2026年中考数学专题巩固练习：圆（含解析）

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2026年中考数学专题巩固练习：圆
一、单选题
1．如图，点在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，已知正六边形的半径为2，且点O为正六边形的中心，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A、B、C均在上，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E，则弧的长为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，正方形的边长为．以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与相交于点E，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，是的切线，点，是切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，，，垂足为E．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连接、，若，，则的直径为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题
11．若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______．
12．用弧长为的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为________．
13．如图，是正五边形的外接圆，点为上的一点，，则的度数为_________ ．
14．如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点D，E，则弦的长为________．
15．如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的面积为_______ ．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与网格线相交于点C，D．
（1）的大小为________（度）；
（2）点P在直径上，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________．
三、解答题
17．如图，在直角三角形中，．
(1)先作的平分线；设它交边于点，再以点为圆心，为半径作（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：与相切；
18．如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点D，于点F，连接，且．
(1)求证：；
(2)求线段的长度．
19．如图，是的直径，点，是上位于直径异侧的两点，且，，交的延长线于点，且平分．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
20．在中，弦垂直平分半径，与相交于点D，E为弦所对优弧上一点，连接，．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，过点C作的切线，与的延长线相交于点F．若的半径为4，，求线段的长．
21．如图，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接．
(1)当点在边上时，的度数为______；
(2)连接，在旋转过程中求出的最小值，并求出此时的长；
(3)若点到直线的距离为3时，求边扫过区域的面积；
(4)连接，直接写出的最小值．
22．【定理感知】
克罗狄斯 托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．
【定理理解】
如图，在四边形中，有，特别地，当时，有．
【定理运用】
请直接运用该定理解决下列问题：
(1)如图（1），四边形为的内接四边形，为直径，，，且，则的长为 ．
(2)如图（2），半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上的一点，以为一边作等边三角形，求的最大值及此时的长．
(3)如图（3），已知四边形中，，，，求的最大值．
《2026年中考数学专题巩固练习：圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A C B B C B A
1．C
【详解】解：∵，，
∴．
2．D
【分析】已知扇形的圆心角和面积，利用扇形面积公式即可计算出半径，得到正确选项.
【详解】设该扇形的半径为米，
∵扇形面积公式为，本题中，，
∴代入公式得，
化简得，
等式两边同时除以，得，
整理得，
∵半径为正数，
∴米，
故选：D．
3．C
【分析】连接，作于点，得到，，得出是等边三角形，求出，再由求解即可．
【详解】解：如图，连接，作于点，
正六边形的半径为2，且点为正六边形的中心，
，，
是等边三角形，
，
，
，
．
4．A
【分析】根据圆周角定理得到，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
．
5．C
【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴弧的长为．
6．B
【分析】根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积．
【详解】解：与圆切于点，
显然根据切线长定理有，，
设，
则，，
在三角形中由勾股定理得：
，
，
，
，
．
7．B
【分析】根据圆周角定理求出的度数，根据切线的性质得出，，然后根据四边形的内角和为求解即可．
【详解】解：连接、，
∵，
∴，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∴．
8．C
【分析】连接，并延长交于，交于，证明，推出，再证明，求得，在中，利用勾股定理求得的长，再利用等积法求得，从而求出，再证明对角线互相垂直的四边形对边平方和相等，即，再代入求解即可．
【详解】解：连接，并延长交于，交于，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：．
9．B
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长．
10．A
【分析】连接，由30度角所对的直角边等于斜边一半，可得，再结合圆的切线的性质，证明出是等边三角形，进而得出，，最后得出，求出半径，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
，
与相切于点E，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
的直径为4．
11．
【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径求解即可．
【详解】解：∵的半径为8，，且点在外，
∴的取值范围为．
12．4
【分析】圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，据此列方程求解即可．
【详解】解：设圆锥底面半径为，
则根据题意得 ，，
解得，
圆锥底面半径为，
故答案为：4 ．
13．/100度
【分析】根据多边形是正五边形，求出，进而得到，再结合圆内接四边形性质求解，即可解题．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
作于，则，由勾股定理得，通过，从而求出，然后通过勾股定理得，然后代入即可求出的长．
【详解】解：如图，作于，
∴，
在中，由勾股定理，得
∵，
得，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴．
故答案为：．
15．30
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，首先根据垂径定理可得，再在中，由勾股定理解得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵是的直径，，，且，
∴，，
∴在中，，
∴．
故答案为：30．
16． 作点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求
【分析】（1）由圆周角定理即可得出结果；
（2）连接并延长交格点于点，连接，交圆于点，连接、，交点为点，连接并延长，交于点，交圆于点，证明点为的垂心，得出，由垂径定理可得垂直平分，即，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接、，由圆周角定理可得，证明，得出，即点与点关于对称，连接，交于点，连接，点即为所求．
【详解】解：（1）∵为直径，
∴；
（2）如图，连接并延长交格点于点，连接，交圆于点，连接、，交点为点，连接并延长，交于点，交圆于点，
，
∵为直径，
∴，即，，
∴点为的垂心，
∴，
∵为直径，
∴由垂径定理可得垂直平分，
连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接、，
∴，
由圆周角定理可得：，
∵，
∴，
∴，即点与点关于对称，
连接，交于点，连接，点即为所求．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）过作垂直于，根据角平分线的性质定理得到，即可证明．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：过作垂直于，
平分，，，
，
是的半径，
是的切线．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质、圆的性质、平行线的判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是利用等边三角形的内角为，结合圆的半径相等推出平行关系，再通过直角三角形的性质和勾股定理求解．
（1）判定是等边三角形，得到，，因此，判定，即可证明；
（2）由含度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，进而再由勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）设圆的半径为，则，
是等边三角形，
，
由（1）知是等边三角形，，
，
在中，，，
，
（直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半），
，即，
又，，
，
，
，
在中，由勾股定理：
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先证明，再根据为的半径，即可证明结论；
（2）连接，，过点作于，证明为等边三角形，得出，根据，得出，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，求出，，最后求出．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵，
，
平分，
，
，
∵，
，
，即，
又∵为的半径，
为的切线；
（2）解：连接，，过点作于，如图2所示：
∵，，
，
在中，，
平分，
，
∵，
为等边三角形，
，
，
∵，
，
∵，
为等边三角形，
，
∵，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）连接，证明为等边三角形，再根据垂径定理可得，可得的大小，再利用圆周角定理可得的大小；
（2）连接，延长交于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，再证明四边形为矩形，可得，即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接，
弦垂直平分半径，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，是的切线，，
四边形为矩形，
，
21．(1)；
(2)的最小值为，此时的长为；
(3)或；
(4)
【分析】（1）由旋转得，结合可知垂直平分，故；用证，结合矩形，得．
（2）在以为圆心、为半径的圆上，矩形对角线，故最小值为；设，在中列方程求解得．
（3）边扫过区域为扇形，分在矩形内、外两种情况：由到距离为得，在矩形内时旋转角，面积；在矩形外时，面积．
（3），取中点，由斜边中线得；在中算得，故最小值为．
【详解】（1）解：∵边绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴．
在和中，
，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
（2）解：∵绕点旋转，
∴点在以为圆心，为半径的圆上．
∵四边形是矩形，，，
∴．
根据两点之间线段最短，当在线段上时，取得最小值，最小值为．
由（1），
∴，，，
∴，．
设，则．
在中，，解得，
∴．
（3）解：如图，过点作于，由题意得．
∵，在中，，
∴．
当在矩形内时，，
此时．
当在矩形外时，，
此时．
综上，边扫过区域的面积或．
（4）解：如图，取的中点，连接、．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，，，
∴，．
在中，由勾股定理得．
∵，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，
∴最小值为．
22．(1)
(2)的最大值为3，
(3)最大值为5
【分析】（1）根据圆周角定理，结合含特殊角的直角三角形，求出的长，利用托勒密定理，求出的长即可；
（2）设，利用托勒密定理求出的最大值，过点B作，利用勾股定理求出的长即可；
（3）勾股定理，求出的长，利用托勒密定理得到，进而求出的最大值即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形是内接四边形，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由托勒密定理得：，
∴，
∴．
（2）解：由题得，，
∵是等边三角形，
∴设，
在四边形中，由托勒密定理得：
，
∴，
∴，
当且仅当时，等号成立，
又∵，
∴，
如图（4），过点B作，
∴在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴的最大值为3，．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴A，B，C，D四点共圆，在四边形中，由托勒密定理得：
，
∴，
∴，
又∵A，B，C，D四点共圆，且为直径，
∴，
如图（5），当且仅当为直径时，等号成立
∴，
∴的最大值为5．
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