2025-2026学年下学期河北张家口高三数学3月二模（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期河北张家口高三数学3月二模（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 83.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-06 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年全国高考冲刺压轴卷(二) 数学
注意事项:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 在复平面内的对应点为
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 . 若圆柱的一个底面的圆周与正方形 的四边都相切,另一个底面圆周与四棱锥 的四条侧棱都相交,则该圆柱的体积为
A. B.
C. D.
6. 已知 ,若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知公比为整数的等比数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. B.
C. D.
8. 若函数 在区间 上单调递增,且 ,则 的取值是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 从工厂生产的零件中随机抽出 100 个，测量其直径 (单位: )，将所得数据分为 5 组: 并整理得到频率分布
直方图如图，记这 100 个零件的直径的中位数为 ，平均数为 ，极差为 ，众数为 ，则
A.
B.
C.
D.
10. 设函数 . 若存在 ,使 成立,则 的取值可以是 (注: )
A. 1 B. 4 C. 8 D. 12
11. 已知抛物线 的准线方程为 是 上一点，点 与原点 不重合,过点 作准线的垂线,垂足为 ,直线 与 交于另一点 ,则
A. 的焦点为 B. 是线段 的中点
C. 直线 过定点 D. 存在点 ,使 平分
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ( 为常数),则 _____.
13. 双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，渐近线分别为 ， ，点 在第一象限内且在 上,若 ,则该双曲线的离心率为_____.
14. 有 5 道题, 5 名女生中有 2 人每题都不能答对, 其余 3 人每题都能答对, 3 名男生每人对每题答对的概率均为 . 现从上述 5 名女生中选择 2 名女生和 3 名男生答题，每人答一题，答对得 2 分，答错得 0 分，记得分之和为 ，则 的数学期望为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的最小值.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点， 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)设 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 时，函数 有 3 个零点，求实数 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 经过点 ，离心率为 . 是坐标原点，平行于 的直线 在 轴上的截距为 ,且交 于 两点.
(1)求 的方程；
(2)求 的取值范围；
(3)求证:直线 与 轴始终围成一个等腰三角形.
19. (本小题满分 17 分)
设数列 中, .
(1)求证:数列 是等差数列，并写出 的通项公式；
(2)在集合 中，任取一个数组 ，求该数组满足 成等差数列的概率;
(3)在 中抽出一个项数为无穷多项，公比为 的等比数列 ，其中 ，记数列 的前 项和为 ,若 ,求 的值.
参考答案 数学(二)
1. A 因为 ,所以 . 故选 A.
2. C 由 得 ，所以 ，所以 在复平面内的对应点为 . 故选 C.
3. 由 ，得 ，设 与 的夹角为 ，则 ,又 ,所以 . 故选 D.
4. B 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,所以 . 故选 B.
5.D 设圆柱的上底面圆周与 分别交于点 中点为 交 于点 ,则由 ， 得 ，由圆 与正方形 相切 相切 相交 ，又 ， ，所以 ，圆柱的高 ，所以圆柱的体积为 . 故选 D.
6. 由题意知 在 上单调递增,所以 ; 又 在 上单调递增,所以 ,所以 ,由 在 上单调递增知 ,所以 的取值范围是 . 故选 B.
7. D 设 的公比为 ,由 得 ,所以 ,当 时, ,解得 或 ,又 是整数,所以 ; 当 时, ,解得 ,此时 不是整数,所以 , AB错误; ,所以 C 错误, 正确. 故选 D.
8. 在 上单调递增,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 , 当 时, . 故选 C.
9. ABC 将这 100 个数从小到大排,第 31 个数大于或等于 5.18,第 65 个数小于 5.28,第 50 与第 51 个数之和为 ,所以 正确; 若每个区间中的数都取最大值,平均数 正确；极差是最大数减去最小的数,所以 正确; 众数是指这 100 个数中,相等的数的个数最多的那个,如[5.28,5.38) 中最多有 30 个数相等，[5.18.5.28) 中最多有 35 个数相等，则众数 ，D错误. 故选 ABC.
10. BC 显然 在 上单调递增,对于存在 ,使 成立,则方程 在 上有解. 即 在 上有解. 记 ,则 ,当 时, ,所以 在 上单调递增, ,所以 . 故选 BC.
11. AC 由 的准线方程为 ，知 ，解得 ，焦点 ，A 正确；设点 的坐标为 ,则 的坐标为 ,直线 的方程为 ,与 联立解得点 的坐标为 ,仅当 时, 是 的中点, B错误; 直线 的方程为 ,当 时, ,所以直线 过定点 正确; 若存在点 ,使 平分 , 则 ,所以 ,又 ,所以 ,由 不是原点知, , D 错误. 故选 AC.
12. -2 由 得 ,所以 .
13. 设 ,渐近线方程分别为 ,设 . 由 得 ,因为点 在直线 上,于是解得 点坐标为 ,因为 ,所以 . ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,得 .
14. 的可能取值为 , ,所以 的数学期望 .
15. 解:(1)由 及正弦定理得 ， 2 分又在 中, ,所以 ,
由正弦定理得 , 4 分
因为 . 所以由余弦定理得 ,
所以 ,所以 , 6 分
由 解得 7 分
所以 的面积为 . 8 分
(2)由(1)知 ,
所以 10 分
,
当且仅当 时,等号成立, 12 分
故 的最小值为 . 13 分
16.(1)证明:取 中点 ，连接 ， ，
因为 是 中点,所以 , 1 分
因为 是 的中点,棱柱中 ,所以 , 2 分
所以四边形 是平行四边形,所以 , 4 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 5 分
(2)解:取 中点 ，连接 ，则 ，由 平面 知 平面 ， 6 分因为 , 是 中点,所以 ,所以 两两垂直. 7 分
如图，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
因为 ，
所以 ,
. 9 分
设平面 的法向量为 ,
因为 ,所以 ,
取 ,得 . 11 分
同样可求得平面 的一个法向量 , 13 分设平面 与平面 所成二面角为 ,
则 . 14 分
故 . 15 分
17. 解: (1) 因为 在 上为增函数,所以 在 上恒成立. 2 分
若 ,则 在 上恒成立, 在 上单调递增成立. 3 分
若 ，由 对 恒成立知 ， 4 分
在 上恒成立得 成立，所以 . 6 分
综上,实数 的取值范围是 . 7 分
( 2 )若 时，由 得 ， 8 分
设 ,
则 ,
由 得 或 ,由 得 ,由 得 或 ,
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 与 , 11 分
又 , 13 分
又 , 14 分
所以由 与 的图象可得函数 有 3 个零点时, 的取值范围是 .
15 分
18.(1)解:设 的焦距为 ，则 ，
因为 ,所以 , 2 分
由
解得 4 分
所以 的方程为 . 5 分
(2)解:因为 且在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 . 6 分由 消去 整理得 . 8 分
因为直线 交椭圆于 两点,所以 ,所以 , 9 分所以 的取值范围为 。 10 分
(3)证明:设直线 的斜率分别为 ，
设 ,则 .
由 ,得 . 12 分
又 ,
代入 ,
得 16 分
所以 ,从而直线 与 轴围成一个等腰三角形. 17 分
19.(1)证明:由 去分母得，
2 分
所以 ,
又 ,所以 是首项为 3,公差为 1 的等差数列, 3 分
4 分
(2)解:令 成等差数列，其中 ，
因为 ,所以 ,且 , 5 分所以 是整数,所以 是整数,且 ,
由 知, ,所以要 ,只考虑 , 5 的情况, 6 分
时, 满足条件; 7 分
时, ,此时满足 ; 8 分
时, ,满足 的 . 9 分
6 B
所以在集合 中,任取一个数组 ,使得 成等差数列的个数为 个,
所以概率 . 10 分
(3)解:因为公比为 的等比数列 中， ，所以 ，
因为等差数列 中, ,所以 , 11 分
因为 是从 中抽出的公比大于 1,首项为 的等比数列,所以 与 都是递增数列,设 ,则 ,且 是整数,则 ,
由题意知 是整数，所以 是 3 的倍数，所以 是整数，显然 的取值可为 . 12 分
令 ,则 ,
所以 .
所以 ,
所以 , 13 分
所以 ,
因为 是大于 1 的正整数,所以 增大时, 也增大, 是正整数,
又 ，所以 随 增大而增大，所以 缩 增大而增大； 14 分
时, ,
适合; 15 分
时, ,
适合; 16 分
时, ,
,所以 , ,所以 不适合.
所以 或 3 . 17 分
注意事项:
1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 在复平面内的对应点为
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 已知四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 . 若圆柱的一个底面的圆周与正方形 的四边都相切,另一个底面圆周与四棱锥 的四条侧棱都相交,则该圆柱的体积为
A. B.
C. D.
6. 已知 ,若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知公比为整数的等比数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. B.
C. D.
8. 若函数 在区间 上单调递增,且 ,则 的取值是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 从工厂生产的零件中随机抽出 100 个，测量其直径 (单位: )，将所得数据分为 5 组: 并整理得到频率分布
直方图如图，记这 100 个零件的直径的中位数为 ，平均数为 ，极差为 ，众数为 ，则
A.
B.
C.
D.
10. 设函数 . 若存在 ,使 成立,则 的取值可以是 (注: )
A. 1 B. 4 C. 8 D. 12
11. 已知抛物线 的准线方程为 是 上一点，点 与原点 不重合,过点 作准线的垂线,垂足为 ,直线 与 交于另一点 ,则
A. 的焦点为 B. 是线段 的中点
C. 直线 过定点 D. 存在点 ,使 平分
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ( 为常数),则 _____.
13. 双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，渐近线分别为 ， ，点 在第一象限内且在 上,若 ,则该双曲线的离心率为_____.
14. 有 5 道题, 5 名女生中有 2 人每题都不能答对, 其余 3 人每题都能答对, 3 名男生每人对每题答对的概率均为 . 现从上述 5 名女生中选择 2 名女生和 3 名男生答题，每人答一题，答对得 2 分，答错得 0 分，记得分之和为 ，则 的数学期望为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的面积；
(2)求 的最小值.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点， 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)设 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 时，函数 有 3 个零点，求实数 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 经过点 ，离心率为 . 是坐标原点，平行于 的直线 在 轴上的截距为 ,且交 于 两点.
(1)求 的方程；
(2)求 的取值范围；
(3)求证:直线 与 轴始终围成一个等腰三角形.
19. (本小题满分 17 分)
设数列 中, .
(1)求证:数列 是等差数列，并写出 的通项公式；
(2)在集合 中，任取一个数组 ，求该数组满足 成等差数列的概率;
(3)在 中抽出一个项数为无穷多项，公比为 的等比数列 ，其中 ，记数列 的前 项和为 ,若 ,求 的值.
参考答案 数学(二)
1. A 因为 ,所以 . 故选 A.
2. C 由 得 ，所以 ，所以 在复平面内的对应点为 . 故选 C.
3. 由 ，得 ，设 与 的夹角为 ，则 ,又 ,所以 . 故选 D.
4. B 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,所以 . 故选 B.
5.D 设圆柱的上底面圆周与 分别交于点 中点为 交 于点 ,则由 ， 得 ，由圆 与正方形 相切 相切 相交 ，又 ， ，所以 ，圆柱的高 ，所以圆柱的体积为 . 故选 D.
6. 由题意知 在 上单调递增,所以 ; 又 在 上单调递增,所以 ,所以 ,由 在 上单调递增知 ,所以 的取值范围是 . 故选 B.
7. D 设 的公比为 ,由 得 ,所以 ,当 时, ,解得 或 ,又 是整数,所以 ; 当 时, ,解得 ,此时 不是整数,所以 , AB错误; ,所以 C 错误, 正确. 故选 D.
8. 在 上单调递增,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 , 当 时, . 故选 C.
9. ABC 将这 100 个数从小到大排,第 31 个数大于或等于 5.18,第 65 个数小于 5.28,第 50 与第 51 个数之和为 ,所以 正确; 若每个区间中的数都取最大值,平均数 正确；极差是最大数减去最小的数,所以 正确; 众数是指这 100 个数中,相等的数的个数最多的那个,如[5.28,5.38) 中最多有 30 个数相等，[5.18.5.28) 中最多有 35 个数相等，则众数 ，D错误. 故选 ABC.
10. BC 显然 在 上单调递增,对于存在 ,使 成立,则方程 在 上有解. 即 在 上有解. 记 ,则 ,当 时, ,所以 在 上单调递增, ,所以 . 故选 BC.
11. AC 由 的准线方程为 ，知 ，解得 ，焦点 ，A 正确；设点 的坐标为 ,则 的坐标为 ,直线 的方程为 ,与 联立解得点 的坐标为 ,仅当 时, 是 的中点, B错误; 直线 的方程为 ,当 时, ,所以直线 过定点 正确; 若存在点 ,使 平分 , 则 ,所以 ,又 ,所以 ,由 不是原点知, , D 错误. 故选 AC.
12. -2 由 得 ,所以 .
13. 设 ,渐近线方程分别为 ,设 . 由 得 ,因为点 在直线 上,于是解得 点坐标为 ,因为 ,所以 . ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,得 .
14. 的可能取值为 , ,所以 的数学期望 .
15. 解:(1)由 及正弦定理得 ， 2 分又在 中, ,所以 ,
由正弦定理得 , 4 分
因为 . 所以由余弦定理得 ,
所以 ,所以 , 6 分
由 解得 7 分
所以 的面积为 . 8 分
(2)由(1)知 ,
所以 10 分
,
当且仅当 时,等号成立, 12 分
故 的最小值为 . 13 分
16.(1)证明:取 中点 ，连接 ， ，
因为 是 中点,所以 , 1 分
因为 是 的中点,棱柱中 ,所以 , 2 分
所以四边形 是平行四边形,所以 , 4 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 5 分
(2)解:取 中点 ，连接 ，则 ，由 平面 知 平面 ， 6 分因为 , 是 中点,所以 ,所以 两两垂直. 7 分
如图，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
因为 ，
所以 ,
. 9 分
设平面 的法向量为 ,
因为 ,所以 ,
取 ,得 . 11 分
同样可求得平面 的一个法向量 , 13 分设平面 与平面 所成二面角为 ,
则 . 14 分
故 . 15 分
17. 解: (1) 因为 在 上为增函数,所以 在 上恒成立. 2 分
若 ,则 在 上恒成立, 在 上单调递增成立. 3 分
若 ，由 对 恒成立知 ， 4 分
在 上恒成立得 成立，所以 . 6 分
综上,实数 的取值范围是 . 7 分
( 2 )若 时，由 得 ， 8 分
设 ,
则 ,
由 得 或 ,由 得 ,由 得 或 ,
所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 与 , 11 分
又 , 13 分
又 , 14 分
所以由 与 的图象可得函数 有 3 个零点时, 的取值范围是 .
15 分
18.(1)解:设 的焦距为 ，则 ，
因为 ,所以 , 2 分
由
解得 4 分
所以 的方程为 . 5 分
(2)解:因为 且在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 . 6 分由 消去 整理得 . 8 分
因为直线 交椭圆于 两点,所以 ,所以 , 9 分所以 的取值范围为 。 10 分
(3)证明:设直线 的斜率分别为 ，
设 ,则 .
由 ,得 . 12 分
又 ,
代入 ,
得 16 分
所以 ,从而直线 与 轴围成一个等腰三角形. 17 分
19.(1)证明:由 去分母得，
2 分
所以 ,
又 ,所以 是首项为 3,公差为 1 的等差数列, 3 分
4 分
(2)解:令 成等差数列，其中 ，
因为 ,所以 ,且 , 5 分所以 是整数,所以 是整数,且 ,
由 知, ,所以要 ,只考虑 , 5 的情况, 6 分
时, 满足条件; 7 分
时, ,此时满足 ; 8 分
时, ,满足 的 . 9 分
6 B
所以在集合 中,任取一个数组 ,使得 成等差数列的个数为 个,
所以概率 . 10 分
(3)解:因为公比为 的等比数列 中， ，所以 ，
因为等差数列 中, ,所以 , 11 分
因为 是从 中抽出的公比大于 1,首项为 的等比数列,所以 与 都是递增数列,设 ,则 ,且 是整数,则 ,
由题意知 是整数，所以 是 3 的倍数，所以 是整数，显然 的取值可为 . 12 分
令 ,则 ,
所以 .
所以 ,
所以 , 13 分
所以 ,
因为 是大于 1 的正整数,所以 增大时, 也增大, 是正整数,
又 ，所以 随 增大而增大，所以 缩 增大而增大； 14 分
时, ,
适合; 15 分
时, ,
适合; 16 分
时, ,
,所以 , ,所以 不适合.
所以 或 3 . 17 分
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