6.1《平面向量的概念》同步基础练习 （含解析） 2025~2026学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

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6.1《平面向量的概念》同步基础练习 （含答案解析
一、选择题

1.下列命题中，正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.向量与向量的模相等

2.下列说法中正确的是（ ）
A.时间能称为向量
B.所有单位向量都是相等向量
C.模为的向量与任一非零向量平行
D.若，则

3.以下关于平面向量的说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若则
C.若是共线的单位向量.同
D.若，则不是共线向量

4.如图，在中，向量是（ ）
A.有相同起点的 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量

5.下列说法中正确的是（ ）
A.向量的模都是正实数
B.单位向量只有一个
C.向量的大小与方向无关
D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
二、多选题

6.下列说法正确的是（ ）
A.平行向量不一定是共线向量
B.向量的长度与向量的长度相等
C.是与非零向量共线的单位向量
D.若四边形满足，则四边形是平行四边形

7.关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若 ，则
D.若，则
三、填空题

8.下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是__________（填序号）．

9.若函数与的图象交于两点,则_____________.
四、解答题

10.已知，，为坐标原点，
（1）求的坐标及；
（2）若，求的单位向量的坐标．

11.自重不计的轻杆和组成如图所示的支架，其中恰位于水平位置，．在支架处挂重的重物，求悬挂重物使杆及杆受到的力的大小和方向．

12.已知是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立平面坐标系，如下图（左）我们把这个由基底确定的坐标系称为基底坐标系．当向量不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为．对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标．今有斜坐标系（长度单位为米，如下图（右）），且，设 .
（1）计算的大小；
（2）质点甲在上距点米的点处，质点乙在上距点米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以米小时的速度移动．
①若过小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，表示；
②若t时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量的模
相等向量
平行向量（共线向量）
【解析】
由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可.
【解答】
对于，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故错误；
对于，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故错误；
对于，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故错误；
对于，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反．
根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以正确，
故选：．
2.
【答案】
C
【考点】
平面向量的概念与表示
零向量与单位向量
相等向量
平行向量（共线向量）
【解析】
根据向量的概念判断；根据相等向量的定义判断；根据平行向量的定义判断
【解答】
时间只有大小，没有方向，不是向量，故错误；
所有单位向量的模都为，但方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故错误；
模为的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故正确；
相等向量要求大小和方向都相同，故错误．
故选：．
3.
【答案】
A
【考点】
相等向量
平行向量（共线向量）
向量的模
零向量与单位向量
【解析】
对 ，由相等向量的定义判断；对，举反例时，可判断；对，由共线向量的定义判断；对，由相等向量和共线向量的定义判断.
【解答】
对于，若，则，故正确；
对于，若，则不一定成立，故错误；
对于，若是共线的单位向量，则或，故错误；
对于，若，则是共线向量，故错误.
故选：
4.
【答案】
C
【考点】
向量的模
向量的物理背景与概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【详解】解： 起点并不全相同，故错误；
的方向均不相同，
也不相反，故错误；圆的半径，故正确，
故选．
5.
【答案】
C
【考点】
向量的模
单位向量
相等向量与相反向量
零向量
【解析】
根据向量的有关概念和性质逐个分析判断即可．
【解答】
【详解】对于：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故错误；
对于：单位向量的定义，单位向量的模为，方向为任意方向，故错误；
对于：向量的模与方向没有关系，故正确；
对于 ：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故错误.
故选：．
二、多选题
6.
【答案】
B,C,D
【考点】
零向量与单位向量
相等向量
平行向量（共线向量）
【解析】
根据共线向量，相反向量，单位向量的概念即可求解.
【解答】
依题意，
平行向量即共线向量，故错误．
与为相反向量，所以模长相等，故正确．
是与非零向量共线的单位向量，正确．
，所以且，
则四边形是平行四边形，正确．
故选：
7.
【答案】
B,D
【考点】
平面向量的概念与表示
相等向量
平行向量（共线向量）
【解析】
根据向量不能比较大小，即可判断；根据向量相等即可判断；根据向量平行及零向量即可判断．
【解答】
对于，因为向量不能比较大小，故错误；
对于，若，则 ，故正确；
对于，若，则 ，但与不一定平行，故错误；
对于，若，则，故正确；
故选：．
三、填空题
8.
【答案】
②③④
【考点】
向量的模
零向量与单位向量
相等向量
平行向量（共线向量）
【解析】
由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确.
【解答】
由零向量的定义可知，①正确；
时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误；
两个向量共线，与模是否相等无关，③错误；
当时，满足，，但不能得到，④错误.
故答案为：②③④
9.
【答案】
【考点】
余弦函数图象的应用
正切函数图象的应用
向量的模
【解析】
画出与图像,可得与关于点对称,进而求解即可
【解答】
由题,画出与的图像,如图所示,
则与关于点对称,
所以,
所以,
故答案为:
四、解答题
10.
【答案】
解：，
，
的单位向量的坐标为
【考点】
向量的模
单位向量
【解析】
（1）的坐标等于中点坐标减去起点的坐标，再根据向量模的坐标表示求出模即可．
（2）利用向量加法的坐标表示求出 的坐标，再除以模，即可得到其单位向量的坐标．
【解答】
（1）解：，
（2），
的单位向量的坐标为
11.
【答案】
解：如图，
在中，，，
所以，
，
，
所以重物作用于杆的力的大小为，方向与的方向相反，
重物作用于杆的力的大小为、方向与的方向相同．
【考点】
向量的模
向量的物理背景与概念
【解析】
无
【解答】
解：如图，
在中，，，
所以，
，
，
所以重物作用于杆的力的大小为，方向与的方向相反，
重物作用于杆的力的大小为、方向与的方向相同．
12.
【答案】
解：（）因为，所以,
又，所以,
所以,
即的大小为 .
①如图所示：依题意，过小时后质点甲到达点（在点O左边），且有
，质点乙到达点，且有,
故 .
②t时刻时，质点甲到达点，质点乙到达点，
如图所示：
,
则
所以两质点间的距离
.
因为，所以当时． 取得最小值为,
所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米．
【考点】
向量的模
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）解：（）因为，所以,
又，所以,
所以,
即的大小为 .
（2）①如图所示：依题意，过小时后质点甲到达点（在点O左边），且有
，质点乙到达点，且有,
故 .
②t时刻时，质点甲到达点，质点乙到达点，
如图所示：
,
则
所以两质点间的距离
.
因为，所以当时． 取得最小值为,
所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米．
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