1.1 第2课时 三角形的外角 课件(共34张PPT)--北师大版（新教材）数学八年级下册

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北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.1第2课时三角形的外角第一章三角形的证明授课教师：Home .班级：八年级（*）班.时间：.北师大版数学八年级下册1.1第2课时三角形的外角练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“三角形的外角”核心内容设计，侧重三角形外角的定义、外角的性质（外角等于与它不相邻的两个内角之和、外角大于任何一个与它不相邻的内角）及简单应用，贴合本节课重难点，助力掌握外角的识别方法，能运用外角性质求未知角度，理解外角与内角的关系，规避外角识别、性质应用中的常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于三角形外角的定义，正确的是（）A.三角形的一个内角的对顶角是三角形的外角B.三角形的一个内角的邻补角是三角形的外角C.三角形一边的延长线与另一边所组成的角是三角形的外角D.三角形的三个内角之外的角都是三角形的外角2.三角形的一个外角等于（）A.与它相邻的内角B.与它不相邻的一个内角C.与它相邻的两个内角之和D.与它不相邻的两个内角之和3.在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角的度数为（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°4.下列说法中，正确的是（）A.三角形的一个外角一定大于它的一个内角B.三角形的外角和为180°C.三角形的一个外角一定是钝角D.三角形的一个外角等于两个内角之和5.在△ABC中，若与∠A相邻的外角为120°，则∠B+∠C的度数为（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°二、填空题（每题4分，共20分）1.三角形的一边与另一边的________组成的角，叫做三角形的外角；一个三角形有________个外角。2.三角形外角的性质1：三角形的一个外角等于与它________的两个内角的和。3.三角形外角的性质2：三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角。4.在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，则与∠C相邻的外角的度数为________°；与∠A相邻的外角的度数为________°。5.若三角形的一个外角为100°，且与它不相邻的一个内角为30°，则另一个不相邻的内角为________°。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用三角形外角的性质，求下列各图中未知角的度数（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，求与∠C相邻的外角∠ACD的度数；（2）在△ABC中，与∠A相邻的外角为110°，∠B=45°，求∠C的度数；（3）在△ABC中，∠C=90°，一个外角为140°，求这个外角所对应的内角的度数及另一个锐角的度数。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合三角形外角的性质）。（1）判断：三角形的一个外角一定大于与它相邻的内角；（2）解题：在△ABC中，∠A=25°，∠B=35°，求与∠A相邻的外角的度数。解：与∠A相邻的外角=∠A+∠B=25°+35°=60°；（3）推导：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以三角形的外角一定大于其中一个不相邻的内角，该推导正确。四、拓展题（10分）已知在△ABC中，∠A的外角为130°，∠B的外角为120°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状。五、应用题（10分）一个三角形的一个外角是与它相邻内角的2倍，求这个相邻内角的度数；若这个外角比与它不相邻的一个内角大50°，求这个三角形另外两个内角的度数。参考答案提示：一、1.C 2.D 3.B 4.A 5.B；二、1.延长线，6 2.不相邻3.不相邻4.90，140 5.70；三、1.（1）∠ACD=∠A+∠B=50°+40°=90°；（2）与∠A相邻的外角=∠B+∠C，故∠C=110°-45°=65°；（3）这个外角对应的内角=180°-140°=40°，另一个锐角=90°-40°=50°；2.（1）不正确，改正：三角形的一个外角不一定大于与它相邻的内角（如直角三角形的一个外角等于90°，与相邻内角相等），错误原因：忽略直角三角形、钝角三角形的特殊情况；（2）不正确，改正：与∠A相邻的外角=180°-∠A=155°，错误原因：混淆了“与∠A相邻的外角”和“与∠A不相邻的外角”；（3）正确；四、∠A=180°-130°=50°，∠B=180°-120°=60°，∠C=180°-50°-60°=70°，△ABC是锐角三角形；五、设相邻内角为x°，则外角为2x°，x+2x=180，解得x=60；另一个不相邻内角=2x°-50°=70°，第三个内角=180°-60°-70°=50°，故另外两个内角为50°、70°。1
三角形的外角的概念
定义
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角.
C
B
A
D
问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的外角.
问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点处对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
三角形的外角应具备的条件：
每一个三角形都有 6 个外角．
归纳总结
1
2
3
6
5
4
A
B
C
2
三角形的外角的性质
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
探究1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角
∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
探究2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A，∠B ) 又有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B =∠BCD.
你能借助平行线的知识证明此结论吗？
D
证明：过点 C 作 CE∥AB，
A
B
C
1
2
则∠1 = ∠B
(两直线平行，同位角相等)，
∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B.
E
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
证一证
推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠A + ∠B.
知识要点
A
B
C
D
探究3 (1) 如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
(2) 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图①
图②
解：∵∠2=∠1+∠B，
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2 =∠1 + ∠B，
∠3 =∠2 + ∠D，
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
知识要点
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形内角和定理推论2：
几何语言：
在△ABC 中，
∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
A
B
C
D
1.说出下列图形中∠1 和∠2 的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80°
60°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50°
32°
(2)
∠1 = 40°，∠2 = 140°
∠1 = 18°，∠2 = 130°
练一练
例2 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC.
A
C
D
B
E
证明：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B =∠C ，
∴∠C = ∠EAC .
∵ AD 平分∠EAC.
∴∠DAC = ∠EAC .
∴∠DAC = ∠C. ∴AD∥BC.
还有其他证明方法吗？
例3 如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC.
求证：∠BPC＞∠A.
证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D.
∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)，
∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角
大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)，
∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A.
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
1．下图中∠1是三角形的一个外角的是(　　)
D
返回
2．如图，△ABC的外角是________，________。
∠CBD
返回
∠ABE
3．[教材P6随堂练习T1变式]如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是(　　)
A．120°
B．110°
C．100°
D．90°
A
返回
4．[烟台中考]如图，这是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为(　　)
A．40°
B．35°
C．30°
D．20°
A
返回
5．[福建中考]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用两个三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°。当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　　)
A．5°
B．15°
C．25°
D．35°
B
返回
6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝50°，且AD是△ABC的角平分线，则∠ADC＝________°。
65
返回
7．(4分)如图，DE分别与△ABC的边AB，AC相交于点D，E，延长DE与BC的延长线相交于点F，∠B＝60°，∠ACB＝70°，∠AED＝40°，求∠BDF的度数。
解：∵∠B＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝50°。
又∵∠AED＝40°，∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝90°。
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8．在下列四个图形中，∠2＞∠1一定成立的是(　　)
C
返回
9．(4分)如图，点D是△ABC的边AC的延长线上的一点，E是边BC上的一点，连接DE，求证：∠BED＞∠A。
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证明：∵∠ECD是△ABC的外角，
∴∠ECD＞∠A。
又∵∠BED是△CDE的外角，
∴∠BED＞∠ECD，∴∠BED＞∠A。
10．如图，在△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A．∠ADB>∠ADE
B．∠ADB>∠1＋∠2＋∠3
C．∠ADB>∠1＋∠2
D．以上都不正确
C
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11. 如图，一束平行于主光轴OF的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点。若∠1＝165°，∠2＝20°，则∠3的大小为(　　)
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
B
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12．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交△OAB的外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是(　　)
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
B
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13．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝35°，若按图中虚线将∠C剪去，则∠1＋∠2＝____________°。
215
返回
14．如图，这是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠A＝50°，∠B＝60°，∠D＝20°，∠E＝30°。为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝130°，且∠A，∠B，∠E保持不变，则∠D应调整为________。
30°
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15．(8分)[南昌期末]如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。
(1)若∠E＝25°，∠BAC＝80°，求∠B的度数；
解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE。
∵∠E＝25°，∠BAC＝80°，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠BAC－∠E＝55°。
∵∠DCE＝∠B＋∠E，∴∠B＝∠DCE－∠E＝30°。
(2)求证：∠BAC＝∠B＋2∠E。
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证明：由(1)知∠ECD＝∠ACE。
∵∠ECD＝∠B＋∠E，∠BAC＝∠ACE＋∠E，
∴∠BAC＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E。
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角