2025-2026学年下学期河南新乡高一数学3月阶段测试（含答案）

2025-2026 学年高一下学期素养测评(一) 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟, 满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 如图，在 中，
A. B. C. D.0
2. 下列命题错误的是
A. 若向量 与向量 都是单位向量，则
B. 若向量 ，则 与 是平行向量
C. 若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点 与 不重合
D. 若 ，则
3. 已知向量 . 若 三点共线，则实数
A. B. C. D.
4. 如图， 分别是 的边 的中点，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
5. 已知正方形 的边长为 4,点 在线段 上,则 的最小值为
A. -1 B. -2 C. -4 D. -8
6.2025 年 10 月, 某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举 —— 横渡长江，以硬核的技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌的创新实力. 如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为 1000 m. 若汽车从 地出发，以 的静水速度向对岸航行，水流速度为 ，要使航程最短， 大约需要
A. B. C. 6 min D. 12 min
7. 在 中, 为 所在平面内一点,且满足 为 的中点,且 ,则 的面积为
A. 6 B. C. D.
8. 已知平面内的非零向量 ，定义运算: . 对平面内任意非零向量 ， ,则
A.
B. 若 与 不垂直，则
C.
D. 若 ,则
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 若向量 ,则下列结论正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则向量 在向量 上的投影向量的模为
D. 若 ,则
10. 若 是平面 内两个不共线的非零向量,则下列命题正确的是
A. 可以表示平面 内的所有向量
B. 对于平面 内的任一向量 ,使 的实数 都有无数多对
C. 若向量 与 共线,存在唯一实数 ,使得
D. 若实数 ， 使 ，则
11. 已知 的内角 的对边分别为 ,则下列说法错误的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则 是锐角三角形
C. 若 ,则 为钝角三角形
D. 若 为锐角三角形,且 ,则 的最小值为 8
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知向量 ，若 ，则实数 _____.
13. 已知 的面积为 ，角 ，则
14. 设 是 所在平面内的一点,若 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分) 已知向量 满足 ,且 .
(1)求向量 与 的夹角 .
(2)是否存在实数 ，使 与 垂直？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
16.(15 分) 在锐角三角形 中, 分别是角 的对边, .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
17.(15 分)如图，某城市有一条公路从正西方 通过市中心 后转向北偏东 角方向的 . 位于该市的某大学 与市中心 的距离 ,且 . 现要修建一条铁路 ，在 上设一 站，在 上设一 站，铁路在 部分为直线段，且经过大学 ，其中 .
(1)求大学 与 站的距离 ；
(2)求铁路 段的长度.
18.(17 分)在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，内角 的平分线交边 于点 ， ，求 的长；
(3)若 ，边 上的中线 ，设点 为 的外接圆圆心，求 的值.
19.(17分)布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出， 其定义如下: 设 是 内一点,若 ,则称点 为 的布洛卡点,角 为 的布洛卡角. 如图,在 中,记它的三个内角分别为 其对边分别为 的面积为 ,点 为 的布洛卡点,其布洛卡角为 ,请完成以下问题:
(1)若 ，求 的大小及 的值.
(2)在 的条件下，解下列两个问题.
①若 的面积 ，求 的值.
②若 ，求 的面积 .
2025-2026 学年高一下学期素养测评(一) 数学参考答案及评分意见
1.D 由题意得 ,所以 . 故选 D.
2.D 对于 ,若 与 都是单位向量,则 ,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 且向量 与向量 方向相同,即 与 是平行向量,故 正确;
对于 ,用有向线段表示的向量 与 不相等,则点 与 不重合,故 正确;
对于 ,向量是既有大小又有方向的量,则两个向量不能比较大小,故 错误. 故选 D.
3.A 若 三点共线,则向量 与 共线.
因为 与 共线,
所以 ,化简得 ,解得 . 故选 A.
4.C 因为 分别是 的边 的中点,
所以 ,即 ,且 ,所以四边形 是平行四边形.
由向量加法的三角形法则,得 ;
由向量加法的平行四边形法则,得 ,故 A, B, D 错误, C 正确. 故选 C.
5.B 由题意,在边长为 4 的正方形 中, .
设 ,则 .
因为 ,所以 ,当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 -2 . 故选 B.
6.D 设点 是长江对岸一点， 与江岸垂直，当汽车实际沿 方向行驶时，航程最短.
设汽车的静水速度为 ，水流的速度为 ，实际速度 . 由图得 ，
所以 . 则航行时间为 . 故选 D.
7.C 因为 ,又因为 ,所以 三点共线.
又 ,所以点 为 的外心. 又因为 为 的中点,所以 垂直平分 ,即 垂直平分 . 又因为 ,所以 .
又因为 ,所以由余弦定理,得 .
又因为 ,所以 ,
所以 ,即 的面积为 . 故选 C.
8.C 对于 ,由定义得 与 共线, 与 共线, 所以 ,故 错误. 对于 ,不妨取 ,则 , 所以 . 因为 , 所以 ,故 ,故 B 错误. 对于 ,故 C 正确. 对于 ,若 ,则 , 即 . 因为 为非零向量,所以 ,所以 或当 时, ,故 D 错误. 故选 C.
9. ABC 对于 ,当 时, ,故 正确；
对于 ,当 时, ,解得 ,故 正确;
对于 ,若 ,向量 在向量 上的投影向量为 ,
所以向量 在向量 上的投影向量的模为 ,故 C 正确;
对于 ,若 ,则 ,所以 ,故 错误. 故选 ABC.
10.AD 由题意, 是平面 内的一个基底,
所以对平面 内的任一向量 ,都存在唯一的实数对 ,使得 ,
所以 可以表示平面 内的所有向量,故 正确.
对平面 内的任一向量 ,使 的实数 有且只有 1 对,故 错误.
当 时,则任意实数 ,都使得 ,故 错误.
若实数 使 ,假设 ,则 ,即 共线,矛盾,所以 ,同理 ,故 正确. 故选 AD.
11. 对于 ,在 中,若 ,则 .
由正弦定理,得 ,故 ,故 A 错误. 对于 ,由向量数量积的定义,得 ,
则 ,即 为锐角,但不确定 是否是锐角,所以 不一定是锐角三角形,故 错误.
对于 ,因为 ,所以 ,得到 ,
由正弦定理,得 ,即 .
由余弦定理,得 ,则 为钝角三角形,故 正确.
对于 ,因为 ,
,则 ,
所以 ,所以 .
因为 为锐角三角形,所以 ,所以 .
令 ,则 , 当且仅当 ,即 时,等号成立,故 正确. 故选 .
12.4 由题意,得 . 因为 ,所以 ,解得 .
设 的内角 所对的边分别为 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
即 ,所以 . ①
又因为 的面积为 ,角 ,所以 ,得 .
由余弦定理,得 . ②
联立①② 解，得 ，所以 ，即 .
14. 由题意得,
.
如图，设 的中点为 ，连接 ，则 ，所以 .
设 的中点为 ,连接 ,则
,
当且仅当 ,即点 与点 重合时, 有最小值,为 .
15. 解: (1) ,即 ,
. 3 分
又 ,即 . 6 分
又 ,所以 . 7 分
(2)若 ，则 ，
即 . 10 分
,
存在 使得 与 垂直. 13 分
16. 解: (1) 在 中,因为 ,所以 . 1 分
由题意,得 .
由正弦定理,得 ,所以原等式变形为 . 4 分
在 中, ,化简得 . 6 分
又因为 是锐角三角形的内角,所以 . 8 分
(2)在 中，由 ，得 ，即 .
所以
10 分
又因为 是锐角三角形,所以 ,
则 ,即 . 12 分
因为函数 在 上的取值范围为 ,所以 ,
即 的取值范围为 . 15 分
17. 解: (1) 在 中, 且 ,
由余弦定理,得
所以 ，即大学 与 站的距离 为 . 6 分
(2)因为 ,且 为锐角,所以 . 7 分在 中,由正弦定理,得 ,即 ,所以 .
由题意得 ,所以 . 9 分
所以 . 因为 ,所以 ,
所以 . 11 分
又因为 ,所以 . 12 分
在 中, ,由正弦定理,得 ,即 ,所以 ,
即铁路 段的长度为 . 15 分
18. 解: (1) 由 及正弦定理,
得 . 1 分
又因为 ,
所以 .
因为 ,所以 ,则 ,即 . 4 分
由 ,得 ,解得 . 5 分
又因为 ,所以 . 6 分
(2)由 ,得 . 又因为 ，所以 . 7 分因为角 的平分线交边 于点 ,所以 . 8 分
因为 ,
所以 ,
所以 . 10 分
(3)在 中，由余弦定理，得 . 11 分
因为 ,边 上的中线 ,所以 ,
所以 ,即 . 与 联立,解得 . 13 分设 的中点分别为点 ,点 ,连接 .
由点 为 的外接圆圆心,得 . 14 分
因为 ,
,
所以 . 17 分
19. 解: (1) 因为在 中, ,所以 .
又因为 为锐角,所以 ,所以 . 1 分
由题意, , 2 分
所以 ,故 .
又因为 ,所以 . 3 分
在 中,由正弦定理得 ,所以 ;
在 中,由正弦定理得 ,所以 . 5 分
所以 ,故 . 6 分
(2) .
因为 ,所以 ,
即 . 8 分
①因为 ，所以 . 9 分
在 中, ,
在 中, ,
在 中, ,
三式相加得
,
整理得
即 . 11 分
② . 12 分
由 ① 得 ,
所以 , 14 分
故 ,
整理得 ,即 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以 . 17 分