7.3《复数的三角表示》同步基础练习 （含解析） 2025~2026学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
7.3《复数的三角表示》同步基础练习 （含答案解析）
一、选择题
1.复数的三角形式为（ ）
A. B.
C. D.
2.年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可知（ ）
A. B. C. D.
3.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中正确的是（ ）
A.对应的点位于第二象限 B.为实数
C.的共轭复数为 D.的模长等于
4.年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，其中是自然对数的底，是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
6.在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A. B. C. D.
7.复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
8.已知复数，在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则的最小值为
C.若，则
D.若，则
9.欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ）
A. B.复数对应的点位于第二象限
C. D.
三、解答题
10.已知为虚数单位．设，复数．
（1）若的实部与虚部相等，求的大小；
（2）已知，若是方程的一个虚根，求与的值．
11.已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.
②被称为欧拉公式，是复数的指数形式.
③方程（为正整数）有个不同的复数根.
（1）设，求；
（2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合.
12.已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积．
（1）试将写成三角形式；
（2）当时，求的最大值和最小值．
（3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
特殊角的三角函数值
复数的三角表示
诱导公式二、三、四
【解析】
根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解.
【解答】
，，
，，故选项，错误；
，，
，，故选项正确，选项错误.
故选：
2.
【答案】
A
【考点】
复数及其指数形式、三角形式
【解析】
根据所给公式，变形整理化简即可．
【解答】
解：由题意可知，
故选：．
3.
【答案】
D
【考点】
复数及其指数形式、三角形式
【解析】
根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论．
【解答】
解：对于：，对应的点位于第一象限，故不正确；
对于：，为纯虚数，故不正确；
对于：，共轭复数为，故不正确．
对于：，故正确．
故选：．
4.
【答案】
C
【考点】
复数及其指数形式、三角形式
【解析】
根据题设公式可判断，，由可得，两式联立可判断，．
【解答】
解：对于，，不一定等于，故错误；
对于，，故错误；
对于，因为，①
所以，即，②
联立①②可得，，故正确，错误，
故选：．
5.
【答案】
A
【考点】
复数及其指数形式、三角形式
共轭复数
【解析】
直接计算得到，再计算共轭复数得到答案．
【解答】
解：，故
故选：．
6.
【答案】
D
【考点】
复数的三角表示
【解析】
先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【解答】
由题意，得当时，，，
．
，
，
故选：
7.
【答案】
D
【考点】
复数及其指数形式、三角形式
复数的三角表示
【解析】
根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解.
【解答】
设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选：D
二、多选题
8.
【答案】
A,B
【考点】
与复数模相关的轨迹（图形）问题
复数的三角表示
【解析】
根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断；设，则，再根据的范围可判断；根据可得，再举反例可判断；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断
【解答】
对于，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，
根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项正确；
对于，若，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
设，
则，
因为，可得，故正确；
对于，
，取，显然，但，故错误；
对于，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故错误.
故选：
9.
【答案】
B,C,D
【考点】
复数的模
共轭复数的概念及计算
判断复数对应的点所在的象限
复数的三角表示
【解析】
求出，即可判断；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断；根据复数的模的计算公式即可判断；根据共轭复数的定义即可判断
【解答】
对于，因为，所以，，故错误；
对于，，而，则、，
故位于第二象限，故正确；
对于，，故正确；
对于，，所以，
又因为，所以，故正确．
故选：．
三、解答题
10.
【答案】
【考点】
求复数的实部与虚部
复数范围内方程的根
复数的三角表示
【解析】
（1）由实部与虚部相等建立等量关系，结合角的范围计算可得结果；
（2）代入可得复数，将复数代入方程，根据方程建立新的复数的实部与虚部求解可得结果.
【解答】
（1）解：若的实部与虚部相等，则
，化简可得：，即，，
（2），，
代入方程可得：，即，
则，解得：
11.
【答案】
【考点】
复数的三角表示
【解析】
（1）根据题设中的欧拉公式可求
（2）设，根据欧拉公式结合方程可求，故可得方程的解集.
【解答】
（1）解：依题意，，
所以
（2）设，
则，
故，故
故，解得，
由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，
因此对应的依次为，
所以所求的集合是
12.
【答案】
，其中
的最大值为，最小值为
证明见解析
【考点】
复数的模
复数的三角表示
【解析】
（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式；
（2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值；
（3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式.
【解答】
（1）解：设，
则，故，
故，其中
（2）因为，故设，
故
，
因为，故，
故的最大值为，此时，最小值为，此时
（3）设，则
，
但
，
故，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)