2025-2026学年下学期陕西榆林高三数学4月阶段测试（含答案）

2026 年全国高考冲刺压轴卷(一) 数 学
注意事项:
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. 5 B. 3 C. D.
3. 已知向量 ，且 ，则
A. B. 4 C. 5 D.
4. 已知一组数据 中的最小数据为 8,且第 75 百分位数是 15,则 的不同取值可能有
A. 8 个 B. 7 个 C. 6 个 0.1个
5. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象, 则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，若存在唯一的 ，使得 ，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知某扇形铁皮的圆心角为 、面积为 ,将该铁皮无损失地焊接成一个圆锥 (焊接点忽略不计)，将焊接成的圆锥放置于水平地面上，若在该圆锥内部放置一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
A: B.
C. D.
8. 在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则 周长的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. 对于随机事件 ,若 ,则
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的图象是轴对称图形,则
A. B. 有极大值
C. 关于 的方程 有两个不等实根 D. 的值域为
11. 已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上一点，且 ， 为 上均异于原点 的不同的点,则
A. 若 ，则 的中点到 轴的最小距离为 3
B. 若 ，则 的中点到 轴的最小距离为 1
C. 若 ,则
D. 若 ,则直线 过定点
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知 ,则 _____.
13. 已知函数 ，则 在 上的零点个数为_____.
14. 过双曲线 的右焦点 作直线 ,交 于 两点,线段 的中点为 ,作 ,交 轴于点 (异于原点 ). 若 ,则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
LABUBU的爆火，是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利，但这也只是中国 IP 全球化浪潮的一个缩影. 某大学生社团为了解该校学生对 LABUBU 的喜爱情况，随机抽取 200 人进行调查，得到如下列联表:
喜欢 不喜欢 合计
女生 40 60 100
男生 25 75 100
合计 65 135 200
(1)试根据小概率值 的独立性检验，分析该校学生对 LABUBU 喜爱情况是否与性别有关联;
(2)现从女生样本中按对 LABUBU 是否喜欢，用按比例分配的分层随机抽样法抽取 5 人， 再从这 5 人中随机抽取 3 人做进一步调研. 记抽取 3 人中不喜欢 LABUBU 的人数为 , 求 的值.
参考公式及数据: ，其中 .
a 0.1 0.05 0.005 0.001
2.706 3.841 7.879 10.828
16. (本小题满分 15 分)
如图，在几何体 中，平面 平面 ，四边形 是矩形， 是等腰三角形， .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的离心率为 ,焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ,若直线 与 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明: 在 上恒成立；
(3)已知 ，若 存在极大值 ，且 ，求实数 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知数列 ,数列 ,其中 ,且 ,若对于任意的 ,且 ,都有 ,则称 互为“反调数列”.
(1)已知数列 ，分别判断下面数列是否为数列 的反调数列，并说明理由； ①数列 ②数列 .
(2)若 ，数列 为等差数列，其前 项和为 ， ，数列 ， ， 与数列 互为反调数列,求数列 的公差 的取值范围;
(3)对于固定的正整数 ，任意的 ，总有 ,数列 互为反调数列,且 ,求 .
参考答案 · 数学(一)
1.B 由 ，得 ，所以 ， ，所以 . 故选 B.
2.C 由题意得 ，所以 . 故选 C.
8. 因为 ,所以 ,解得 ,所以 . 故选 D.
4、A 由 ，知第 75 百分位数为第 5 个数，又 A 从小数据为 8，且第 75 百分位数是 15，将这组数据按从小到大的顺序排列,第 5 个数是 15 ,所以 ,又 ,所以 的值可能是8,9,10,11,12,13, 14.15,共8个. 故选 A.
5. A 函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,即得到函数 的图象,所以 ,整理得 ,又 ,所以当 时、 取最小值、且最小值为 . 故选 A.
6. 因为存在唯一的 ,使得 ,即 ,所以 的图象在 图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点,又因为当 时, 为 的切线,切点为 ,所以 解得 ,所以实数 的取值范围是 . 故选 C.
7. D 设圆锥的底面半径为 ,母线长为 ,则 ,则 ,由圆知 ,所以 ,所以 1,所以圆锥的商为 . 当球的半径必大时,球一定是内切于圆锥的,截面如图 1 所示,设此时球的半径为 ,球心为 则有 ,所以 ,即 ,解得 ,设此时球的内接正四面体的棱长为 ,如图 2 所示, 为四面体的顶点, 为 在底面上的射影,则 ,所以 ,在 中, ,即 ,解得 . 故选 D.
图 1
图 2
8. 因为 ,且 ,所以 ,所以 . 因为 . ,所以 ,所以 ,由 ,得 ,所以 的周长为 . 令 ,则 ,函数 在 上单调递增,当 时, ; 当 时, ,所以 ,所以 周长的取值范围为 . 故选 C.
9. AC 对于 A，随机事件 ，因为 ，所以 ,故 A 正确; 对于 B, ,故 B 错误; 对于 C, ,故 C 正确; 对于 D, ,故 D 错误. 故选 AC.
10. 对于 ,由 且 ,得 ,所以函数 的定义域为 ,所以 ,因为 的图象是抽对称图形,所以 的图象关于直线 对称,所以 ,所以 ,故 错误; 对于 , 因为 在 上单调递增,在 上单调递减,且 在其定义域内单调递增,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 有极大值,故 正确; 对于 ,令 ,则 ,解得 ,且这两个解均在 内,所以关于 的方程 有两个不等实根,故 C 正确，对于 ，当 时， ，故 的值域为 ，故 正确，故选 BCD。
11. ACD 由题意得 ，所以 ，所以 . 且 . 设 ,过 和 的中点 分别作 的准线的垂线,垂足分别为 ,连接 由抛物线的定义得 . ，且 ,当且仅当 三点共线时等号成立,所以 的中点 到 轴的最小距离为 ，故 正确；当 轴时， ，此时 ，即此时 的中点到 轴的距离为 。故 B 错误；因为 ,故由 ,但 ,所以 ,由 +1，得 ，故 正确: 1 A A，以》的方图为 ，代入抛物线方程，得 ，则 ，所以 (公) ,山 , 排 ,所以 ,即 ,且 为以 (舍) 或 4. 即直线 的方程为 ,所以直线 过定点 故 D 正确. 故选 ACD.
12. 因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，所以 .
13.2 设 ,令 ,则 令 ,则 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 ,所以 ,且当 时,0 < ,当 时,由 ,得 ,即 ,即 ,即 ,所以结合函数 的图象可知，当 时， ，所以 有 2 个相异实根，即 在 上有 2 个零点.
14. 设双曲线的右焦点为 ，由圆知，直线 的斜率存在且不为 0，故可设直线 。 ,联立方程 消去 ,得 ,则 . 则 ,设线段 的中点 ,则 ,即 ,且 ,线段 的中垂线的斜率为 ,则线段 的中垂线所在直线方程为 ,令 ,则 ,解得 ,即 ,则 ,因为 ,即 ,所以 ,整理得 ,所以双曲线的离心率 .
15. 解:(1)变假设 ；该校学生对 LABUBU 喜爱情况与性别无关联。 1 分
由 列联表中的数据，可得 , 3 分
所以 , 4 分
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为该校学生对 LABUBU 喜爱情况与性别有关联, 此推断犯错误的概率不大于 0.05 . 6 分
(2)抽取的 5 人中, 喜欢 LABUBU 的有 人，不喜欢 LABUBU 的有 人， 7 分
所以 所有可能的取值为 1,2,3, 8 分
所以 , 11 分所以 的分布列为
1 2 3
立
所以 . 13 分
16.(1)证明:因为四边形 是矩形，所以 .
又平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 , 2 分
因为 平面 ,
所以 , 3 分
因为 是等腰三角形，所以 ，
又 ,所以 ,所 , 4 分
因为 ,所以 , 5 分
又 平面 平面 ,
所以 平面 . 6 分
(2)解:由(1)知，直线 两两垂直，
以 为原点,分别以直线 为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
所以 .
8 分
设平面 的一个法向量 ,则
取 ,得 ,所以 , 10 分
设平面 的一个法向量 ,则
取 ,得 ,所以 , 12 分
所以 , 14 分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 由题知, , 2 分
所以 , 3 分
所以 , 4 分
所以 的方程为 . 5 分
(2)由(1)知，点 ， 6 分
显然直线 与 轴垂直不合题意. 7 分
若直线 与 轴垂直，设 ， ，
可得 ，
若 ，则 ， 8 分
又 ,则 ,
可得 ，解得 或 ， 9 分
所以直线 的方程为 或 . 10 分
若直线 不与 轴垂直，设直线 ， ， ，
联立
消去 整理得 ，
则 ,
可得 ,
则 ,
由 ,得
, 12 分
所以 ,①
设 中点为 ,则 ,
因为 ,所以 ,则 ,即 ,② 13 分由①②，得 ，或 ，
当 时,直线 的方程为 ,过点 ,不合愿意,当 时,解得 或 ,满足 ,
所以直线 的方程为 或 . 14 分
综上,直线 的方程为 或 或 或 . 15 分
18.(1)解:函数 的定义域为 ，且 ， 1 分
所以 , 2 分
又 , 3 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 . 4 分
(2)证明:设 ，
则 , 5 分
令 ,则 ,
所以 在 上单调递减, 6 分
又 ,所以 在 上恒成立,
所以 在 上单调递减， 7 分
又 ,所以 在 上恒成立, 8 分
所以 在 上恒成立. 9 分
(3)解:由题知, ,故函数 的定义域为 ,
因为 ,所以 , 10 分
当 时， ， ， 在 上单调递增，所以 无极值. 11 分当 时,由 ,得 ,
当 时, 单调递增1
当 时, 单调递减,
所以当 时， 有极大值 ，且 ，
所以 ,即 , 13 分