人教版新版数学八年级下册20.2 勾股定理的逆定理及其应用 课时提优练习（含答案）

20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第 1 课时 勾股定理的逆定理
基础提优题
1. 在 中, 所对的边分别为 , c,下列条件中,不能判定 为直角三角形的是 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 若 的三边长 满足 ,则 是 ( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
3. [2025 西安雁塔区月考] 如图, 在由小正方形组成的 3×2 网格中，每个小正方形的顶点称为格点. 点 均在格点上,点 中能与点 构成一个直角三角形的是 ( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
(第 3 题)
4. [2025 扬州] 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”. 法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献. 由此法则写出了下列几组勾股数:①3，4，5；②5，12，13；③ 7， 24,25; ④ 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为_____.
5. 如图，在 中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ， ，则 _____.
(第 5 题)
6. 如图,把一块 土地划出一个 后,测得 ,其中 .
(1)判断 的形状，并说明理由;
(2)求图中阴影部分的面积.
综合应用题
7. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为 8 , 若第三边的长分别为 6,8,10,12 ,则面积最大的三角形是 ( )
A
B
C
D
8. 新考法 等线段代换法 如图，在 中， ， ， 边上的中线 ，则 的面积为 ( )
A. 30 B. 24 C. 20 D. 48
(第 8 题)
如图是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1,顶点称为格点. 线段 的端点均在格点上，且交于点 ，则 的度数为( )
(第 9 题)
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》. 现有勾股数 ,其中 均小于 是大于 1 的奇数，则 _____ (用含 的式子表示).
11. 如图所示，在 中， : ，且周长为 ，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动； 点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果同时出发,则 时, 的面积为_____ .
12. [2025 淄博期末] (1) 如图①, 是等边三角形 内一点, . 若 是 外的一点,且 ,求 的长度及 的度数;
(2)如图②， 是等边三角形 内一点， ， ， ，求 的长.
①
②
创新拓展题
13. [2025 泉州期末] 小明学习了勾股定理之后，探究 “如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”.
(1)如图①，已知线段 ，小明在线段 上取点 和 ,使得 ,再将线段 围成三角形,求证: 所围成的三角形是直角三角形;
(2)如图②， 为线段 上一点，请在线段 上作点 ,使 恰好能构成一个直角三角形(要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(3)已知正方形 的边长分别为有理数 ，且满足 ,若正方形 的面积等于正方形 和正方形 的面积之和. 求证: 正方形 的边长也是有理数.
①
②
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用
基础提优题
如图,某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行 12 海里和 16 海里,1 小时后两船分别位于 处,且相距 20 海里，已知甲船沿北偏西 40° 方向航行，则乙船的航行方向是 ( )
A. 北偏东 B. 北偏东
C. 南偏东 D. 南偏东
(第 1 题)
[2025 淄博期中] 如图,学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地 ,测得 ，且 ，则这块菜地的面积是 ( )
(第 2 题)
A. B. C. D.
3. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为 1,点 都在格点上，则下列结论错误的是 ( )
A.
B.
C. 的面积为 10
D. 点 到直线 的距离是 2
4. 在 中, 为直线 上一动点,连接 ,则线段 的最小值是_____.
综合应用题
5. 如图，某小区的两个喷泉 之间的距离为 . 现要为喷泉铺设供水管道 ,供水点 在小路 上,供水点 到 的距离 的长为 的长为 , 则喷泉 到小路 的最短距离为( )
A. B. C. D.
(第 5 题)
如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架 ,两轮中心的距离 30 cm，则点 到 的距离为_____cm.
(第 6 题)
7. 展，5G 信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现. 如图,有一辆汽车沿直线 方向,由点 向点 行驶,已知点 为某个 信号源,且点 到点 和点 的距离分别为 和 ,且 ,信号源中心周围 及以内可以接收到 信号.
(1)汽车在从点 向点 行驶的过程中，能接收到 5G 信号吗？为什么？
(2)若汽车的速度为 ，请问有多长时间可以接收到 5G 信号
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
1. D
2. D 由题意得 解得 ,且
是等腰直角三角形,故选 D.
点易错，已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理来探究三角形是不是直角三角形. 在利用公式 时，一定要注意 是最大边,即 .
3. D
6.【解】(1) 是直角三角形.
理由: ,
由勾股定理得 .
又 ,
.
是直角三角形,且 .
(2)图中阴影部分的面积
7. C
8. B 延长 到 ,使 ,连接
为 边上的中线, . 又 , . . 又
为直角三角形,且 . .
9. B 如图,取格点 ,连接 ,易知 . 由勾股定理得 5, , . 是等腰直角三角形. .
由题意得
是大于 1 的奇数, .
11. 18
12.【解】( 1 ) 是等边三角形,
.
,
.
易知 .
为等边三角形.
.
,
为直角三角形,且 .
.
(2)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ,则 ,
.
为等边三角形.
.
.
.
(负值已舍去). .
13.【解】( 1 ) ，
.
.
由线段 围成的三角形是直角三角形.
(2)点 的位置如图所示.
(3)设正方形 的边长为 . ,
.
,
则 ,
.
.
.
.
都是有理数, 也是有理数,
即正方形 的边长也是有理数.
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用
1. A
2. B 如图,连接 , . 是直角三角形,且 四边形 的面积 的面积 的面积
这块菜地的面积为 .
3. C A. ,正确,故不符合题意; B. , ,正确,故不符合题意; C. 5，错误，故符合题意；D. 设点 到直线 的距离为 . (负值已舍去). ,解得 ,即点 到直线 的距离是 2,正确,故不符合题意. 4.
5. C 由题意可知 在 中， 在 中， . 喷泉 到小路 的最短距离为 的长,即为 .
6. 过点 作 于点 , 是直角三角形,且 的面积 ,即点 到 的距离为 .
7.【解】(1)汽车在从点 向点 行驶的过程中,能接收到 5G 信号. 理由如下:
过点 作 于点 ,如图.
,
.
.
汽车在从点 向点 行驶的过程中, 能接收到 信号.
(2)设点 在直线 上，且 ，如图.
在 Rt 中， ， ,
易知 .
.
.
答: 有 可以接收到 信号.