7.1《复数的概念》同步基础练习 （含解析） 2025~2026学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

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7.1《复数的概念》同步基础练习 （含答案解析）
一、选择题

1.复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.

2.是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A. B. C. D.

4.已知复数，则（ ）
A.的虚部为 B. C. D.

5.已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题

6.下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（ ）
A. B. C. D.

7.欧拉公式为虚数单位，是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A.的虚部为 B.
C. D.的共轭复数为
三、填空题

8.复数满足，则复数的模的最大值是____________．

9.欧拉公式为虚数单位，是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，的共轭复数为_______________.
四、解答题

10.已知复数，其中为虚数单位.
（1）当实数取什么值时，复数是虚数；
（2）若复数，求实数的值.

11.复数.
（1）若是虚数，求实数的取值范围；
（2）若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（3）若，求.

12.已知复数
（1）若在复平面内的对应点位于上，求的值；
（2）若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
（3）若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标.
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
求复数的实部与虚部
【解析】
根据复数的定义直接求解即可.
【解答】
由题知，复数的虚部为
故选：
2.
【答案】
A
【考点】
复数的坐标表示
判断复数对应的点所在的象限
【解析】
根据复数的几何意义直接判断.
【解答】
复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限.
故选：
3.
【答案】
C
【考点】
根据复数的坐标写出对应的复数
【解析】
根据复数的几何意义及对称性求解即可.
【解答】
由题意知对应的点为，
对应的点为，．
故选：
4.
【答案】
C
【考点】
复数的模
共轭复数
复数的基本概念
【解析】
由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为的复数不能比较大小，即可判断
【解答】
由已知可得的虚部为，故错误；
，故错误；
，故正确；
虚部不为的复数不能比较大小，故错误.
故选
5.
【答案】
D
【考点】
sinα±cosα和sinα·cosα的关系
二倍角的正弦公式
数量积的坐标表示
复数的向量表示
【解析】
根据给定条件，求出的坐标，利用数量积的坐标式，结合二倍角的正弦公式及与的关系，换元后化成二次函数即可求出最大值.
【解答】
依题意，，则，
令，则，，
因此，则当时，取得最大值为，
故的最大值为
故选：
二、多选题
6.
【答案】
A,B
【考点】
判断复数对应的点所在的象限
【解析】
由复数的几何意义求出实数的取值范围对比选项即可得解.
【解答】
若复数对应的点在第三象限，则，解得，
对比选项可知，只有符合题意.
故选：
7.
【答案】
A,B,D
【考点】
复数的基本概念
复数的模
共轭复数
【解析】
根据题意，由欧拉公式，利用复数的基本概念，结合选项，逐项判定，即可求解.
【解答】
对于中，由，其虚部为，所以正确；
对于中，由，所以正确；
对于中，由，则，所以错误；
对于中，由，故的共轭复数为，所以正确．
故选：．
三、填空题
8.
【答案】
【考点】
与复数模相关的轨迹（图形）问题
【解析】
利用复数的几何意义得对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，将题意转化为圆上的点到原点的距离，进而可得结果.
【解答】
表示对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
故复数的模即圆上的点到原点的距离，则
故答案为：
9.
【答案】
【考点】
共轭复数
【解析】
根据欧拉公式化简复数，再根据共轭复数的定义，即可求解
【解答】
由，故的共轭复数为
故答案为：
四、解答题
10.
【答案】
且或
【考点】
复数的基本概念
根据相等条件求参数
【解析】
（1）将解出即可
（2）由得，然后解出方程组即可
【解答】
（1）由题意得，解得且
当且时，复数是虚数.
（2），
可得，
即，解得或
11.
【答案】
【详解】（）由题意，是虚数，得 ，
解得且；
因为所对应的点在第四象限，
，
解得 ，所以实数的取值范围是；
若，则，
解得，即，所以.
【考点】
复数的基本概念
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）【详解】（）由题意，是虚数，得 ，
解得且；
（2）因为所对应的点在第四象限，
，
解得 ，所以实数的取值范围是；
（3）若，则，
解得，即，所以.
12.
【答案】
，
【考点】
根据复数对应坐标的特点求参数
复数的坐标表示
复数的向量表示
【解析】
（1）求出及对应点的坐标，再列式求出值.
（2）求出对应点的坐标，再列出不等式组求解.
（3）利用复数的乘方，结合几何意义求出，再利用投影向量的意义求解.
【解答】
（1）解：依题意，，则其在复平面内的对应点为，
由点位于直线，得，整理得，
所以或
（2）复数在复平面内的对应点为，
由点位于第二象限，得，解得，
所以的取值范围为
（3）由为纯虚数，得，解得，则，，，
，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为
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