2025-2026学年下学期河南百师联盟高二数学3月底素养测评一（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期河南百师联盟高二数学3月底素养测评一（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 256.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-06 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 学年高二下学期素养测评(一) 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟,满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知函数 ,则
A. 0 B. C. D.
2. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
3. 若直线 与 的交点在第二象限,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
4. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车.现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有
A. 20 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 5 种
5.有 6 位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3 人.若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法有
A. 90 种 B. 120 种 C. 270 种 D. 540 种
6. 已知等比数列 的首项为 1,前 项和为 ,若 ,则
A. 1 或 2 B. 1 或 4 C. 2 或 4 D. 4
7. 已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 交于 , 两点. 若直线 与直线 的斜率之积为 ,则
A. 2 B. 3
C. D. 4
8. 已知三次函数 ,若不等式 的解集为 ,则实数 的值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 函数 的导函数 的部分图象如图，则下列说法正确的有
A. 函数 在区间 上单调递减
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 在 处取得极小值
D. 函数 在 处取得极大值
10. 已知数列 的首项 ,且 ,则下列结论正确的有
A. B. 数列 是递增数列
C. 数列 是等比数列 D.
11. 已知点 分别为双曲线 的左、右焦点,点 为 左支上一动点,则下列说法正确的有
A. 双曲线 与双曲线 有相同的焦点
B. 若 ,则 的周长为
C. 若 ,则 的面积为
D. 若 为圆 上一点,则 的最大值为 7
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知直线 与曲线 在 处的切线垂直，则 _____.
13.小李从网上选了 4 道不同的 A 型题和 2 道不同的 B 型题, 现将这 6 道题组成一份练习题. 要求 B 型题不相邻且前 3 道题中至少有 1 道 B 型题, 则 6 道题不同的安排顺序有_____种.
14. 已知等差数列 的公差 ,前 项和为 . 若 成等比数列,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知数列 满足 .
(1)若数列 是等差数列，求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，证明:数列 是等比数列.
16.(15 分)已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17.(15 分) 已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性.
(2)是否存在 ，使得 为函数 的极值点 若存在，求 满足的条件；若不存在，请说明理由.
18.(17 分)如图，正方体 的棱长为_____。 个分别是棱 ， 上的动点 (包含端点),且 .
(1)证明: ;
(2)当三棱锥 的体积最大时,求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
19.(17 分) 已知 的两个顶点 的坐标分别为 ,且边 所在直线的斜率之积为 .
(1)求顶点 的轨迹方程；
(2)已知过点 的直线 与顶点 的轨迹相交于 ， 两点.
①若直线 的斜率为 ，求 的面积；
②若直线 与 相交于点 ，求 的取值范围.
2025-2026 学年高二下学期素养测评(一) 数学参考答案及评分意见
1.C因为 ,所以 ,所以 . 故选 C.
2.C因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆,所以 解得 ,即实数 的取值范围为 . 故选 C.
3.D由题意得 . 解方程组 得 因为直线 与 的交点在第二象限,所以 解得 ,即实数 的取值范围是 . 故选 D.
4.C第一步,为大客车选司机.从甲、乙两位司机中选 1 人,有 2 种选法.第二步,为小客车选司机.从剩下的四位司机中选 1 人，有 4 种选法. 由分步乘法计数原理，得不同的安排方案有 种，故选 C.
5.A第一步,安排第 1 列.从 6 人中选 2 人,把矮的放前排、高的放后排,有 种安排方法. 第二步,安排第 2 列.从剩下的 4 人中选 2 人,把矮的放前排、高的放后排,有 种安排方法. 第三步,安排第 3 列.最后剩下的 2 人,把矮的放前排、高的放后排,有 种安排方法. 由分步乘法计数原理,得不同的站法有 种. 故选 A.
6.B设等比数列 的公比为 . 当 时,等比数列 的前 项和 ,
所以 ,满足 . 此时 .
当 时,等比数列 的前 项和 ,所以 ,
整理得 ,解得 (舍去) 或 ,所以 .
综上, 或 . 故选 B.
7.D由圆 ,得圆心 .
圆 和抛物线 都关于 轴对称,则设 .
由 ,得 .
因为点 在圆 上,所以 ,即 ,化简得 .
因为 ,解得 ,所以 . 因为点 在抛物线 上,所以 ,解得 ,
所以 . 故选 D.
8.C因为 ,所以 .
解 ,得 或 ,解 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时,函数 取得极大值,为 ,即当 时, .
当 时,函数 取得极小值,为 .
当 时,解方程 ,即 ,得 ,即 .
所以当 时, ,当 时, ,
综上,不等式为 ,其解集为 ,即 ,故选 C.
9.ACD由导函数 的图象知,当 时, ,所以函数 在区间 上单调递减,故 A 正确.
由导函数 的图象知,函数 在区间 上先单调递增再单调递减,故 B 错误.
由导函数 的图象知,当 时, ,当 时, ,
所以函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以函数 在 处取得极小值,故 正确.
由导函数 的图象知,当 时, ,当 时, ,所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,所以函数 在 处取得极大值,故 D 正确.
故选 ACD.
10.BC因为 ,
所以 .
又因为 ,所以数列 是首项、公比均为 3 的等比数列,
所以 ,所以 . 故 正确, 错误.
,故 A 错误.
因为 ,所以 ,所以数列 是递增数列,故 B 正确. 故选 BC.
11.BD双曲线 中, ,所以 ;
双曲线 中, ,所以两焦点的坐标分别为 ,故 A 错误.
由题意知 ,由双曲线的定义得 ,设 ,则 . 因为 , ,所以 ,解得 (负值舍去),所以 ,则
3,所以 的周长为 ,故 B 正确. 由双曲线的定义得 ,又 ,所以 .
由题意知 ,所以 ,
所以 ,所以 的面积 , 故 C 错误. 圆 的圆心为 ,半径为 1,点 即点 ,所以 ,所以 ,当且仅当 为线段 的延长线与圆 的交点时,等号成立,所以 的最大值为 7,故 D 正确. 故选 BD.
12. 因为 ,所以 ,所以 ,即曲线 在 -2 处切线的斜率为 13. 因为直线 与切线垂直,所以 .
13.432第一步,排 4 道 A 型题.4 道 A 型题全排列,有 种安排顺序.
第二步，排 2 道 B 型题. 排好后的 A 型题会产生 5 个空位 (包括两端),将 2 道 B 型题插入空位，有 种安排顺序. 由分步乘法计数原理，得 B 型题不相邻的安排顺序有 种.
第三步,排除不符合要求的情况. 前 3 道题都是 型题的情况,即 2 道 型题在第 4 题和第 6 题的位置: 4 道 型题全排列,有 种安排顺序; 2 道 B 型题全排列,有 种安排顺序.
所以不符合要求的安排顺序有 种. 所以不同的安排顺序有 种.
14.16由题意得, ,所以 .
因为 成等比数列,所以 ,即 ,化简得 .
因为 ,所以 ,所以 .
15.(1)解:因为 ，所以 . 2 分
因为数列 是等差数列,所以公差 . 4 分
所以 . 5 分
因为 ,符合题设条件,
所以数列 的通项公式为 . 7 分
(2)证明:因为 ，
所以 . 10 分由(1)知， ， ，所以 ，
所以数列 是首项为 4,公比为 2 的等比数列. 13 分
16.(1)证明:因为 ，
所以当 时, ,即 ,解得 . 2 分
当 时,由 ,得 ,
两式相减,得 ,
化简得 ,所以 ,
所以 . 5 分
因为 ,所以数列 是首项和公比均为 的等比数列. 7 分
(2)解:由(1)知 ，
所以 , 9 分
所以 ①,
②. 11 分
①-②，得
13 分
所以 . 15 分
17. 解: (1) 当 时, ,
则 . 2 分
记 ,则 在 上恒成立,
所以函数 在 上单调递增. 4 分
所以当 时, ,
所以 ,所以函数 在 上单调递增. 6 分
(2)不存在 ， ，使得 为函数 的极值点. 7 分
理由如下:
因为 ,
当 时, 不在函数 的定义域内,所以 . 8 分
当 时,若 为函数 的极值点,则 .
因为 ,所以 ,即 ,
所以 . 11 分
令 ,则 ,
当 时, ,函数 单调递减;
当 时, ,函数 单调递增.
所以 . 13 分
因为 ,所以 恒成立,
所以函数 在 上单调递增,故 不是极值点.
综上,不存在 ,使得 为函数 的极值点. 15 分
18. 解: 以 为坐标原点, 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ,则 , . 3 分
(1)证明: 因为 ,
所以 ,
所以 ,即 . 6 分
(2)解:三棱锥 的体积即三棱锥 的体积,此时 .
因为 ，
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以当三棱锥 的体积最大时, . 8 分
此时 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,所以 . 10 分因为平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 12 分
(3)解:设平面 的法向量为 ,则
因为 ,所以
令 ,则 ,所以 . 14 分
设直线 和平面 所成的角为 ,则 .
因为 ,
所以 ,
解得 或 (舍去), 16 分
所以 . 17 分
19. 解: (1) 由题意设点 ,则 , 2 分整理得 ,
所以顶点 的轨迹方程为 . 4 分
(2)由题意知,直线 与 轴不重合,设 . 5 分
①因为直线 的斜率为 ，直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即: .
由 消去 ,整理得 .
因为 ,所以 . 7 分
所以 .
因为点 到直线 的距离 ,
所以 的面积 . 10 分
②由题意，设直线 的方程为 .
由 消去 ,整理得 .
因为 ,所以 . 12 分方法一:因为点 在顶点 的轨迹上，所以直线 ， 的斜率之积为 .
因为直线 的斜率 ,所以直线 的斜率 ,
所以直线 的方程为 . ①
因为直线 的斜率 ,所以直线 的方程为 . ②
由①②得 ,
整理得
,
解得 . 15 分
又因为点 和点 的纵坐标均不为 0,
所以直线 与 的交点 的纵坐标不为 0,
所以点 的轨迹方程为 .
因为 ,所以 ,即 的取值范围是 . 17 分
方法二: 因为直线 的斜率 ,所以直线 的方程为 . ①
因为直线 的斜率 ,所以直线 的方程为 . ②
由①②得 ,
整理得
解得 . 15 分
又因为点 和点 的纵坐标均不为 0,
所以直线 与 的交点 的纵坐标不为 0,
所以点 的轨迹方程为 .
因为 ,所以 ,即 的取值范围是 . 17 分
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟,满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知函数 ,则
A. 0 B. C. D.
2. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
3. 若直线 与 的交点在第二象限,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
4. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位司机中，甲、乙既能开大客车也能开小客车，丙、丁、戊只能开小客车.现从这五位司机中选两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，则不同的安排方案有
A. 20 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 5 种
5.有 6 位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排 3 人.若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法有
A. 90 种 B. 120 种 C. 270 种 D. 540 种
6. 已知等比数列 的首项为 1,前 项和为 ,若 ,则
A. 1 或 2 B. 1 或 4 C. 2 或 4 D. 4
7. 已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 交于 , 两点. 若直线 与直线 的斜率之积为 ,则
A. 2 B. 3
C. D. 4
8. 已知三次函数 ,若不等式 的解集为 ,则实数 的值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 函数 的导函数 的部分图象如图，则下列说法正确的有
A. 函数 在区间 上单调递减
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 函数 在 处取得极小值
D. 函数 在 处取得极大值
10. 已知数列 的首项 ,且 ,则下列结论正确的有
A. B. 数列 是递增数列
C. 数列 是等比数列 D.
11. 已知点 分别为双曲线 的左、右焦点,点 为 左支上一动点,则下列说法正确的有
A. 双曲线 与双曲线 有相同的焦点
B. 若 ,则 的周长为
C. 若 ,则 的面积为
D. 若 为圆 上一点,则 的最大值为 7
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知直线 与曲线 在 处的切线垂直，则 _____.
13.小李从网上选了 4 道不同的 A 型题和 2 道不同的 B 型题, 现将这 6 道题组成一份练习题. 要求 B 型题不相邻且前 3 道题中至少有 1 道 B 型题, 则 6 道题不同的安排顺序有_____种.
14. 已知等差数列 的公差 ,前 项和为 . 若 成等比数列,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知数列 满足 .
(1)若数列 是等差数列，求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，证明:数列 是等比数列.
16.(15 分)已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17.(15 分) 已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性.
(2)是否存在 ，使得 为函数 的极值点 若存在，求 满足的条件；若不存在，请说明理由.
18.(17 分)如图，正方体 的棱长为_____。 个分别是棱 ， 上的动点 (包含端点),且 .
(1)证明: ;
(2)当三棱锥 的体积最大时,求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求 的长.
19.(17 分) 已知 的两个顶点 的坐标分别为 ,且边 所在直线的斜率之积为 .
(1)求顶点 的轨迹方程；
(2)已知过点 的直线 与顶点 的轨迹相交于 ， 两点.
①若直线 的斜率为 ，求 的面积；
②若直线 与 相交于点 ，求 的取值范围.
2025-2026 学年高二下学期素养测评(一) 数学参考答案及评分意见
1.C因为 ,所以 ,所以 . 故选 C.
2.C因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆,所以 解得 ,即实数 的取值范围为 . 故选 C.
3.D由题意得 . 解方程组 得 因为直线 与 的交点在第二象限,所以 解得 ,即实数 的取值范围是 . 故选 D.
4.C第一步,为大客车选司机.从甲、乙两位司机中选 1 人,有 2 种选法.第二步,为小客车选司机.从剩下的四位司机中选 1 人，有 4 种选法. 由分步乘法计数原理，得不同的安排方案有 种，故选 C.
5.A第一步,安排第 1 列.从 6 人中选 2 人,把矮的放前排、高的放后排,有 种安排方法. 第二步,安排第 2 列.从剩下的 4 人中选 2 人,把矮的放前排、高的放后排,有 种安排方法. 第三步,安排第 3 列.最后剩下的 2 人,把矮的放前排、高的放后排,有 种安排方法. 由分步乘法计数原理,得不同的站法有 种. 故选 A.
6.B设等比数列 的公比为 . 当 时,等比数列 的前 项和 ,
所以 ,满足 . 此时 .
当 时,等比数列 的前 项和 ,所以 ,
整理得 ,解得 (舍去) 或 ,所以 .
综上, 或 . 故选 B.
7.D由圆 ,得圆心 .
圆 和抛物线 都关于 轴对称,则设 .
由 ,得 .
因为点 在圆 上,所以 ,即 ,化简得 .
因为 ,解得 ,所以 . 因为点 在抛物线 上,所以 ,解得 ,
所以 . 故选 D.
8.C因为 ,所以 .
解 ,得 或 ,解 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时,函数 取得极大值,为 ,即当 时, .
当 时,函数 取得极小值,为 .
当 时,解方程 ,即 ,得 ,即 .
所以当 时, ,当 时, ,
综上,不等式为 ,其解集为 ,即 ,故选 C.
9.ACD由导函数 的图象知,当 时, ,所以函数 在区间 上单调递减,故 A 正确.
由导函数 的图象知,函数 在区间 上先单调递增再单调递减,故 B 错误.
由导函数 的图象知,当 时, ,当 时, ,
所以函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以函数 在 处取得极小值,故 正确.
由导函数 的图象知,当 时, ,当 时, ,所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,所以函数 在 处取得极大值,故 D 正确.
故选 ACD.
10.BC因为 ,
所以 .
又因为 ,所以数列 是首项、公比均为 3 的等比数列,
所以 ,所以 . 故 正确, 错误.
,故 A 错误.
因为 ,所以 ,所以数列 是递增数列,故 B 正确. 故选 BC.
11.BD双曲线 中, ,所以 ;
双曲线 中, ,所以两焦点的坐标分别为 ,故 A 错误.
由题意知 ,由双曲线的定义得 ,设 ,则 . 因为 , ,所以 ,解得 (负值舍去),所以 ,则
3,所以 的周长为 ,故 B 正确. 由双曲线的定义得 ,又 ,所以 .
由题意知 ,所以 ,
所以 ,所以 的面积 , 故 C 错误. 圆 的圆心为 ,半径为 1,点 即点 ,所以 ,所以 ,当且仅当 为线段 的延长线与圆 的交点时,等号成立,所以 的最大值为 7,故 D 正确. 故选 BD.
12. 因为 ,所以 ,所以 ,即曲线 在 -2 处切线的斜率为 13. 因为直线 与切线垂直,所以 .
13.432第一步,排 4 道 A 型题.4 道 A 型题全排列,有 种安排顺序.
第二步，排 2 道 B 型题. 排好后的 A 型题会产生 5 个空位 (包括两端),将 2 道 B 型题插入空位，有 种安排顺序. 由分步乘法计数原理，得 B 型题不相邻的安排顺序有 种.
第三步,排除不符合要求的情况. 前 3 道题都是 型题的情况,即 2 道 型题在第 4 题和第 6 题的位置: 4 道 型题全排列,有 种安排顺序; 2 道 B 型题全排列,有 种安排顺序.
所以不符合要求的安排顺序有 种. 所以不同的安排顺序有 种.
14.16由题意得, ,所以 .
因为 成等比数列,所以 ,即 ,化简得 .
因为 ,所以 ,所以 .
15.(1)解:因为 ，所以 . 2 分
因为数列 是等差数列,所以公差 . 4 分
所以 . 5 分
因为 ,符合题设条件,
所以数列 的通项公式为 . 7 分
(2)证明:因为 ，
所以 . 10 分由(1)知， ， ，所以 ，
所以数列 是首项为 4,公比为 2 的等比数列. 13 分
16.(1)证明:因为 ，
所以当 时, ,即 ,解得 . 2 分
当 时,由 ,得 ,
两式相减,得 ,
化简得 ,所以 ,
所以 . 5 分
因为 ,所以数列 是首项和公比均为 的等比数列. 7 分
(2)解:由(1)知 ，
所以 , 9 分
所以 ①,
②. 11 分
①-②，得
13 分
所以 . 15 分
17. 解: (1) 当 时, ,
则 . 2 分
记 ,则 在 上恒成立,
所以函数 在 上单调递增. 4 分
所以当 时, ,
所以 ,所以函数 在 上单调递增. 6 分
(2)不存在 ， ，使得 为函数 的极值点. 7 分
理由如下:
因为 ,
当 时, 不在函数 的定义域内,所以 . 8 分
当 时,若 为函数 的极值点,则 .
因为 ,所以 ,即 ,
所以 . 11 分
令 ,则 ,
当 时, ,函数 单调递减;
当 时, ,函数 单调递增.
所以 . 13 分
因为 ,所以 恒成立,
所以函数 在 上单调递增,故 不是极值点.
综上,不存在 ,使得 为函数 的极值点. 15 分
18. 解: 以 为坐标原点, 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ,则 , . 3 分
(1)证明: 因为 ,
所以 ,
所以 ,即 . 6 分
(2)解:三棱锥 的体积即三棱锥 的体积,此时 .
因为 ，
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以当三棱锥 的体积最大时, . 8 分
此时 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,所以 . 10 分因为平面 的一个法向量为 ,
所以 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 12 分
(3)解:设平面 的法向量为 ,则
因为 ,所以
令 ,则 ,所以 . 14 分
设直线 和平面 所成的角为 ,则 .
因为 ,
所以 ,
解得 或 (舍去), 16 分
所以 . 17 分
19. 解: (1) 由题意设点 ,则 , 2 分整理得 ,
所以顶点 的轨迹方程为 . 4 分
(2)由题意知,直线 与 轴不重合,设 . 5 分
①因为直线 的斜率为 ，直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即: .
由 消去 ,整理得 .
因为 ,所以 . 7 分
所以 .
因为点 到直线 的距离 ,
所以 的面积 . 10 分
②由题意，设直线 的方程为 .
由 消去 ,整理得 .
因为 ,所以 . 12 分方法一:因为点 在顶点 的轨迹上，所以直线 ， 的斜率之积为 .
因为直线 的斜率 ,所以直线 的斜率 ,
所以直线 的方程为 . ①
因为直线 的斜率 ,所以直线 的方程为 . ②
由①②得 ,
整理得
,
解得 . 15 分
又因为点 和点 的纵坐标均不为 0,
所以直线 与 的交点 的纵坐标不为 0,
所以点 的轨迹方程为 .
因为 ,所以 ,即 的取值范围是 . 17 分
方法二: 因为直线 的斜率 ,所以直线 的方程为 . ①
因为直线 的斜率 ,所以直线 的方程为 . ②
由①②得 ,
整理得
解得 . 15 分
又因为点 和点 的纵坐标均不为 0,
所以直线 与 的交点 的纵坐标不为 0,
所以点 的轨迹方程为 .
因为 ,所以 ,即 的取值范围是 . 17 分
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