1.1 第1课时 三角形内角和定理 课件(共30张PPT)--北师大版（新教材）数学八年级下册

(共30张PPT)
北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.1第1课时三角形内角和定理第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.1第1课时三角形内角和定理练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“三角形内角和定理”核心内容设计，侧重定理的理解、证明思路辨析及简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握三角形内角和为180°的核心结论，能运用定理求三角形未知内角的度数，理解定理的推导过程（平行线辅助线的运用），规避角度计算、定理应用中的常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.三角形内角和定理的内容是（）A.三角形的任意两个内角之和大于第三个内角B.三角形的任意两个内角之和等于第三个内角C.三角形的三个内角之和等于180°D.三角形的三个内角之和等于360°2.下列说法中，正确的是（）A.锐角三角形的三个内角都是锐角，且和为180°B.直角三角形的内角和大于180°C.钝角三角形的内角和小于180°D.任意三角形的内角和都不等于180°3.在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°4.下列选项中，不能作为三角形内角和定理推导依据的是（）A.平角的度数为180°B.平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同位角相等）C.三角形的任意两边之和大于第三边D.邻补角的和为180°5.在△ABC中，∠A=∠B=45°，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定二、填空题（每题4分，共20分）1.三角形内角和定理：任意三角形的三个内角的和等于________°。2.推导三角形内角和定理时，常用的辅助线做法是：过三角形的一个顶点作其对边的________，利用平行线的性质将三个内角转化为一个________，从而证明定理。3.在△ABC中，∠A=50°，∠B比∠C大20°，则∠B=________°，∠C=________°。4.直角三角形的两个锐角之和为________°；钝角三角形的两个锐角之和________90°（填“＞”“＜”或“=”）。5.若一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形是________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用三角形内角和定理，求下列三角形中未知角的度数（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，求∠C的度数；（2）在△ABC中，∠A=∠C，∠B=100°，求∠A和∠C的度数；（3）在Rt△ABC中，一个锐角为35°，求另一个锐角的度数。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合三角形内角和定理）。（1）判断：一个三角形的三个内角分别为50°、60°、70°，符合三角形内角和定理；（2）解题：在△ABC中，∠A=20°，∠B=30°，求∠C的度数。解：∠C=180°-20°-30°=130°，所以△ABC是锐角三角形；（3）推导：证明三角形内角和为180°时，过顶点A作EF∥BC，则∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，因为∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°，该推导正确。四、拓展题（10分）已知在△ABC中，∠A比∠B小20°，∠C比∠A大40°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状。五、应用题（10分）一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，第三个内角是60°，求这个三角形的三个内角的度数，并说明该三角形的形状。参考答案提示：一、1.C 2.A 3.C 4.C 5.B；二、1.180 2.平行线，平角3.75，55 4.90，＜5.直角；三、1.（1）∠C=180°-40°-70°=70°；（2）∠A=∠C=(180°-100°)÷2=40°；（3）另一个锐角=90°-35°=55°；2.（1）不正确，改正：50°+60°+70°=180°，符合三角形内角和定理（原说法未判断和为180°，表述不完整）；（2）不正确，改正：∠C=130°，△ABC是钝角三角形，错误原因：混淆锐角三角形与钝角三角形的定义；（3）正确；四、设∠A=x°，则∠B=(x+20)°，∠C=(x+40)°，x+(x+20)+(x+40)=180，解得x=40，故∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°，△ABC是锐角三角形；五、设较小的内角为x°，则另一个内角为2x°，x+2x+60=180，解得x=40，三个内角分别为40°、80°、60°，该三角形是锐角三角形。方法二：折叠法
1
1
2
2
3
3
方法三：拼凑法
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
如果不实际移动角，通过什么方式来改变角的位置呢？
剪拼折叠角的目的什么？
构造平角
1
三角形的内角和定理的证明
A
B
C
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
如何改变角的位置构造平角？
延长 BC 到 D，过点 C 作射线CE∥BA
分析：
E
D
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
证一证
证法1：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
则∠1 =∠A (两直线平行，内错角相等)，
∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°(平角的定义)，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°
(等量代换).
A
B
C
E
D
1
2
三角形内角和定理 三角形的内角和等于 180°.
在△ABC 中，∠A +∠B +∠C = 180°.
几何语言：
知识要点
A
B
C
你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
证法2：过点 A 作 l∥BC，
则∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180° (平角的定义)，
∴∠B +∠C +∠BAC = 180° (等量代换).
1
2
证一证
A
B
C
证一证
C
B
A
E
D
F
证明：过点 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C =∠1，∠B =∠3
(两直线平行，同位角相等).
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A=∠2(等量代换).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
1
2
3
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
1
2
A
B
C
例1 如图，在△ABC 中，∠B = 38°，∠C = 62°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
A
C
B
D
解：在△ABC中，∠B +∠C +∠BAC = 180°
(三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠C = 62°，
∴∠BAC = 180° - 38° - 62° = 80°.
∵ AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC = ×80° = 40°.
在△ADB 中，∠B +∠BAD +∠ADB = 180°
(三角形内角和定理).
∵∠B = 38°，∠BAD = 40°，
∴∠ADB= 180° - 38° - 40°= 102°.
A
C
B
D
解：∵ DE⊥AB，所以∠FEA＝90°．
在△AEF 中，因为∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵ ∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
则在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
【练一练】如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
思考：我们已经证明了 SSS，ASA，SAS 的成立，怎么用这些定理证明 AAS 成立呢？
已知： 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
C
B
D
F
E
证明：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B.
同理，∠F＝180°－∠D－∠E.
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠F.
2
全等三角形的判定和性质
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
在△ABC 和△DEF 中，
A
C
B
D
F
E
问题1：AAS 和 ASA 有什么联系？
问题2：AB 和 DE 有什么关系？AC 和 DF 呢？
根据三角形内角和定理，已知两个角可以推出另外一个角的大小，因此证明AAS 成立可以转化为 ASA 的证明.
AB＝DE， AC＝DF
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（ AAS ）
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
【知识要点】
1．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝60°，则∠C的度数为(　　)
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
C
返回
2．[唐山月考]如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠AEB＝60°，则∠D的度数为(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
A
返回
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　　)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
C
返回
4．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝4∠C，则∠C＝________。
20°
返回
5．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝ 30°，则∠BAE的度数是________。
40°
返回
6. 数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于180°。下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全证明过程。
如图①，△ABC的三个内角分别为∠1，∠2，∠3。将∠2和∠3撕下，按图②的方式摆拼，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合，∠3的一边与AC重合。
证明：由操作可知∠B＝∠2，
∴AD∥BC(________________________)。
同理，∠C＝∠3，∴________∥________。
∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAE＝________°，
即∠1＋________＋________＝________。
内错角相等，两直线平行
返回
AE
BC
180
∠2
∠3
180°
7．(8分)[教材P44复习题T1变式]如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝50°。
(1)求∠C的度数；
(2)若∠BDE＝30°，DE∥BC交AB于点E，求∠BDC的度数。
解：∵∠A＝70°，∠ABC＝50°，
∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝180°－70°－50°＝60°。
解：∵DE∥BC，∠BDE＝30°，∴∠CBD＝∠BDE＝30°。
又∵∠C＝60°，
∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠C＝180°－30°－60°＝90°。
返回
8．如图，AB与CD相交于点O，且OA＝OB，添加下列选项中的一个条件，不能判定△AOC≌△BOD的是(　　)
A．OC＝OD
B．∠A＝∠B
C．AC＝BD
D．AC∥BD
C
返回
9．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，∠A＝∠ECF，若AB＝4，CF＝3，则BD的长为(　　)
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
B
返回
10．[邯郸模拟]如图，∠POQ＝70°，直线l与OP，OQ都相交(不经过点O)，随着直线l位置的改变，α，β的度数之和(　　)
A．始终等于70°
B．始终等于100°
C．始终等于110°
D．随着直线l位置的改变而改变
C
返回
11．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点E，BE交AD于点O。若∠CBD＝31°，则∠BOD的度数为(　　)
A．118°
B．111°
C．101°
D．62°
A
返回
12．如图，△ABC的顶点A在△CDE的边DE上，若AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于(　　)
A．BC
B．AB
C．DC
D．AE＋AC
B
返回
三角形的
内角和定理
全等三角形的判定和性质
三角形的内角和定理