2025-2026学年山东省济南市莱芜区初三下一模数学试卷（图片版，含答案）

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2026 年初中学业水平阶段性质量监测一
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题（每小题 4分，共 40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C D D C D C A
二、填空题（每小题 4分，共 20分）
4 8 10
11． 24 3 ； 12．12； 13． ； 14． ； 15． 。
3 3 3
三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分）
16. 解：原式=4- 2 +2- 2 +1+ 2 2 ，………………………………………………………5 分
=7。 ……………………………………………………………………7 分
5x 2＞3(x 1) ①

17．解： x x 1
1 ②
2 3
5
解不等式①得： x＞ ， ……………………………………………………………………2 分
2
解不等式②得： x 4， …………………………………………………………………4 分
5
不等式组的解集是： ＜x 4， …………………………………………………………6 分
2
它的整数解为：3、4。 ………………………………………………………………7 分
18．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， A F D
∴ AB CD， B D， BAD BCD， ……………………………………………3 分
∵ DAE BCF ，
B
E C
∴ BAD DAE BCD BCF ， ……………………………………………………4 分
∴ BAE DCF ， ……………………………………………………………………5 分
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 1 页（共 8 页）
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B D
在△ ABE和△CDF 中： AB CD ，

BAE DCF
∴△ ABE≌△CDF (ASA) ， …………………………………………………………6 分
∴ BE DF 。 ………………………………………………………7 分
19．解：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H，则∠AHB=90°，………1 分 M
∵AB 的坡比是 1:2.4，
AH 1 5 O
∴tan∠ABH= ，
BH 2.4 12
5 D α A
∴AH=AB sin∠ABH=26× =10（米）， N
13 C B H
答：观景台高度为 10 米； ……………………………………………………………………3 分
（2）过 A 作 AD⊥MN 于 D，∵∠ADC=∠DCH=∠AHC=90°，
∴四边形 ADCH 是矩形， …………………………………………………………………4 分
12
∴BH=AB cos∠ABH=26× =24，
13
∴AD=CH=CB+BH=24+60=84， ………………………………………………………5 分
MD
在 Rt△ADM 中，tan∠MAD= ，
AD
∴MD=AD tan53°≈84×1.3=109.2， …………………………………………………………6 分
∴MC=MD+CD=109.2+10=119.2，
∴MN=MC-NC=119.2-8=111.2， …………………………………………………………7 分
≈111(米)，
答：摩天轮直径为 111 米。 ………………………………………………………………8 分
20．解：（1）证明：连接 OD， ……………………………F… ………………………………1 分
A E
∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，
O C
∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB， D
∴∠C=∠ODB， …………………………………………B …………………………………2 分
∴OD∥CE，∵DE⊥AC，
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 2 页（共 8 页）
∴OD⊥DE， …………………………………………………………………………………3 分
又∵OD 是⊙O 的半径，
∴DE 是⊙O 的切线； …………………………………………………………………………4 分
（2）连接 AD， ………………………………………………………………………………5 分
F
⌒ ⌒ A E
由（1）知∠ABD＝∠C，∵AD=AD，
O C
∴∠ABD=∠AFD，
D
∴∠AFD=∠C，∴DF=DC=12， …………………………B …………………………………6 分
CE 9 3
∵DE⊥AC，∴ cosC ，
DC 12 4
∵AB 为⊙O 直径，
∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°， …………………………………………………………7 分
DC 3 12 3
∴ cosC ，即： ，
AC 4 AC 4
∴AC=16。 …………………………………………………………………………………8 分
21. 解：（1）10，20； ………………………………………………………………………2 分
（2）108； ……………………………………………………………………………………4 分
（3）75，67.5； ………………………………………………………………………………7 分
18 10
（4）2000 1120，
50
答：每周日体育活动时间不少于 60min 的人数有 1120 人。 ………………………………9 分
22．解：（1）设共享单车单价为 x 元，则共享电动车单价为(x+200)元， ………………1 分
由题意得：
9000 12600
………………………………………………………………………………3 分
x x 200
解得 x=500， ………………………………………………………………………………4 分
经检验，x=500 是原分式方程的解， …………………………………………………………5 分
∴共享电动车单价：500+200=700（元），
答：共享单车单价 500 元，共享电动车单价 700 元。……………………………………6 分
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 3 页（共 8 页）
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（2）设采购共享单车 m 辆，总费用 w 元，则采购共享电动车(30 m)辆，
∴w=500m+700(30 m)=500m+21000 700m= 200m+21000， ………………………………7 分
又∵m≤2(30 m)，∴m≤20，…………………………………………………………………8 分
∵ 200<0，∴w 随 m 的增大而减小，
∴当 m=20 时，w 取得最小值，
w= 200×20+21000=17000（元）， ……………………………………………………………9 分
答：采购 20 辆共享单车时总费用最少，最少费用 17000 元。…………………………10 分
23. 解：（1）将点 A（-3，0）代入一次函数表达式得：0＝﹣6+b，
解得：b＝6，
即一次函数的表达式为：y=2x+6， ………………………………………………………1 分
将（1，m）代入 y＝2x+6，得 m=8，
∴点 B 的坐标为（1,8） ………………………………………………………………………2 分
将点 B 的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×8=8，
8
即反比例函数表达式为： y ， …………………………………………………………3 分
x
8
（2）设点 D 的坐标为（t，2t+6），则点 C（t， ）， ……………………………………4 分
t
若△BCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，则点 B 在 CD 的中垂线上，
1 8
则 (2t 6 ) 8， y D
2 t
解得：t1=1（舍去），t2=4， B
∴点 C 的坐标分别为：（4，2）， …………………………………………C… ……………6 分
（3）∵四边形 ABPQ 为矩形， A
O x
1
∴AB⊥BP，∴ kAB kBP 1，∴ kBP ，
2
1 17
设直线 BP 表达式为 y x b，将 B（1,8）代入，得：b ，
2 2
1 17
∴直线 BP 的表达式为： y x ， ………………………………………………8 分
2 2
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 4 页（共 8 页）
1 17
y x 2 2
由
8y
x
x 16
x1 1
2

解得： （舍去）， 1 ，
y1 8 y2
2
1
∴点 P 的坐标为： (16, ) ， ……………………………………………………………9 分
2
15
∵四边形 ABPQ 是矩形，∴由平移规律可得：Q(12， ) 。 …………………10 分
2
24. 解：（1）设抛物线的表达式为 y a(x 1)2 4， ……………………………………1 分
将 A(0,-3)代入，得：a-4=-3，解得：a=1， ……………………………………………2 分
∴抛物线的表达式为： y (x 1)2 4，即： y x2 2x 3， …………………3 分
令 y=0 得：(x 1)2 4 0，
x 1 2，解得： x1 3， x2 1，
∴B(3,0)，C(-1,0)； …………………………………………………………………………4 分
（2）∵直线 y=x 向下平移 n 个单位长度，
∴平移后直线解析式为 y=x-n，
y x n
由 ，得: x2 3x (n 3) 0，
y x
2 2x 3
∵直线 y=x-n 与抛物线有两个交点，
∴方程 x2 3x (n 3) 0有两个不相等的实数根，
∴ 9 4(n 3) 21 4n＞0，
21
解得 n＜ ，……………………………………………………………………………………6 分
4
又当 n=3 时， x2 3x (3 3) 0，
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 5 页（共 8 页）
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解得 x1 3， x2 0，
∴直线 y x 3与抛物线的两个交点为(0,-3)，(3,0)恰好在坐标轴上，
21
∴n 的取值范围为3＜n＜ ； ………………………………………………………………8 分
4
y
（3）过点 C 作 CG⊥AB，过点 P 作 PF⊥AB，垂足分别为 G、F，
AE PF
S PAE 2 PF
= = ，
S CAE AE CG CG O D
2 C B x
F E
∵在 Rt△BCG 中，∠CBA=45°， G P
A
2
CG=BCsin45°=4× =2 2 ，…………………………………………………………………9 分
2
2
在 Rt△PEF 中，∠PEF=45°，PF=PEsin45°= PE，
2
2
S PAE PF PE 1
∴ = = 2 = PE，
S CAE CG 4
2 2
b 3
设 lAB ：y=kx+b，将 A（0,-3），B（3,0）代入 ，
3k b 0
k 1
解得： ，∴ lAB :y=x-3， 设 P（x, x
2 2x 3），E(x,x-3)，
b 3
PE= yE yP =x-3-( x
2 2x 3 ) = x2 3x，……………………………………………10 分
b 3 3 9 9 9
x ，把 x= 代入 PE= = ，
2a 2 2 4 2 4
S PAE 1 9 9
∴ = ，
S CAE 4 4 16
S PAE 9
∴ 的最大值是 。 …………………………………………………………………12 分
S CAE 16
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 6 页（共 8 页）
25. 解：（1） AE BD ， BAE 90 ； …………………………………………………2 分
3
（2） AE BD， BAE 90 ； ……………………………………………………4 分
3
A
D′
证明：∵ AC 2， BC 2 3 ， D
E
AC 2 3 3
∴ ，∵CE CD ， C B
BC 2 3 3 3
CE 3 AC CE
∴ ，∴ ， ……………………………………………………………5 分
CD 3 BC CD
∵ ACE ACD ACD BCD 90 ，∴∠ACE=∠BCD， ………………………6 分
∴△ ACE ∽△ BCD， …………………………………………………………………7 分
AE 3
∴ ， CAE CBA，
BD 3
∵ ACB 90 ，∴ B BAC 90 ，
∴ EAC BAC 90 ，即： BAE 90 ，
3
∴ AE BD， BAE 90 ； ……………………………………………………………8 分
3
（3）由（2）知 BAE 90 ，点 F 是 DE 的中点，
1
∴ AF DE ，∵ DCE 90 ，
2
1
∴CF DE，∴ AF CF ，
2
∵ ACF 是直角三角形，∴ AFC 90 ， FAC FCA 45 ，
2 2
∴ AF CF AC 2 2 ，
2 2
∴ DE 2AF 2 2 ，
设 AE x ，则 BD 3x，
∵ AC 2，BC 2 3， ACB 90 ，
∴ AB 22 (2 3)2 4 ，
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 7 页（共 8 页）
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①如图，当点D 在线段 AB 上时，
A
AD AB BD 4 3x， D
E F
∵ BAE 90 ，∴ AE2 AD2 DE2 ，
B
C
∴ x2 (4 3x)2 (2 2)2，
∴ x 3 1，x 3 1(舍去） ， ……………………………………………………101 2 分
②如图，当点 D在 BA的延长线上时，
AD BD - AB 3x 4，
D
∵ BAE 90 ，∴ DAE 180 90 90 ， A
∴ AE2 AD2 DE2 ， F
∴ x2 ( 3x - 4)2 (2 2)2 ， B
C
E
∴ x1 3 1，x2 3 1(舍去），
综上所述， AE 的长为 3 -1或 3 1。 ……………………………………………………12 分
九年级数学试题参考答案及评分意见 第 8 页（共 8 页）