1.2 第1课时 等腰三角形的性质 课件(共33张PPT)--北师大版（新教材）数学八年级下册

(共33张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.2第1课时等腰三角形的性质第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.2第1课时等腰三角形的性质练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“等腰三角形的性质”核心内容设计，侧重等腰三角形的定义、轴对称性，以及“等边对等角”“三线合一”两大核心性质的理解与简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握等腰三角形的基本特征，能运用性质求未知角度、判断线段关系，理解性质的推导思路，规避性质混淆、应用不规范等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于等腰三角形的定义，正确的是（）A.有两个角相等的三角形叫做等腰三角形B.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形C.有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形D.有三条边相等的三角形叫做等腰三角形2.等腰三角形的对称轴是（）A.底边上的高所在的直线B.底边上的中线所在的线段C.顶角的平分线所在的线段D.腰上的高所在的直线3.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B的度数为（）A. 50°B. 65°C. 80°D. 130°4.下列关于等腰三角形“三线合一”性质的说法，正确的是（）A.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合B.等腰三角形的顶角平分线、腰上的中线、腰上的高互相重合C.等腰三角形的任意一个角的平分线、对边上的中线、对边上的高互相重合D.所有三角形都具有“三线合一”的性质5.等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角的度数为（）A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°二、填空题（每题4分，共20分）1.等腰三角形中，相等的两条边叫做________，另一条边叫做________；两腰的夹角叫做________，腰与底边的夹角叫做________。2.等腰三角形的性质1：等腰三角形的两底角________（简称为“________”）。3.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的________、底边上的________互相重合（简称为“三线合一”）。4.在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则BD=________，∠BAD=________。5.若等腰三角形的一个内角为80°，则它的另外两个内角的度数分别为________。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用等腰三角形的性质，求下列等腰三角形中未知角的度数（写出完整步骤）。（1）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=70°，求∠B和∠C的度数；（2）在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，求∠A的度数；（3）在等腰△ABC中，一个内角为100°，求另外两个内角的度数。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合等腰三角形的性质）。（1）判断：等腰三角形的两个底角一定是锐角；（2）解题：在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠BAD=30°，求∠C的度数。解：因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，∠ADB=90°，∠B=90°-30°=60°，故∠C=60°；（3）推导：因为等腰三角形是轴对称图形，所以它的两底角相等，该推导正确。四、拓展题（10分）已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD是顶角∠BAC的平分线，交BC于点D，若BC=8cm，AD=3cm，求△ABC的周长（提示：利用“三线合一”性质求腰长）。五、应用题（10分）一个等腰三角形的一个外角为100°，求这个等腰三角形的三个内角的度数；若这个外角是顶角的外角，求腰与底边的夹角的度数。参考答案提示：一、1.B 2.A 3.B 4.A 5.A；二、1.腰，底边，顶角，底角2.相等，等边对等角3.中线，高4.CD，∠CAD 5.80°、20°或50°、50°；三、1.（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∠B=∠C=(180°-70°)÷2=55°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∠A=180°-40°×2=100°；（3）当100°为顶角时，另外两个内角为40°、40°；当100°为底角时，无法构成三角形，故另外两个内角为40°、40°；2.（1）正确，理由：等腰三角形两底角相等，若底角为直角或钝角，两底角和≥180°，不符合三角形内角和定理；（2）不正确，改正：∵AB=AC，AD是BC中线，∴AD平分∠BAC，∠BAC=2∠BAD=60°，∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°，错误原因：未先利用“三线合一”求顶角，步骤不完整；（3）正确；四、∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=4cm，在Rt△ABD中，AB=√(AD +BD )=5cm，周长=5+5+8=18cm；五、当外角为底角的外角时，三个内角为80°、80°、20°；当外角为顶角的外角时，三个内角为80°、50°、50°；若外角是顶角的外角，腰与底边的夹角（底角）为50°。议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
等腰三角形的性质及其推论
1
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
A
B
C
D
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
证一证
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，
∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
归纳总结
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
几何语言：如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
典例精析
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：
AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
∴ AF⊥BC.
∵ AB＝AC，
∴ BF＝CF.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＝CE.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
想一想，不构造辅助线可以结论吗？
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理呢？
等边三角形的性质
2
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
C
B
证明：在△ABC 中，
证一证
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
同理∠A =∠B.
∴∠B =∠C (等边对等角).
∵ AB = AC (已知)，
B
C
D
A
E
例2 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，
BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C＝________。
70°
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2．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°。
100
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3．如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝______°。
65
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4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB的度数为(　　)
A．100°
B．115°
C．130°
D．145°
B
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5．(4分)如图，在△ABC中，点D在边AC上，AB＝BD＝CD。若∠A＝50°，求∠C的度数。
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6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠B＝61°，则∠BAD的度数为(　　)
A．61°
B．58°
C．29°
D．39°
C
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7．[扬州中考]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)
A．∠ADB＝∠ADC
B．∠B＝∠C
C．BD＝CD
D．AD平分∠BAC
B
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8．(4分)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝10°，求∠AEC的度数。
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9．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为(　　)
A．60°
B．80°
C．90°
D．100°
B
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10．如图，在等边三角形ABC中，AD为△ABC的角平分线。若BD＝2，则∠BAD的度数为________，AC的长为________。
30°
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4
11．(4分)如图，点D，E分别是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且BD＝CE。求证：AD＝BE。
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°。
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE。
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12.若等腰三角形的一个内角为40°，则它的底角为(　　)
A．70° B．40°
C．40°或70° D．30°或75°
C
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13．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　)
A．45°
B．39°
C．29°
D．21°
B
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14．[教材P48复习题T20变式]如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
B
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15．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为(　　)
A．60°
B．70°
C．75°
D．90°
A
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C
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17．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E是BC边上不重合的两点，BD＝CE。
(1)求证：AD＝AE；
(2)若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小。
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等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
全等三角形的对应边相等，对应角相等.