2026年中考数学专题巩固练习：相似（含解析）

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2026年中考数学专题巩固练习：相似
一、单选题
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点，将线段平移到线段，若，，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形中，，对角线，交于点E，若，，且，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，正方形的边长是，点、分别是边、上的点，，连接、，点是的中点，连接、，则四边形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
9．如图1，正方形中，点E为边上一动点，连接，过点D作于P，连接，设长度为x，长度为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中点P是函数图象的最低点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点是中点，点是上一点，连接、，满足．点是中点，点是中点，连接、，与相交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，______．
12．若线段，点C是线段的黄金分割点，且，则______．
13．如图，在中，点M，N分别在上，且．已知，则_______．
14．如图，在矩形中，，，O是对角线的中点，点E，F在边上（），且．当为等腰三角形时，则的长为________．
15．如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______．
16．我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接交于点M，连接．若，则的值为___________．
三、解答题
17．如图，为的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，，求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
(1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出；
(2)设与的周长分别为、，则________．
19．如图①，在梯形中，，，．
(1)求证：．
(2)若点M，N分别在上，连接，且．
①若（如图②），求证:．
②若，以为边作正方形，交于点F（如图③），当，时，直接写出的面积是______．
20．某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究：在矩形中，点在上，，
(1)【观察与猜想】如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：；
(2)【类比探究】如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：；
(3)【拓展延伸】如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是4.5，直接写出长．
21．如图，抛物线与轴相交于两点（点在轴的正半轴上），直线与抛物线相交于两点．
(1)求点和点的坐标（用含的式子表示）：
(2)点为抛物线上的一个点，连接，，交轴于点．的内心在轴上，且为的中点，连接．求证：；
(3)在（2）条件下，设为抛物线上的一个动点，且在直线的下方．以点为圆心的与直线相切，记的最大半径为．试判断是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
《2026年中考数学专题巩固练习：相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C A A C D D A
1．B
【分析】由，可设，再代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
∴．
2．B
【分析】利用相似三角形对应高之比等于相似比，周长之比等于相似比求解．
【详解】解：∵两个相似三角形对应高之比为，
∴两个三角形的相似比为，
∴这两个三角形的周长之比为．
3．B
【分析】过点C作轴于点H，证明，由相似三角形的性质得点C的坐标，根据平移的性质即可求得点D的坐标．
【详解】解：过点C作轴于点H，如图所示：则，
∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C坐标为，
∵点B向右平移6个单位长度再向上平移2个单位长度得到点C，且线段平移到线段，
∴点A向右平移6个单位长度再向上平移2个单位长度得点．
【点睛】作垂线构造相似三角形是解题的关键．
4．C
【分析】根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，
∴
∵四边形为正方形，
∴，
设，，
∴
∴（负值舍去）
∴．
5．A
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
设，则，，根据勾股定理求出，证明，利用对应边成比例，进行求解即可．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．A
【分析】先过点作，，分别交和于点，连接，结合正方形的性质和，，推出，，再结合点是的中点得到，，最后根据，代入数值求解即可．
【详解】如图，过点作，，分别交和于点，连接，
∵正方形，且边长为，
∴，，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
．
7．C
【分析】设，根据正方形的性质求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，
设，
∵点P为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
8．D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论．
连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为．
∴正方形的边长为2，正方形的边长为4，
∴，，，．
分以下两种情况讨论：
①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心．
设直线解析式为，可得：
，解得：．
∴，
当时，，即点．
正方形与正方形的位似中心的坐标是；
②如图②，连接，交于点．
由题意，得，，，．
易求出直线的表达式为，直线的表达式为．
联立解得．
点的坐标为，
正方形与正方形的位似中心的坐标是．
综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或．
9．D
【分析】由图2可知，当时，，根据正方形的性质及三线合一求出，根据勾股定理得到，取中点O，可知，连接，可知点P在以为圆心，为半径的圆上运动，当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，，根据勾股定理得到，可知，过点P作交于H，可知，证明，求出，根据勾股定理得到，证明，求出，得到，即可求出的值．
【详解】解：如图3，由图2可知，当时，，
∵正方形中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（负值舍去），
如图4，取中点O，可知，连接，
∵于P，
∴点P在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴，
∴当A、P、O三点共线时，有最小值，可知此时，，
∵，，
∴，
∴，
过点P作交于H，可知，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
10．A
【分析】连接，延长，截取，连接，取的中点N，连接，取的中点K，连接，，设，则，证明，得出，，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，证明、H、K三点在同一直线上，求出，证明，得出，求出，，，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，延长，截取，连接，取的中点N，连接，取的中点K，连接，，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵为的中点，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∵F为的中点，为的中点，，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵H为的中点，为的中点，
∴，，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴、H、K三点在同一直线上，
∴，
∵为的中点，H为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，，
∴．
11．
【分析】由题干可得，则可令，则，将它们代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
令，则，
∴．
12．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵线段，点C是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴．
13．12
【分析】证明，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
14．或或
【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情况：①；②；③，根据相似三角形的性质或勾股定理进行求解即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
，，
是对角线的中点，
，
①当时，如图1，作于点，于点，
则，，，
，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
；
②当时，如图2，作于点，
则，，
，
，
，
，即，
解得，
设，则，
，
，
解得，
，
；
③当时，如图3，作于点，
则，，
，
，
，
，即，
解得，
；
综上所述，的长为或或．
15．
【分析】过点作轴于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】解：过点作轴于，如图：
∵矩形的面积为24，
∴，
，
，，
，
设，
则，，
与x轴负半轴的夹角为，
，
，
，即：，
解得：，
，
由图得：，
故答案为：．
16．
【分析】根据相似三角形的判定与性质得到，根据勾股定理及面积法得到与的长，再根据，得到和的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，过作于，
由题可得，，，
，
，
设，则，，，
中，，
，
，，
，
，
，，
，
．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用切线性质得，结合，推出，得到．由得，故，即平分．结合、及公共边，用证明，得结论；
（2）由得半径，是中点，故，，由全等得．由，得，建立比例．设，代入、，解方程，得，即．
【详解】（1）证明：如图，连接，
直线为的切线，
，
与切线垂直，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
即．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可；
（2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
；
（2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到．
，相似比为，即周长比为．
19．(1)见解析
(2)①见解析；②．
【分析】（1）利用等边对等角可得，再由可得，进而得，再说明，易证，再利用相似三角形的性质即可证明结论；
（2）①如图2：连接，再证明，由相似三角形的性质得到比例式，设，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可求得，进而表示出，代入比例式即可证明结论；②如图3：连接，由与求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出与，过E作于H，利用得出，求出与的长，由可得的长，再由的长，利用三角形面积公式求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即．
（2）解：①如图2：连接，
由并结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，如图2：过点A作于E，则，
∴，
∴，
如图2：过点D作于F，同理可得：，
∴，
∴；
②如图3，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过点E作于H，
则，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质和已知数据，证明；
（2）根据矩形的性质可得，再通过导角证明，即可证明；
（3）过作于，根据的面积可得，同（2）可证，推出，进而求出，再利用勾股定理解求出，即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：如图，过F作于G，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同（2）可证：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：．
21．(1)，
(2)见解析
(3)为定值
【分析】（1）将代入求出；联立和即可求出；
（2）如图，过点P作轴于点B，首先得到，求出，得到，然后得到，推出；然后求出，由中点坐标公式得到，得到轴，然后结合三角形内角和定理即可证明；
（3）如图，设与直线相切于点B，连接，，，过点Q作轴交直线于点D， 设，则，得到，利用的面积得到，表示出，利用二次函数的性质求出的最大值为，即，然后证明出，得到，然后求出，最后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线
∴当时，
解得或
∴；
联立和得，
解得或
将代入得，
∴；
（2）解：如图，过点P作轴于点B，
∵直线
∴
∵的内心在轴上，
∴
∴
∵为的中点，
∴
∴
∵轴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴；
∵
∴所在直线表达式为
联立和得，
解得或
∴
∵，为的中点，
∴，即
∵
∴轴
∴
∵
∴
∵
∴；
（3）解：如图，设与直线相切于点B，连接，，，过点Q作轴交直线于点D，
设，则
∴
∵，
∴
∵与直线相切于点B，
∴
∴
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值
∵的最大半径为
∴
由（2）得，
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴为定值．
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