2025-2026学年下学期河北雄安新区高二数学3月阶段检测（含答案）

数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修第二册第五章。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 下列求导正确的是
A. B.
C. D.
2. 已知函数 ,则
A. B. C. D.
3. 设函数 在定义域内可导, 的图象如图所示,则其导函数 的图象可能是
A
B
C
D
4. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为
A. B.
C. D.
5. 函数 的部分图象大致是
A
B
C
D
6. 已知 为抛物线 上一点,且该抛物线在点 处的切线的倾斜角的取值范围为 ,则点 的横坐标的取值范围为
A. B. C.
D.
7. 已知 是函数 的极大值点,则实数
A. -2
B.
C. -1
D.
8. 路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃 以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上. 如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为 ， ， ,其中 ,则 的面积的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若函数 在区间 上连续,且 ,有 ,则称函数 在 上 “严格上凸”,记 为导函数 的导函数, 如 ,则 . 性质: 若 在给定的区间上恒成立,则函数 在给定的区间内“严格上凸”. 下列选项中所给的函数在给定定义域内“严格上凸”的有
A. B.
C. D.
10. 已知函数 若 有三个零点 ,且 , 则 的值可能为
A. -1 B. 0 C. D.
11. 已知函数 ,则
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 放射性同位素技术已经在医学上取得了广泛的应用. 假设在放射性同位素钍 234 的衰变过程中，其含量 (单位:贝克) 与时间 (单位:天) 满足函数关系式 ，其中 为 时 4234 的含量. 已知 时， 4234 含量的瞬时变化率为 ，则 _____▲_____.
13. 若曲线 与曲线 有相同的切线 ，则 _____▲_____.
14. 已知函数 在 上有最大值，则 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
2026 年 2 月 6 日至 22 日冬奥会在意大利举办，某高山滑雪运动员在冬奥会期间的一次滑雪比赛中滑行的路程 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系式为
(1)求该运动员从 到 时滑雪的平均速度；
(2)求该运动员在 时滑雪的瞬时速度；
(3)当该运动员的滑雪路程为 时，求此时的滑雪速度.
16. (15 分)
已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
17. (15 分)
我国将深化“人工智能+”行动，“十五五”末人工智能相关产业规模将增长到 10 万亿元以上. 某“人工智能+”设备的能量转换值 关于运行时间 (单位:s) 的函数解析式为 为常数.
(1)当 ，且设备运行时间 时，求能量转换值 的最小值与最大值；
( 2 )若运行时间 ，能量转换值 随着 的增大而增大，求 的取值范围.
18. (17 分)
已知定义在 上的函数 .
(1)求函数 的最大值；
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求整数 的最大值.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)当 时,判断函数 在 上的单调性.
(2)设函数 存在两个极值点 .
(i)求 的取值范围；
(ii) 证明: .
数学试题参考答案
1. 由 ,得 , B, D 均错误, C 正确.
2. ,令 ,得 ,解得 ,所以
3.C 当 时, ,排除 . 因为当 时, 的图象先增后减再增,所以 的值依次为正、负、正,故选 C.
4. A 由 ,得 恒成立,易知 在区间 上单调递增,所以 ,则 .
5. 因为 ,所以 是奇函数,故排除 B. 又 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,排除 ,故选 .
6. ,令 ,即 ,解得 .
7. .
① 若 ，则 ， 在 上单调递增，没有极大值点，不符合题意.
② 若 ，令 ，得 ， 在 上单调递减，与 是函数 的极大值点矛盾，不符合题意.
③若 ，令 ，得 ， 在 上单调递增，与 0 是函数 的极大值点矛盾，不符合题意.
④若 ,令 ,得 在 上单调递增,在 上单调递减, 是函数 的极大值点,符合题意.
8. 如图，过 分别向 轴作垂线，垂足分别为 ， ,则 的面积为 ,设 ,则 ,所以 在 上单调递减，则 .
9. AC 对于 A，因为 ， ，所以 在 上 “严格上凸”; 对于 ,因为 ,所以 在 上不是“严格上凸”; 对于 ,因为 ,所以 在 上“严格上凸”；对于 ，因为 ,所以 在 上不是“严格上凸”.
10. 的图象如图所示. 图象的对称轴为直线 ,由 ,得 ,即 ,由图可知 ,则 ,所以
设 ,则 ,它在 上单调递增,所以 ,则 在 上单调递增, , .
11. 的定义域为 ,易知 在 上单调递增,在 上单调递减,且当 时, .
对于 ,因为 ,
所以 , 正确; 对于 ,要证 ,就要证 ,即 1,因为 ,所以 ,从而 错误; 对于 , 由上知 ,所以 正确; 对于 ,由 的解题过程知 ,所以 , D 正确.
12. . 由 ,得 ,所以 .
13.4 设直线 与曲线 相切于点 ,由导数的几何意义可得 ,解得 ,代入方程 ,得 .
设直线 与曲线 相切于点 ,得 ,且 ,解得 所以 .
14. 因为 ,所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，且 . 因为函数 在 上有最大值，所以 解得 .
15. 解: (1) 当 时, ,所以从 到 时的滑雪的平均速度为 . 3 分
(2)因为 ， 5 分
所以 ,
即该运动员在 时滑雪的瞬时速度为 . 7 分
(3)当 时， ，
所以 . 9 分
由 ,即 ,解得 或 (舍去). 11 分
因为 ,所以此时的滑雪速度为 . 13 分
16. 解: (1) 当 时, , 1 分
3 分
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ,即 . 5 分
(2) 的定义域为 ， . 7 分
令 ,得 或 . 8 分
当 时, 在 上单调递增, 10 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 , 12 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 . 14 分
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 和 上单调递增,在 上单调递减;
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减. ... 15 分
17. 解: (1) 当 时, ,则 在 上为减函数,在 上为增函数, 3 分而 ,易知 , 6 分又 ,所以 . 7 分
(2)由题可知 在 上单调递增，所以 ,对 恒成立, 9 分
所以 ,可得 . 11 分
令 ,易知 在 上单调递减, 13 分
则 ,所以 ,即 的取值范围为 . 15 分
18. 解:(1)由已知得 ,则 . 2 分
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 . 4 分
当 时, , 6 分
所以 . 7 分
(2)由题设知对于任意 ， 恒成立，
设 ,则 . 9 分
令 ,则 恒成立,
所以 在 上单调递增. 又 ,所以存在 ,使得 ,即 . 11 分所以 在 上单调递减,在 上单调递增,则 13 分设 ,易知 在 上单调递增.
又 ,所以 ,则 15 分又 ,所以整数 的最大值为 -1 . 17 分
19.(1)解:由题意得，函数 的定义域为 .
当 时, , 1 分
易知 在 上单调递增. 2 分
又因为 , 3 分
所以当 时，函数 在 上单调递增. 4 分
(2)(i)解:由题意得 .
因为 存在两个极值点,所以 在 上有两个解, 5 分所以 ,即 .
令 ,则 ,即方程 有两个不等实根. 7 分
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
8 分
,当 时, ,当 时, ,且当 时, ,
9 分
所以 ,解得 ,即 的取值范围为 . 10 分
( ii )证明: 由题意得, 是方程 的两个不等实根,由 ( i ) 可知 , 是方程 的两个不等实根,同样令 ,由 ,可得 1 11 分
要证 ,需证 ,令 ,
则 . 12 分令 ,
则
. 14 分
所以 在 上单调递增,则 , 15 分
所以 ,从而 ,
所以 . 16 分
因为 在 上单调递减,且 ,所以 , 即 ,所以 . 17 分