人教版新版数学八年级下册19.3 二次根式的加法与减法 课时提优练习（含答案）

19.3 二次根式的加法与减法
第 1 课时 二次根式的加减
基础提优题
1. [2025 绍兴期中] 二次根式: ; ④ 中，与 是可以合并的二次根式的是( )
A. ①和② B. ①和③
C. ②和④ D. ③和④
2. 下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知二次根式 与 是可以合并的二次根式，则 的值可能是_____(只需写出一个).
4. 若 是有理数,且 , 则 _____， _____.
5. 二元一次方程组 的解是_____.
6. 母题教材 P14 练习 T2 计算:
(1) ；
(2) ；
(3) .
7. 假期中，王强和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图(如图)，他们在 点登陆后先往东走 到 点，又往北走 ,遇到障碍后又往西走了 ,再折向北走了 ,往东一拐,再走 就找到了宝藏埋藏点 . 问:他们共走了多少千米
综合应用题
8. [2025 邯郸模拟] 若 ,则表示实数 的点会落在如图所示的数轴的 ( )
A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上
9. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 ,宽为 的矩形,若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形, 则该圆的面积是 ( )
A. B. C. D.
10. 已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为_____.
11. 我们规定运算符号“ ”的意义是: 当 时, ; 当 时, ,其他运算符号的意义不变,计算:
小进准备完成题目“ 一 ”时，发现“ ”处的数印刷不清楚.
(1)他把“■”处的数猜成 6，请你计算 - 的结果;
(2)他妈妈说:“你猜错了，我看到该题的答案是 .” 通过计算说明原题中“■”处的数是多少.
13. 先阅读材料，再解答问题.
已知 都是有理数,且满足 - ,求 的值.
解: 由题意得 .
都是有理数, 也是有理数.
又 是无理数, .
.
问题: 已知 都是有理数,且满足 ,求 的值.
创新拓展题
14. 新考法 数形结合法 如图，在数轴上有两个长方形 和 ，这两个长方形的宽都是 个单位长度，长方形 的长 是 个单位长度,长方形 的长 是 个单位长度,点 在数轴上表示的数是 ,且 两点之间的距离为 .
(1)点 在数轴上表示的数是_____，点 在数轴上表示的数是_____；
(2)若线段 的中点为 ，线段 上有一点 以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动， 以每秒 3 个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为 ，问当 为多少时,原点 恰为线段 的三等分点
第 2 课时 二次根式的混合运算
基础提优题
1. 计算 的结果是 ( )
A. B. C. D.
2. 从“ +,一, ,÷”中选择一种运算符号,填入算式 “(√3+1)□”中的“□”内，使其运算结果为有理数, 则应选择的运算符号是 ( )
A. + B.- C. D.
3. 如图，数轴上表示的数可近似表示 的结果的是 ( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
4. 已知 ,则 与 的关系是( )
A. 互为相反数 B. 相等
C. 互为倒数 D. 互为负倒数
5. 计算:
6. 已知 ,则 化简的结果为_____.
7. 计算:
(1) ；
(2) ；
8. 先化简,再求值: ,其中 .
综合应用题
9. 若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
10. 设 ,则 之间的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
11. 已知 ,且 ,则正整数 的值为_____.
12. 数学课上,同学们对王老师写在黑板上的题很感兴趣，他们答案都不同，且众说纷纭. 题目如下:
化简: .
①小浩说:当 皆为正数时，化简结果为 ; ②小特说:当 皆为负数时, 化简结果为 ; ③小凌说:当 , 时,化简结果为 ; ④小斯
说: 当 时,化简结果为
以上同学的说法中正确的是_____. (填序号)
13. 已知 .
(1) 求 的值；
(2)若 为 的整数部分， 为 的小数部分，求 的值.
14. 如图，张大伯家有一块长方形空地 ，长方形空地的长 为 ， 宽 为 ，现要在空地中划出一块长方形地养鸡 (图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为 ，宽为 .
(1)长方形空地 的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)若市场上某种蔬菜的价格为 8 元/kg，张大伯种植该种蔬菜,且每平方米可以产 的该种蔬菜. 如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完, 那么销售收入为多少元
创新拓展题
15. [2025 北京海淀区期中] 小君想到了一种证明等式 成立的方法. 过程如下:设 ， ( ， )，则 ，
等号左边 ,等号右边 . .
等号右边 等号左边 等号右边.
等式 成立.
(1)小艳利用同样的方法求出方程 的解. 她的想法是: 将一个无理方程转化为一个整式方程 (组), 再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解. 请你帮助小艳完成她的求解过程.
解: 设 , 则 _____， _____. 将原无理方程转化为用 表示的整式方程 (组), 并完成原无理方程的求解过程.
(2)方程 的解为_____.
19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加减
1. C 2. D 3.0 (答案不唯一)
4.
5.
6.【解】( 1 )原式
( 2 )原式 .
(3)原式 .
7.【解】 .
他们共走了 .
8. B ,即 2. 表示实数 的点会落在数轴的段②上，故选 B.
9. B
10. 2 由题意得 解得
11.
12.【解】(1)原式
(2)设原题中“■”处的数是 ，
则 ,
即 .
.
.
,解得 .
原题中“ ”处的数是 .
13.【解】 ,
.
都是有理数,
也是有理数.
又 是无理数,
,解得 .
当 时, ;
当 时, .
综上, 的值是 8 或 0 .
14.【解】(1)13 ；
(2)由题意知，线段 的中点为 ，则 表示的数为 ，线段 上有一点 ，且 ，则 表示的数为 . 以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动， 以每秒 3 个单位长度的速度向左运动，
经过 后， 点表示的数为 点表示的数为 ,
① 当 时，则有 ， 解得 (经检验,不符合题意,舍去) 或 ; ② 当 时，则有 ， 解得 或 (经检验,不符合题意,舍去), 综上所述,当 或 时,原点 恰为线段 的三等分点.
第2课时 二次根式的混合运算
1. A 2. B 3. A
4. A 与 互为相反数.
5. 2) .
6. 由题意得 ,解得 , . .
7.【解】(1)原式 .
(2)原式 .
(3)原式 .
8.【解】原式 .
当 时,原式
9. B .
10. C . 故选 C.
11. 2 . 将 代入 ，得 1985，化简得 ， . 又 为正整数, 10,解得 .
12. ①③④ 当 皆为正数时,原式 ,故①正确. ②当 皆为负数时, 无意义,故②错误. ③当 时,原式 ,故③正确. 当 时,原式 ,故 ④ 正确. 综上，①③ ④正确.
13.【解】(1) ,
.
.
(2) 为 的整数部分， 为 的小数部分， ，
.
14.【解】(1)长方形空地 的周长 ( )
(2)种植蔬菜部分的面积 (元).
因此，如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为 8160 元.
15.【解】(1) ；
易得 .
.
.
联立得 解得
.
(2) . ,解得 . 经检验: 是原方程的解.