2026年中考数学专题巩固练习：锐角三角函数（含解析）

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2026年中考数学专题巩固练习：锐角三角函数
一、单选题
1．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．一辆小车沿着斜坡向上行驶了50米（坡度），则此时该小车的竖直高度上升（ ）
A．米 B．25米 C．米 D．米
3．如图，在中，，，垂足为D，若，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．在中，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．已知公式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．如图，在矩形中，交于点，将翻折得到，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，分别与相切于点A，B，连接并延长与交于点C，D．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度，将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：______．（结果保留根号）
12．在中，．若，，则_______．
13．如图，在中，，，，则的度数为______．
14．在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________．
16．如图，正方形的边长是，，分别在，的延长线上，，连接，交于点，并分别与，交于点，，连接．下列结论：
；；；当时，；
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，，，点在边上，，求长．（参考数据：，，）．
20．已知：在中，点是弦上的动点（不与点，重合），过点作交于点，，连接，，，，过点作于点，交于点．
(1)如图1，若经过点．
①求证：．
②若，，求的半径．
(2)如图2，若，设，，求关于的函数表达式．
21．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导管紧贴水面，延长交于点，且（点，，，在同一直线上），经测得，，，求的长．（结果保留整数）（参考数据：，，）
22．如图，在中，，点D是平面内一点，满足．
(1)延长交直线于点E，过点A作交直线于点F．
①如图1，若，且，求的长；
②如图2，延长交直线于点G，连接，若，求证：；
(2)如图3，将绕着点B沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积．
《2026年中考数学专题巩固练习：锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C A A A B D C
1．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设，则，根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的意义即可求出，准确计算是解题的关键．
【详解】：如图，设，则，

∵，
∴，
∴，
故选：．
2．C
【分析】本题考查坡度的概念及勾股定理的应用．先根据坡度定义设出竖直高度与水平宽度，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设小车竖直高度上升了米，
∵坡度
∴水平宽度为米，
∵小车沿斜坡行驶的距离为斜边，长度为50米，
根据勾股定理得：，
解得（舍去负根），
即此时该小车的竖直高度上升为米．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了求正切值，等角的余角相等．
根据等角的余角相等得到，求出的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∵，，，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．在中，根据的定义和勾股定理，设，，通过方程求解x，再求．
【详解】解：如图，
∵，，
∴ 设，，
∵，由勾股定理，，
∴，
解得（舍）或，
∴．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将分解为和之和，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意得米，，由余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：如图，米，
∵，
∴，
在中，，
∴米，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，特殊角三角函数值，先求解，再进一步求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，据此求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故选：B．
9．D
【分析】连接，根据切线长定理得到，得，得，由，得，由即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵分别与相切于点A、B，连接并延长与交于点C、D，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的计算，掌握三角函数值的计算是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握正切的定义是解题的关键．
利用容器内水的体积不变，剩余无水体积也不发生改变，列出方程，求出的长，再根据题意，易得，求即可求出．
【详解】解：棱长为的密封透明正方体容器，，
水的体积为：（），则剩余无水的体积为：（），
将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，
和斜坡平行，即也表示坡角，则，
且无水的体积是以长为，宽为，高为的长方体体积的一半，容器内水的体积不变，剩余无水体积也不发生改变，
，解得，
在中，，
．
故选：C．
11．
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算．
【详解】解：
．
12．
【分析】过点C作，交的延长线于点D，推导出，得到，，进而求出，，得到，根据勾股定理，求出，则，即可解答．
【详解】解：过点C作，交的延长线于点D，如图
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．/60度
【分析】求出的正弦值，即可求解度数．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
14．
【分析】先判断是等腰直角三角形，则，，容易证明，则，利用三角形外角的性质可证明，从而得到．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．2
【分析】根据勾股定理计算三边长，根据勾股定理逆定理判断，进而结合锐角三角函数的定义计算的值．
【详解】解：根据勾股定理得，，
，
，
，
，
，
故答案为：2 ．
16．
【分析】由四边形是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到，故正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到，故错误；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即，故正确；根据相似三角形的性质得到，求得，，，由三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；故正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故错误；
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，即，故正确；
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，故正确，
∴正确结论的序号是：．
17．
【详解】解：
．
18．，2
【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则进行计算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂的法则求出的值，再代入计算即可．
【详解】解： 原式
=，
，
将代入，原式．
19．．
【分析】先证明是等腰直角三角形，求得，再在中，利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
20．(1)①见解析；②的半径为2.5
(2)或
【分析】（1）①证明，即可得到；
②连接，推出垂直平分，设，，利用勾股定理求得，在中，求得，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）分①当点E靠近点D时，当点E靠近点B时，两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：连接，
∵，经过点O，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
在中，，
∴，
令，则，，
∴在中，由勾股定理得，
解得；
（2）解：①当点E靠近点D时，
∵，
∴．∴，
∴，
∵，∴，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点E靠近点B时，
同理可证和均为等腰直角三角形，
令，
∴，，
∴，
∴；
∴综合上得：或．
21．
【分析】延长、交于，先证明四边形为矩形，利用三角函数关系求出和，求出的长，再根据已知条件得出，根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】解此类题的关键是根据已知条件准确作辅助线，构造直角三角形．
22．(1)①；②见解析
(2)的面积为
【分析】（1）①证明及，求出，，即可求出结论；②过点A作于点H，交于点T，证明，及，即可得出结论；
（2）将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，证明，证出点M在线段的垂直平分线上，设垂足为Q，当时，的值最小，求出，，，根据求出结论．
【详解】（1）①解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：如图2中，过点A作于点H，交于点T．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：的面积为．理由如下：
如图中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M在线段的垂直平分线上，
设垂足为Q，当时，的值最小，
如图，设交于点J，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴
．
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