2026年中考数学专题巩固练习：二次函数（含解析）

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2026年中考数学专题巩固练习：二次函数
一、单选题
1．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设二次函数（是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 2 n 2 p …
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则以下a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．抛物线的图象经过，，若将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后，与直线只有一个交点，则的值为（ ）
A．3 B．13 C． D．
6．如图，某工程队一边靠墙，用长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，为了方便取物，在各个仓库之间留了宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留了一个宽的小门，那么围成的长方形仓库的最大面积是（ ）．
A．108 B．120 C．140 D．144
7．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为，下列四个命题：其中正确的是（ ）
A．当时，；
B．若，则；
C．抛物线上有两点和，若，且，则；
D．点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当时，四边形周长的最小值为．
8．如图，抛物线与轴交于点A、B，其顶点为．把这条抛物线在轴及其上方的部分记为，将向右平移得到与轴交于点的顶点为，连接．则图中阴影部分图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．求二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为、，其中，有下列结论：
①；②；③；④；⑤；其中，正确的结论的个数有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
10．二次函数的顶点坐标是 ____．
11．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________．
12．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________．
13．如图，已知抛物线与x轴的一个交点，与y轴交于点，在对称轴上有一点P，使得的周长最小，则点P的坐标是_______．
14．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于救援、地形勘察等场景．如图是某次仿生跳跃机器人起跳后的运动路线，可看作抛物线的一部分，若仿生跳跃机器人的跳跃高度（单位：）与跳跃时间（单位：）之间的关系为，则仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为________s．
15．抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的是________．
三、解答题
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）．
(1)若，求抛物线顶点坐标；
(2)已知点、是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
(2)当时，y的最大值是5，求a的值；
(3)在（2）的条件下，当时，y的最大值是m，最小值是n，且．求t的值．
18．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当线段最短时，求点的坐标；
(3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值．
19．学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．
(1)当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）；
(2)第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式；
(3)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加米，水柱落点形成的圆半径相应增加米，与之间存在一定的数量关系，求出与之间的数量关系式；
(4)已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由．
20．如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《2026年中考数学专题巩固练习：二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D A D A B D C B D
1．D
【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标．
【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为，
∴在抛物线中，令，
得，
∴抛物线与轴的交点坐标是．
2．A
【分析】根据表格中函数值相等的两点确定二次函数对称轴，得到系数关系，再结合“三个数中只有一个正数”的条件列出不等式，求出a的取值范围，即可判断选项.
【详解】∵当和时，y值都为2，
∴二次函数的对称轴为直线，
由对称轴公式，可得，
∴二次函数解析式为，
∵点和关于对称轴对称，
∴，
∵中只有一个正数，
∴，
将代入解析式，得，
∴，解得，
对比选项，只有A选项，符合条件．
3．D
【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三点到对称轴的距离即可得到结论．
【详解】解：∵抛物线中，，
∴对称轴为直线，
分别计算三点到对称轴的距离：
点到对称轴的距离，
点到对称轴的距离，
，即，
∴点到对称轴的距离，，
，
．
4．A
【分析】分两种情况讨论：当线段与函数的图象恰有1个公共点，令，，求出c的值，当线段与函数的图象恰有3个公共点，抛物线与轴交点纵坐标为1，可求c的值，进而得出取值范围；当线段与函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出c的值，当线段与函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求c的值，进而得出取值范围．
【详解】解：如图1所示：线段与函数的图象恰有1个公共点．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，即，
解得；
如图2所示：线段与函数的图象恰有2个公共点．
抛物线与轴交点纵坐标为1，
，
解得：；
当时，线段与二次函数的图象恰有2个公共点；
如图3所示：线段与二次函数的图象恰有3个公共点．
抛物线经过点，
．
如图4所示：线段与二次函数的图象恰有2个公共点．
抛物线经过点，
，
解得：．
当时，线段与函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，c的取值范围是或．
【点睛】本题以分段二次函数与线段交点为载体，结合抛物线对称轴、顶点与特殊点代入，通过临界值分析与分类讨论确定参数范围，体现了数形结合与分类讨论的核心数学思想．
5．B
【分析】根据原抛物线与x轴的交点坐标可用含s的式子表示出b、c，进而可求出原抛物线的顶点的坐标，根据平移方式可得平移后的抛物线的解析式和顶点坐标，根据平移后的抛物线的图象开口向下可推出平移后的抛物线的顶点在直线上，据此建立方程求解即可．
【详解】解：∵抛物线的图象经过，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
在中，当时，
，
∴抛物线的顶点坐标为；
将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后的抛物线解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线的图象开口向下，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴抛物线的顶点在直线上，
∴，
∴．
6．D
【分析】设垂直于墙的边长为 x米，根据铁栅栏总长及缺口长度表示出平行于墙的边长，进而列出面积公式，最后利用二次函数性质求最值即可．
【详解】解：设垂直于墙的边长为 x米，
由图可知，垂直于墙的边有4条，平行于墙的边有1条． 则在各个仓库之间留了 宽的缺口（共2个），在平行于墙的一边留了宽的小门（共1个），
∴ 缺口总长度为 ．
∴ 平行于墙的边长为米．
设仓库总面积为 平方米，
则，
∵ ，
∴ 当 时，有最大值，最大值为 ．
7．C
【分析】对于选项A，根据二次函数所过象限，判断出y的符号即可判断；对于选项B，根据A、B关于对称轴对称，求出b的值即可判断；对于选项C，根据，，得到，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；对于选项D，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接与的和即为四边形周长的最小值．求出的坐标即可解答．
【详解】解：当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，；
故A选项错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
∵点和关于直线对称，，
∴，
解得，
故B选项错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∴Q点距离对称轴比P点距离对称轴远，
又∵抛物线开口向下，
∴，
故C选项正确，符合题意；
如图，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，
连接与的和即为四边形周长的最小值．
当时，二次函数为，
∴顶点，则；
当时，，
∴点C坐标为，则，；
∴，，
∴四边形周长的最小值为，
故D选项错误，不符合题意．
8．B
【分析】过点作于点，根据题意和平移的特点，可以发现图中阴影部分图形的面积等于矩形的面积，然后根据抛物线解析式可以求得和的长，然后即可得到矩形的面积，从而可以得到阴影部分的面积．
【详解】过点作于点，如图所示，
则阴影部分的面积等于四边形的面积，
当时，，
解得，，
，
根据解析式可得，该抛物线的顶点坐标为，
∴，
∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为，将向右平移得到，与x轴交于点B、D，的顶点为F，
，
，
，
，
四边形是矩形，
则矩形的面积是，
∴图中阴影部分图形的面积为4．
9．D
【分析】根据图象的开口方向、对称轴的位置和与y轴的交点位置即可判断a、b、c的符号，从而判断①；然后根据对称轴即可求出的关系，再结合即可判断②；利用对称性可得当时和当时的函数值相同，再结合图象即可判断③；利用二次函数的最值即可判断④；根据对称轴公式、当时y的符号和c的取值范围即可判断⑤．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在负半轴
∴，，，
∴，故①错误；
∵其对称轴为直线，与轴的交点为、，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故②正确；
根据对称性可知：当时和当时的函数值相同，
由图可知，当时，，
∴当时，，故③错误；
当时，y有最小值，此时，
∴当时，
∴，故④错误；
由图象可知：，
解得：
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，故⑤正确．
正确的结论有②⑤，共2个．
10．
【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接可得顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式为，
∴顶点坐标为．
11．
【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标．
【详解】解：设，，且，坐标原点为O，
对于抛物线，令，得，即，
令，得，整理得，
由根与系数的关系得，，
如图，
∵，，
∴，，
∴，
又
∴，
∴，即，
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴，且，
∴，
∴，
代入，得，即，
解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件.
将代入得，
解得，，
∵，
∴，
∴点A坐标为 ．
12．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点为，
设另一个交点为，
，
解得：，
故另一个交点为，
关于的方程的解是：，
13．
【分析】设抛物线与x轴的另外一个交点为点C，连接，交抛物线的对称轴于点P，先求出抛物线的解析式为：，得出抛物线的对称轴为直线，根据对称性说明此时最小，即最小，即的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为，然后求出点P的坐标即可．
【详解】解：设抛物线与x轴的另外一个交点为点C，连接，交抛物线的对称轴于点P，连接，如图所示：
∵抛物线与x轴的一个交点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另外一个交点C与关于直线对称，
∴点的坐标为，
根据对称性可得：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
∵为定值，
∴此时的周长最小，
设直线的解析式为，把或代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：．
即的周长最小时，点P的坐标为．
14．4
【分析】令时，则，解得，再列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，令时，则，
解得，
则，
∴仿生跳跃机器人从起跳到落地所用的时间为．
15．①②③④
【分析】根据抛物线开口，对称轴判断的符号即可判断①，将代入解析式，结合函数图象即可判断②，根据抛物线与有交点判断③，将代入得出，进而判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，即可判断⑤．
【详解】解：根据抛物线开口向下，可知，
因为抛物线对称轴是直线，
所以，即，
抛物线与y轴的交点在正半轴，
所以，故，①正确；
因为抛物线对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为，
所以与x轴的一个交点坐标为，代入得，
，②正确；
由图象可知，当时，对应的自变量值有两个，即方程有两个不相等的实数根，③正确；
把代入得，，则，④正确；
当时，说明点离对称轴远，
因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，
所以，⑤错误；
综上可知，正确的有①②③④．
16．(1)
(2)或
【分析】（1）将代入关系式，再配方得出顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，再分两种情况结合二次函数图象的性质得出答案即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴抛物线的顶点坐标是；
（2）解：抛物线的对称轴，
当时，点在对称轴右侧，可知，
∴
解得；
当时，点在对称轴右侧，点一定在对称轴右侧，
∴
解得，
∴．
则a的取值范围是或．
17．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)t的值为或2
【分析】（1）将抛物线上的点代入抛物线解析式，再结合对称轴，即可解得、的值，再将、值代入抛物线解析式即可得出答案；
（2）根据抛物线的性质，结合的范围可知，当时，取得最大值，即可求解；
（3）分四种情况讨论，根据最大与最小值差的关系式即可求得值．
【详解】（1）解：由点和对称轴，可列方程组，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线，且1到的距离大于1到3的距离，
∴当时，y的值最大，
∵，
∴，
∵y的最大值是5，
∴当时，，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴抛物线的解析式为，
①当时，
y的最大值是，
最小值是，
∵，
∴，
解得．
②当时，y的最大值是，最小值是．
∵，
∴
解得（不成立）；
③当时，y的最大值是，
最小值是．
∴
解得（不成立）；
④当时，y的最大值是，
最小值是，
∴
解得．
综上，t的值为或2．
【点睛】本题为二次函数综合题，融合对称轴性质、待定系数法、区间最值与分类讨论思想，通过分析区间内函数增减性确定最值，体现数形结合与逻辑推理的核心数学素养．
18．(1)
(2)点P的坐标为；
(3)的值为或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵和
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
又∵轴，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴当时，最短，
∴当时，；
∴点P的坐标为；
（3）解：当时，；
当时，；
，
∴抛物线的对称轴为；
①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴最大值与最小值的差为，
解得，不符合题意舍去；
②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴最大值与最小值的差为，
解得，不符合题意舍去；
③当时，即，此时最大值为，
∴最小值为，
若，则或（舍去）；
若，则或（舍去）；
故的值为或．
19．(1)
(2)
(3)
(4)能，理由见解析
【分析】（1）先设抛物线的顶点式为，再将点代入可得答案；
（2）根据第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点可得答案；
（3）将抛物线向上平移h米，经过点，可得，整理得出答案；
（4）将代入关系式，求出解比较得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为，
将点代入，得，
解得，
∴水柱所在的抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴抛物线的顶点式为；
（3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得
，
则；
（4）解：能，理由如下：
当时，，
解得或（舍去）
∵，，
则，
所以绿化带能被水柱喷灌到．
20．(1)
(2)当时，的面积最大
(3)或
【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式；
（2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线的解析式为，
令，即，
解得，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得，
所以直线的解析式为，
设点的坐标是，
点是直线下方抛物线上的动点，
，
过点作于点，则，
，
的面积，
当时，的面积最大值为，
当时，；
（3）解：，
，
如图，连接，
设的解析式为，
将、代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
令，即，解得，
点的坐标为，
，且，
，
，
设点，
点在线段上，
，
则，
，
分情况讨论：
①当时，有，
，
解得，满足，
则此时，
此时点的坐标为．
②当时，有，
，
解得，满足，
此时，
此时点的坐标为，
点的坐标为或．
【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度．
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