滨城高中联盟 2024-2025 学年度下学期高一 5 月期中考试
数学试卷
一、单项选择题：
1. A 2. C 3. D 4. 5. A 6. A 7.C 8.B
二、多项选择题：
9. BCD 10. AD 11．ACD
三、填空题：
12.
4
13. + < < + , ∈
4 2 6 2
21
14. （或者写成 5.25）
4
四、解答题：
15.
【小问 1详解】
由 // ，所以设 c a , 2 2分
又 = 5 得 2 + 4 2 = 25，解得 =± 5， 4分
所以 c ( 5, 2 5)或( 5, 2 5). 6分
【小问 2详解】
由题知， = (1,2)， = 10， 2 + ⊥ ，
所以| | = 5， 2 + · = 0
所以 2a c c 2 0 8分
所以 2 , + | |2 = 0
所以 2 × 5 × 10 , + 10 = 0 10分
所以 , = 2 因为 , ∈ 0,
2
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3
所以向量 a与向量 的夹角为 . 13分4
16.
【小问 1详解】
sin 2 cos + tan 2
= 9
sin + tan
2
= sin cos tan = sin
cos tan ． 6分
【小问 2详解】
1
因为 = sin ，所以 + = sin + = ，
6 6 3
cos 2 + = cos + + = sin + = 1， 8分
3 2 6 6 3
cos 5 = cos + = cos + ， 10分
6 6 6
∈ 因为 , ，所以
6 3 + ∈ 0,
,cos + = 2 2， 13分
6 2 6 3
故 cos 5 = 2 2，
6 3
cos 2π 2c2ocso
5π5 5
因此 3
s = ． 15分
66 3
17.
【小问 1详解】
因为α，β是锐角，且 A(4 3， )，B( 5 12， )在单位圆上，
5 5 13 13
所以 sin α 3＝ ，cos α 4 12 5＝ ，sin β＝ ，cos β＝ ， 2分
5 5 13 13
cos (α－β)cos 2β＋sin (β－α)sin 2β =cos (α－β)cos 2β－sin(α－β)sin 2β
=cos (α＋β) 5分
所以 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
4 5 3 12 16
＝ × － × ＝－ . 7分
5 13 5 13 65
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【小问 2详解】
→
因为OA ·O→B 3 10 → → 3 10＝ ，所以|OA |·|OB |cos (β－α)＝ ， 9分
10 10
且|O→A |＝|O→B |＝1，
3 10
所以，cos (β－α)＝ ，
10
sin (β α) 10可得 － ＝ (β>α)， 11分
10
4 3
且 cos α＝ ，sin α＝ ，
5 5
所以 sin β＝sin [α＋(β－α)] 13分
＝sin αcos (β－α)＋cos αsin (β－α)
3 3 10 4 10 13 10
＝ × ＋ × ＝ . 15分
5 10 5 10 50
18.
【小问 1详解】
在 △ 中，由∠ = ，可得 = 25 ， 1分
在 △ 中，由∠ = ，可得 = 25 ， 2分
又在 △ 中，由勾股定理得
= 2 + 2 = ( 25 )2 + ( 25 )2 = 25 ， 3分
= 25 + 25所以 + 25 = 25(1+ + )， 4分
当点 F在点 D时，此时α的值最小， = 6，
当点 E在点 C时，此时α的值最大， =
3，
, 故函数的定义域为 ； 6分
6 3
【小问 2详解】
25 1
因为 = , tan =
，2
t2 1 2
所以 sin cos = = , 9分 22 + 2 2 +1 5
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125
于是EF OE2 OF 2 ( 2150分)2 ( 25 )2 25 2 cos sin sin cos
【小问 3详解】
根据题意，要使费用最低，只需 + 最小即可，
1 + = 25( + )由（ ）得 ， ∈ , ， 11分
6 3
2
设 + = ，则 = 1，
2
+ = 25( + ) = 25 50 50则 2 = = 1 2 1 1， 14分
2
5 7
由 ≤ + ≤ ，得 3+1 ≤ ≤ 2， 15分12 4 12 2
令 ( ) = 1，易知 ( ) = 1在 0, + ∞ 上为增函数，
所以当 = 2时， + 最小，且最小值为 50 2，此时 = 4，
所以当 BE AF 25米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 2元. 17分
19.
【小问 1详解】
因为 ( ) = 3 2 + 1
2
3 1 + 2 1
= 2 +
2 2 2
= 3 2 1 2 = 2 ， 3分
2 2 6
函数 f (x)的最小正周期为 ，又 > 0，则 2 = 2 = 2，所以 = 1，
所以 = sin 2 . 5分
6
【小问 2详解】
因为 ( ) = 2 + 1是增函数，当 x1 0,1 时 1 ∈ 0 , 1 = 2,3 ，
7 1当 2 ∈ 0, 时，2 12 2 ∈ , ，则 ∈ , 1 ，6 6 2 2
所以 2 + ∈
1 + , 1 + ， 7分
2
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由题意可知 2,3 1 + , 1 + ， 8分
2
1 + ≤ 2 5 5
则 2 解得 2 a ，即 的取值范围为 2, ． 10分
1 + ≥ 3 2 2
【小问 3详解】
3 = 2 ∈ 0, 7 （ ）令 ，由（ ）知当 时， ∈ 1 , 1 ，即 ∈ 1 , 1 ，
12 2 2
则函数 = 8 2 8 + 有两个零点 1, 2 1 < 2 ，
且 的图象与直线 = 1， = 2共有 3个公共点， 12分
由 的图象可知，当 2 = 1， 1 ∈ 0,1 时， 2 = 1 = 8 8 + = 0
8
，得 = ，
7
由 = 8 2 64 + 8 = 0，得 2 = 1
1
， 1 = ∈ 0,1 ，符合题意． 14分7 7 7
Δ 64m2 32m 0
h 1 2 5m 0
当 2 ∈ [0,1 ， 1 ∈ [
1 , 0 2 时， ，解得 2 ≤ < 0， 16分
2 5
h 0 m 0
h 1 8 7m 0
综上， 的取值范围为 [ 2 , 0 ∪ 8 ． 17分
5 7
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