函数. 6 分
且当 时, ,当 时, ,
故存在 ,使得 . 即存在 ,亦即 . 8 分
且当 时, ,当 时, ,
所以函数 在 上为减函数. 在 上为增函数,
故 . 又 . 10 分
所以 , 13 分
当 ,即 时取等号,此时 . 14 分
故 . 解得 . 即 的取值范围为 . 15 分
18. 解:(1)设 的坐标为(c. 0). 由题意知 ，所以 .
又 ,所以 , 2 分
将 代入 ,得 ,所以 , 3 分
所以 . 又 . 所以 . 4 分
由椭圆的对称性知 . 5 分
(2)因为 为 的上顶点,所以 ,即 ,所以 . 所以 . 所以 的方程为 .
6 分
(1)若 . 则直线 的方程分别为 .
由 得 . 所以 . 所以 . 所以 . 同理可求得 . 8 分所以直线 的斜率为 . 所以 的方程为 .
即 . 10 分
( II ) 设直线 的方程为 . , ,由 消去 并整理,得
则 .
且 , 12 分
由 . 得
. 15 分
解得 . 满足 ,所以直线 的方程为 . 故 过定点 ,
由四意知点 在以 为直径的圆上,所以当点 为线段 的中点 时, . 为定值。
17 分
19.(1)解:初始状态 . 即 2 个在线、3 个宕机、第 1 个月选中在线节点的概率为 . 此时 选中宕机节点的概率为为 . 其中修复成功的概率为 . 此时 : 修复失败的概率为 . 此时 .
所以 . 2 分
.
所以 .
故当 时. . 4 分
(2)证明:由题意知 .
所以 . 5 分
6 分
7 分
8 分
所以
. 9 分
所以
因为 .
所以 .
所以 . 11 分
(3)解:因为 . 设 .
所以 .
所以 .
所以 是以 为公比的等比数列. 13 分
,
故 .
所以 .
所以 . 15 分
第 个月的期望宕机节点数为 .
何台宕机节点每月损失 2 万元,故第 个月的经济损失的期望为 .
设从第 1 个月开始的 个月的经济损失的总期望为 .
则 (万元). 17 分
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