2026年湖南省长沙市中考数学模拟练习卷（一）（含解析）

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2026年湖南省长沙市中考数学模拟练习卷（一）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列实数中最小的是（ ）
A． B．0 C． D．1
2．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A．光年 B．光年 C．光年 D．光年
3．在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 ( )
A． B． C． D．
7．如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．已知一次函数，则下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．图象经过第一、二、四象限
C．该函数图象一定过点，
D．当时，
9．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（ ）．
A． B． C． D．
10．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？”
小张说：“是小强打破的．”
小强说：“是小胖打破的．”
小明说：“我没有打破窗户的玻璃．”
小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．”
这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（ ）
A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若分式有意义，则的取值范围是___________．
12．若，则__________
13．已知一个山坡的坡度为，则山坡的坡角为_____．
14．一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为________．
15．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为2，则的值为______．
16．如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为___________
三、解答题（共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀，避免部分区域光线不足的问题．如图，在安装之前需要测量安装长度，将平面镜（平面镜大小忽略不计）放置在地面处，使沿天花板边缘射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的端点，从处测得的仰角为，移动平面镜到达点处，使沿天花板边缘射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的另一端点，从处测得的仰角为．已知天花板的高度为．（结果精确到，参考数据：，）
(1)求平面镜从处移动到处的距离；
(2)求灯带的安装长度．
20．2025年蛇年央视春晚将中国传统文化与现代元素巧妙结合，数字技术赋能舞台呈现，为全球观众奉上了一场兼具时代性、时尚感的精彩演出．其中以下四个节目备受关注：
．《迎福》（综合艺术表演类） ．《世界赠予我的》（歌曲类）
．《画蛇添福》（魔术类） ．《笔走龙蛇》（武术类）
某校学生会随机抽取了若干名学生调查“最喜欢的春晚节目”（每人限选其中一项）．将调查问卷整理成表格并绘制成如图所示的不完整条形统计图，请根据所给信息解答以下问题：
节目 百分比
．《迎福》（综合艺术表演类） 28%
．《世界赠予我的》（歌曲类）
．《画蛇添福》（魔术类）
．《笔走龙蛇》（武术类） 10%
(1)________，________；
(2)请补全条形统计图；
(3)若全校有4000名学生，请估计最喜欢“．《世界赠予我的》（歌曲类）”节目的学生有多少名？
(4)现在小万和小千两名同学选择“最喜欢的春晚节目”，每个节目被选择的可能性相同，两人未提前约定，请用列表或画树状图的方法，求出两人选择同一个节目的概率．
21．如图，在中，，，垂足分别为，，交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！
任务1（密码谜题）：
店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价加密成了一道门锁密码．线索如下：
线索卡：周一用“2份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱；
线索卡：周二用“5份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱．
你的目标：通过线索卡和，破解两种小吃的单价密码．
任务2（经营策略）：
店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件：
1．资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份．
2．人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑份．
3．营收目标：当日总销售额元（已知单价来自任务1）．
挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？
23．如图，在正方形中，对角线相交于点O，E是上一点，连接交于点F，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长及的面积．
24．我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题．
(1)若，求证：四边形是矩形；
(2)如图②，若，以为直径作．
①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长．
25．已知两个不同的点，都在关于的函数（，，是常数，）的图象上．
(1)当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值；
(2)当，两点的坐标满足，，求此函数图象与直线的公共点的个数；
(3)当时，该函数图象与轴交于，两点，顶点的横坐标为，直线恰与该函数图象有三个交点，从左至右依次为，，．请问是否存在实数，使得？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由．
《2026年湖南省长沙市中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
1．A
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案，熟练掌握实数的大小比较法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴下列实数中最小的是，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值．
【详解】解：50亿光年光年；
故选C．
3．C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
5．B
【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
6．B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案．
【详解】解：是半圆的直径，
，
，
，
由题意得，为的平分线，
．
故选：．
8．D
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、∵，∴y随x的增大而减小，故此选项错误，不符合题意；
B、一次函数的图象经过第二、三、四象限，故此选项错误，不符合题意；
C、当时，，当时，，即该函数图象不过点，，故此选项错误，不符合题意；
D、当时，，又y随x的增大而减小，
∴当时，，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查的是利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，先列表得到所有等可能的结果数有20种，所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的情况有：种，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：用，，表示三个白色乒乓球， ，表示两个黄色的乒乓球，
列表如下：
所有等可能的结果数有20种，他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的情况有：种，
∴恰好一个白色一个黄色的概率为．
故选A
10．C
【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键．
根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可．
【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，
∴两人的话必有一真一假，
∵“只有一个小孩说真话”，
∴小张和小明的话都是假话，
∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃．
故选C．
11．
【分析】本题考查了分式，二次根式有意义的条件，掌握分式，二次根式有意义的条件列式是关键．
根据分式，二次根式有意义的条件列式得，由此即可求解．
【详解】解：，
解得，，
故答案为： ．
12．
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：
13．
【分析】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度和坡角的概念．根据坡度等于坡角的正切即可求解．
【详解】解：设坡角为，
由题意得，，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可求解，掌握概率公式是解题的关键．让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【详解】解：一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，
从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，由题意得出，再结合反比例函数图象位于第一、三象限即可得出的值．
【详解】解：∵ 轴于点，的面积为2，
∴，
解得：，
∵反比例函数图象位于第一、三象限，
∴，
故答案为：．
16．/40度
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查乘方，算术平方根，零次幂，特殊角的三角函数的计算，掌握以上知识及计算法则是关键．
分别算出乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值，零次幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
18．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键；
先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
19．(1)平面镜从处移动到处的距离为
(2)灯带的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．
（1）作交延长线于点，解直角三角形求出，即可解答；
（2）作于点，作于点，由题意得，，，根据光的反射得到，，推出，，再解和求出的长，得出的长，再利用即可求解．
【详解】（1）解：作交延长线于点，
根据题意：，
在中，，
在中，，
∴，
答 ：平面镜从处移动到处的距离为；
（2）解：如图，作于点，作于点，
由题意得，，，，
根据光的反射可得，，
又，，
，
，
同理可得：，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
灯带的长约为．
20．(1)
(2)见解析
(3)估计最喜欢“．《世界赠予我的》（歌曲类）”节目的学生有名
(4)树状图见解析，
【分析】本题考查了统计图的应用，用样本估计总体，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据统计图求出的值即可；
（2）先求出喜欢《画蛇添福》（魔术类）的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体的方法计算即可，
（4）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中两人选择同一个节目的结果有种，根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得抽查的学生人数为（名），
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：喜欢《画蛇添福》（魔术类）的人数为（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：（名），
答：估计最喜欢“．《世界赠予我的》（歌曲类）”节目的学生有名；
（4）解：根据题意画树状图如下，
根据树状图得共有种等可能的结果，其中两人选择同一个节目的结果有种，
两人选择同一个节目的概率为．
21．(1)见解析
(2)4
【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质得出，，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）由（1）中全等三角形的性质得出，结合图形即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（2）由（1）得，
∵，
∴．
22．任务1：每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元；任务2：最多能卖出份臭豆腐，此时需搭配份糖油粑粑
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
任务1：设每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
任务2：设每天限供“臭豆腐”的数量为份，则每天限供“糖油粑粑”的数量为份，再根据每天的糖油粑粑份，总销售额元，根据题意列出不等式组，得到的取值范围，即可求解．
【详解】解：任务1：设每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元，
根据题意：，
解得：，
答：每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元，
任务2：设每天限供“臭豆腐”的数量为份，则每天限供“糖油粑粑”的数量为份，
根据题意：，
解得：，
当时，糖油粑粑销量为（份），
答：最多能卖出份臭豆腐，此时需搭配份糖油粑粑．
23．(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线性质定理，添加辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键．
（1）求出即可得出结论；
（2）过点E作于点G，求得，再求出对角线的长，得的长，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴在中，，
∴，即平分；
（2）解：如图，过点 E作于点 G．
由（1）得，平分，
∵，
∴，，
∴在等腰中，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵四边形是正方形，
．
24．(1)证明见解析
(2)①是的切线，理由见解析；②
【分析】（）连接，由切线长定理可得，，，再证明，可得，即得，进而可得，得到，即可求证；
（）①证明四边形是矩形，可得，即得，即可求证；②连接，由切线的性质得，由可得，即得，进而得到，可得，再根据得，最后根据线段的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的内切圆，切点分别记为，，，
∴，，，，，，，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：①是的切线，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
②连接，
∵是的切线，切点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质和解题的关键．
25．(1)
(2)0
(3)存在，，此时函数的最小值为
【分析】（1）利用对称点性质求对称轴，结合点坐标建立方程，消元代入代数式化简．
（2）通过条件等式推导变量关系，结合判别式判断直线与抛物线的交点个数．
（3）分析直线与抛物线的交点情况，结合判别式、根与系数关系及长度关系，建立方程求解．
【详解】（1）解：由点和纵坐标相等，
对称轴为直线，
即，
得，
将代入函数，
得，
，
；
（2）解：由，
得，即，
，是两个不同的点，
，即，
，
由，
得，
即，
，
且，
，
即，
，
，
函数与直线联立，
得，，
，
，
，
函数与直线没有交点；
（3）解：顶点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，直线恰与该函数图象有三个交点，
可得，，
直线与抛物线相切，
即，，
得，
，
该函数图象与轴交于，两点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
所以顶点坐标为，
所以时函数的最小值为．
【点睛】本题综合考查二次函数的对称性、代数式求值、方程根的判别式、几何交点问题及存在性条件分析．解题关键：第（1）题中两点纵坐标相等，直接确定对称轴位置．第（2）题将复杂等式转化为平方和形式，简化条件．第（3）题需结合抛物线与直线的切线条件及根的分布，建立等式关系．
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