高考数学知识点及解题思路最全总结 学案
文档属性
| 名称 | 高考数学知识点及解题思路最全总结 学案 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 17.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
数学最全知识点总结
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了
解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示
一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关
系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
0
1. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
第 1 页 共 247 页
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1
2
. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①
②
③
任何一个集合是它本身的子集，记为 A A；
空集是任何集合的子集，记为
A ；
空集是任何非空集合的真子集；
如果 A B ，同时 B A，那么 A = B.
如果 A B，B C，那么A C .
第 2 页 共 247 页
[注]：①Z= {整数}（√）
Z ={全体整数} （×）
②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（×）（例：S=N；
A= N ，则 C A= {0}）
s
③
④
空集的补集是全集.
若集合 A=集合 B，则 CA= ，C B =
C （C B）= D
（注：C B = ）.
B
A
S
A
A
3
. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
x y 3
例：
2
x 3y 1
解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ）
4
.①n 个元素的子集有 2n 个.
②n 个元素的真子集有 2n －1 个.
③n 个元素的非空真子集有 2n－2 个.
5
. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.
例：①若 a b 5，则a 2或b 3 应是真命题.
解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真.
x y 3.
x 1且y 2，
②
解：逆否：x + y =3x = 1 或 y = 2.
x y 3
x 1且y 2 x y 3,故
x 1且y 2
是
的既不是充分，
第 3 页 共 247 页
又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
x 5， x 5或x 2
例：若
.
6
.集合运算：交、并、补.
交：A B {x | x A,且x B}
并：A B {x | x A或x B}
补：C A {x U,且x A}
U
7
.主要性质和运算律
（1）包含关系：
A A, A, A U , CU A U ,
A B,B C A C; A B A, A B B; A B A, A B B.
A B A B A A B B C A B U
（2）等价关系：
U
（3）集合的运算律：
交换律： A B B A; A B B A.
结合律:(A B) C A (B C);(A B) C A (B C)
分配律:. A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C)
0
-1 律： A , A A,U A A,U A U
等幂律： A A A, A A A.
求补律：A∩C A=φ A∪C A=U C U=φ C φ=U
U
U
U
U
反演律：C (A∩B)= (C A)∪(C B)
C (A∪B)= (C A)∩(C B)
U
U
U
U
U
U
8
.有限集的元素个数
定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card(φ) =0.
第 4 页 共 247 页
基本公式：
(1)card(A B) card(A) card(B) card(A B)
(2)card(A B C) card(A) card(B) card(C)
card(A B) card(B C) card(C A)
card(A B C)
(3) card( A)= card(U)- card(A)
U
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1
.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①
将不等式化为 a (x-x )(x-x )…(x-x )>0(<0)形式，并将各因式 x 的系数化“+”；
0
1
2
m
(为了统一方便)
②
③
④
求根，并在数轴上表示出来；
由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；
若不等式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.
+
+
xm-3 -
x
x
xm-1
xm
x1
m-2
-
x2
x3
（自右向左正负相间）
a x a x 1 a x 2 a a
n
n
n
0
( 0)(
0)
则不等式
的解可以根据各
0
1
2
n
0
区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式 ax2+box>0(a>0)解的讨论.
第 5 页 共 247 页
0
0
0
二次函数
y ax
2
bx c
（
a 0 ）的图象
一元二次方程
bx c 0
有两相异实根
有两相等实根
ax
2
b
x , x (x x )
x x
无实根
a 0 的根
1
2
1
2
1
2
2
a
ax
2
bx c 0
b
x x x1或x x2
x x
(a 0)的解集
2a
R
ax
2
bx c 0
x x1 x x
2
(a 0)的解集
2
.分式不等式的解法
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
（1）标准化：移项通分化为
>0(或
<0)；
≥0(或
≤0)的形式，
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
f (x)
f (x)
f (x)g(x) 0
（2）转化为整式不等式（组）
0 f (x)g(x) 0;
0
g(x)
0
g(x)
g(x)
3
.含绝对值不等式的解法
ax b c
ax b
c(c 0)
（1）公式法：
,与
型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4
.一元二次方程根的分布
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
第 6 页 共 247 页
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“
或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命
题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的
命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；
非 p(记作“┑q” ) 。
3
、“或”、 “且”、 “非”的
互 逆
真值判
原 命 题
逆 命 题
若 p则 q
若 q则 p
互
为
逆否
断
互
否
互
否
逆
否
为
互
（
1）“非 p”形式复合命题的真假
与 F 的
逆 否 命 题
若 ┐q则 ┐p
否 命 题
若 ┐p则 ┐q
互 逆
真假相反；
（
2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；
3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真．
（
4、四种命题的形式：
原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；
否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
第 7 页 共 247 页
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命
题)
①
②
③
、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
、原命题为真，它的否命题不一定为真。
、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知 p q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)
矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
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（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶
性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数
的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概
念、图像
和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性
质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问
题．
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
F :A B
定 义
反 函 数
一 般 研 究
具 体 函 数
图 像
映 射
性 质
函 数
二 次 函 数
指 数 指 数 函 数
对 数 函 数
对 数
二、知识回顾：
（一）
映射与函数
第 9 页 共 247 页
1
2
. 映射与一一映射
.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用
的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法
则二者完全相同的函数才是同一函数.
3
.反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把
x 表示出，得到 x= (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= (y)，x 在 A
中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的
y f (x)(x A)
函数，这样的函数 x= (y) (y C)叫做函数
的反函数，记作
x f 1 (y),习惯上改写成 y f 1 (x)
（
二）函数的性质
函数的单调性
⒈
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x ,x
2,
1
⑴
若当 x1
2
1
2
⑵
若当 xf(x ),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
1
2
1
2
若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间
具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这
一区间上的单调函数.
2
.函数的奇偶性
第 10 页 共 247 页
偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
7
. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数： f ( x) f (x)
设（a,b ）为偶函数上一点，则（ a,b ）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于 y 轴对称，例如： y x2 1在[1, 1) 上不是偶函数.
f (x)
②满足 f ( x) f (x) ，或 f ( x) f (x) 0 ，若 f (x) 0 时，
1.
f ( x)
⑵奇函数： f ( x) f (x)
设（a,b ）为奇函数上一点，则（ a, b ）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如： y x3 在[1, 1) 上不是奇函数.
f (x)
②满足 f ( x) f (x) ，或 f ( x) f (x) 0 ，若 f (x) 0 时，
1.
f ( x)
第 11 页 共 247 页
8
. 对称变换：①y = f（x） y轴 对 称 y f（ x）
②y =f（x） x轴对 称 y f（x）
③y =f（x） 原 点 对 称 y f（ x）
9
. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
（
x x ）(x x )
x
2 2
b
x
2 b2
2
1
2
1
2
f (x1) f (x2 )
1
2
2
2
2
x
b
x
b
x
1
在进行讨论.
1
0. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
x
例如：已知函数 f（x）= 1+
的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定义域是 B，则
.
1
x
B A
集合 A 与集合 B 之间的关系是
解：f (x) 的值域是 f ( f (x)) 的定义域B ，f (x) 的值域 R ，故 B R ，而 A x | x 1 ，故 B A.
1
1. 常用变换：
f (x)
①
f (x y) f (x) f (y) f (x y)
.
f (y)
f (y)
证： f (x y)
f (x) f [(x y) y] f (x y) f (y)
f (x)
x
②
f ( ) f (x) f (y) f (x y) f (x) f (y)
y
证： f (x) f ( x
y) f ( ) f (y)
x
y
y
1
2. ⑴熟悉常用函数图象：
| 2| → y 1
x
|x|
|x 2|
1
1
例： y 2|x| →| x | 关于 y 轴对称.
y
→ y
2
2
2
▲
▲
y
y
▲
y
(-2 ,1 )
(0,1)
x
x
x
▲
y
y |
2
2
1|
x2 x →| y | 关于 x 轴对称.
x
第 12 页 共 247 页
⑵熟悉分式图象：
2
x 1
7
例： y
2
定义域{x | x 3, x R} ，
x 3
x 3
值域{y | y 2, y R}→值域 x 前的系数之比.
▲
y
2
（三）指数函数与对数函数
x
3
y ax (a 0且a 1)
指数函数
的图象和性质
a>1
0
4.5
4.5
4
4
3.5
3
3
.5
3
图
象
2
.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
y=1
1
0.5
0.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-0.5
-0.5
-1
-1
(1)定义域：R
性
质
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1
(4)x>0 时，y>1;x<0 时， (4)x>0 时，01.
0
（5）在 R 上是增函数
（5）在 R 上是减函数
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对数函数 y=log x 的图象和性质:
a
对数运算：
(1)
log (M N) log M log N
a
a
a
M
N
loga
log M log N
a
a
log M
nlog M
12)
n
a
a
1
n
loga
M
log M
a
n
aloga N
N
log N
b
换底公式：
log N
a
log a
b
推论：log b log c log a 1
a
b
c
log a log a ... log
a log a
n
a
1
2
a
3
an 1
n
a
1
2
M 0, N 0,a 0,a 1, b 0, b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 且 ）
0
1
（以上
1
2
n
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a>1
0y
y= lo ga x
a >1
图
象
O
x
x =1
a <1
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
性
质
（
3）过点（1，0），即当 x=1 时，y=0
y 0
x ( 0,1)
y 0
x ( 0,1)
（4）
时
时
x (1, )
y 0
x (1, )时
时
y>0
第 15 页 共 247 页
（5）在（0，+∞）上是增函 在（0，+∞）上是减函数
数
注⑴：当a,b 0 时，
.
log(a b) log( a) log( b)
⑵：当M 0时，取“+”，当n 是偶数时且M 0 时，M
0 ，而
0
，故取“—”.
n
M
例如：log x2 2 log x (2 log x 中 x＞0 而log x2 中 x∈R）.
a
a
a
a
⑵
y a x （a 0, a 1）与 y loga x 互为反函数.
当a 1 时， y loga x 的a 值越大，越靠近 x 轴；当0 a 1时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
log N
(1)
log (M N) log M
a
a
a
M
N
loga
log M log N
a
a
log M
n
nloga
12)
M
a
1
n
loga
M
log M
a
n
alog
N
N
a
log N
b
换底公式：log N
a
log a
b
推论：log b log c log a 1
a
b
c
log a log a ... log
a log a
n
a
1
2
a
3
an 1
n
a
1
2
M 0, N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 且 ）
0
1
（以上
1
2
n
第 16 页 共 247 页
注⑴：当a,b 0 时，log(a b) log( a) log( b) .
⑵：当M 0时，取“+”，当n 是偶数时且M 0 时，M
0 ，而
0
，故取“—”.
n
M
例如：log x2 2 log x (2 log x 中 x＞0 而log x2 中 x∈R）.
a
a
a
a
⑵
y a x （a 0, a 1）与 y loga x 互为反函数.
当a 1 时， y loga x 的a 值越大，越靠近 x 轴；当0 a 1时，则相反.
⑵
⑶
⑷
.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即
可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0；②偶次根式中被开方数不
小于 0；③对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；④零指数幂的底数不等于
零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；
④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹
.单调性的判定法：①设 x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且 x ＜x ；
1
2
1
2
②
判定 f(x )与 f(x )的大小；③作差比较或作商比较.
1
2
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)
第 17 页 共 247 页
之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0 为偶；
f(x)+f(-x)=0 为奇；③f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用
熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函
数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前 n 项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前 n 项和公式．
考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一
种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解
决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解
决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
数列的定义
项
数列的有关概念
数列的通项
项数
通项
数列
第 1
47 页
数列与函数的关系
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前 n 项和
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前 n 项和
等比数列
等差数列
等差数列
等比数列
an 1 an d
a
n 1 q(q 0)
定义
a
n
递 推
公式
an an 1 d ；an am n md
an an 1q ；a a qn m
n
m
第 19 页 共 247 页
a a (n 1)d
通 项
公式
n
1
a a qn 1 （a1, q 0 ）
1. ⑴ 等
差、等比
数列：
n
1
an k
an k
中项
A
G
an k an k (an k an k
0)
2
（
n, k N * , n k 0 ）
（n, k N * , n k 0 ）
n
前 n 项
和
na (q 1)
Sn
(a1 an )
1
2
S
n
a 1 q
a1 an q
1 q
n
1
(q 2)
n(n 1)
Sn
na1
d
1 q
2
重 要
性质
*
a a a a (m,n, p,q N*,m n p q)
am an
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
,
m
n
p
q
m n p q)
等差数列
等比数列
定义
{an}为A P an 1 an d(常数）
an 1
{a } G P
为
q(常数）
n
an
通 项 a =a +（n-1）d=a +（n-k） a a qn 1 ak qn k
n
1
k
n
1
公式 d=dn +a1 -d
n(a a )
n(n 1)
na1
(q 1)
求 和
公式
sn
1
n
na1
d
2
2
sn
n
a
1
an q
a (1 q )
1
d
d
(q 1
n2 (a1
)n
1
q
1 q
2
2
a b
中 项 A=
推 广 ： G
2
ab
。
推
广
：
2
公式 2an =an m an m
an
2
an m an m
1
若
m+n=p+q
则 若 m+n=p+q，则a a a a 。
m
n
p
q
a a a a
m
n
p
q
第 20 页 共 247 页
2
若{k } 成 A.P（其中 k N ） 若{k } 成等比数列 （其中
n
n
n
则{a }也为 A.P。
k N ），则{a } 成等比数
k
n
k
n
n
列。
3
4
．s ,s s ,s s
成等差数 s ,s s ,s s 成 等 比 数
2n 3n 2n
n
2n
n
3n
2n
n
n
列。
列。
an a1
n 1
am an
m n
an
a1
an
n 1
，
n m
d
(m n)
q
q
am
(m n)
5
⑵
①
②
③
⑶
①
②
看数列是不是等差数列有以下三种方法：
an an 1
d(n 2,d为常数)
2an an 1 an 1 (n 2 )
an kn b (n, k 为常数).
看数列是不是等比数列有以下四种方法：
an
an 1q(n 2,q为常数,且 0)
an2 an 1 a (n 2 ，a an 1an 1 0 )①
n 1
n
注①：i. b ac ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即b ac
ii. b ac （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.
iii. b ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分.
iv. b ac 且ac 0 →为 a、b、c 等比数列的充要.
a、b、c 等比数列.
注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.
第 21 页 共 247 页
③
④
an cqn (c, q 为非零常数).
正数列{a }成等比的充要条件是数列{log a }（ x 1）成等比数列.
n
x
n
s a (n 1)
数列{a }的前n 项和S 与通项a 的关系：a
1
1
⑷
n
sn sn 1 (n 2)
n
n
n
[
注]： ①a a n 1 d nd a d （d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即
n
1
1
常数列也是等差数列）→若d 不为 0，则是等差数列充分条件）.
d
d
d
②
等差{a }前 n 项和S An2 Bn n2 a n
→ 可以为零也可不为零→为等差
n
n
1
2
2
2
的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若 d 不为零，则是等差数列
的充分条件.
③
非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数
．．
列）
2
. ①等 差数 列 依 次每 k 项 的和 仍 成 等差 数 列 ，其 公 差 为原 公 差 的 k2 倍
Sk , S2k Sk , S3k S2k ... ；
S
a
奇
偶
n
S S nd，
②
若等差数列的项数为 2n n N ，则
；
偶
奇
S
a
n 1
③
若等差数列的项数为2n 1 n N ，则S
n 1 2n 1 an ，且S
奇 S 偶 an ， S奇
n
2
S偶 n 1
代入n到2n 1得到所求项数 .
n n 1
3
. 常用公式：①1+2+3 …+n =
2
n n 1 2n 1
②
③
12 22 32 n2
6
2
n n 1
13 23 33 n3
2
注]：熟悉常用通项：9，99，999，… a 10n 1； 5，55，555，… a 10n 1 .
5
[
n
n
9
4
. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则
第 22 页 共 247 页
每年的产量成等比数列，公比为1 r . 其中第n 年产量为a(1 r)n 1 ，且过n 年后总产
量为：
a[a (1 r) ]
n
a
a(1 r) a(1 r)
2
... a(1 r)
n 1
.
1
(1 r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每
月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为a(1 r)n 元. 因此，第二年年初
可存款：
12
]
a(1 r)[1 (1 r)
a(1 r)
12
a(1 r)
11 10
a(1 r)
=
... a(1 r)
.
1
(1 r)
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；
r 为年利率.
x 1 r m 1
ar 1 r m
1 r m 1
a 1 r m x 1 r m 1 x 1 r m 2 ......x 1 r x a 1 r m
x
r
5
. 数列常见的几种形式：
⑴
a
n 2 pan 1 qan （p、q 为二阶常数） 用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程 x2 Px q（ x 2
对应an 2
，x 对应a ），并设二根 x , x ②
n 1
1
2
若 x x 可设a c xn c xn ，若 x x 可设a (c c n)xn ；③由初始值a ,a 确定c ,c .
n.
1
2
1
1
2
1
2
n
1
2
1
1
2
1
2
2
⑵
an Pan 1 r （P、r 为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常
数 n 转化为an 2 Pan 1
c ,c 由a ,a 确定.
qa 的形式，再用特征根方法求a ；④a c c Pn 1（公式法），
n
n
n
1
2
1
2
1
2
r
①
转化等差，等比：an 1 x P(an x) an 1 Pan Px x x
.
P 1
r
r
②
选代法：an Pan 1 r P(Pan 2 r) r a (a
)Pn 1
(a1 x)Pn 1 x
n
1
P 1
P 1
Pn 1a1 Pn 2 Pr .
r
r
第 23 页 共 247 页
用特征方程求解：an 1 Pan r
③
相减， an 1
a Pa Pan 1 an 1
（P 1）a Pa .
n 1
an Pan 1 r
n
n
n
r
r
r
r
④由选代法推导结果：c1
，c a
，a c Pn 1 c （a 1）Pn 1
.
2
1
n
2
1
1
1
P
P
1
P
1
P
6
. 几种常见的数列的思想方法：
⑴
等差数列的前n 项和为S ，在d 0 时，有最大值. 如何确定使S 取最大值时的n
n
n
值，有两种方法：
d
d
一是求使an 0, an 1 0 ，成立的n 值；二是由Sn
n2 (a1 )n 利用二次函数的性质求
2
2
n 的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n 项 和 可 依 照 等 比 数 列 前 n 项 和 的 推 倒 导 方 法 ： 错 位 相 减 求 和 . 例 如 ：
1
2
1
1
1
,3 ,...(2n 1)
,...
4
2n
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两
个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d ，d 的最小公倍数.
1
2
2
. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n≥2 的任
an
意自然数,验证 an an 1 (
) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
an 1
2
an 1 an an 2 (a
2
n 1
an an 2 )n N 都成立。
am 0
3
. 在等差数列｛a ｝中,有关 S 的最值问题：(1)当a >0,d<0 时，满足
的
n
n
1
am 1
0
am 0
项数 m 使得 s 取最大值. (2)当a <0,d>0 时，满足
的项数 m 使得 sm 取最小
m
1
am 1
0
值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
第 24 页 共 247 页
（三）、数列求和的常用方法
1
2
. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
c
.裂项相消法:适用于
其中{ a }是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；
n
a a
n
n 1
部分无理数列、含阶乘的数列等。
3
.错位相减法:适用于 a b 其中{ a }是等差数列， b 是各项不为 0 的等比
n
n
n
n
数列。
4
.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.
5
.常用结论
n(n 1)
1）: 1+2+3+...+n =
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n
2
2
1
2
3）13 23 n3
n(n 1)
1
4
5
） 12 22 32 n
2
n(n 1)(2n 1)
6
1
1
1
1
1 1
1
）
）
( n 2)
n(n 1)
n
n 1
n(n 2)
2 n
1
1
1
1
6
( ) ( p q)
pq
q p p
q
高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、
余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
第 25 页 共 247 页
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数 y=Asin(ωx+φ)的图像．正
切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；
掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与
最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、
正切公式．
（
4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正
（
弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图，理解 A.ω、φ的物理意义．
（
（
（
6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示．
7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα
cosα=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1
. ①与 （0°≤ ＜360°）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：
▲
y
2
3
sinx
第 26 页 共 247 页
sinx
4
1
cosx
cosx
x
cosx
cosx
| k 360 , k Z
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
终边在 x 轴上的角的集合： | k 180 , k Z
终边在 y 轴上的角的集合： | k 180 90 , k Z
终边在坐标轴上的角的集合： | k 90 , k Z
终边在 y=x 轴上的角的集合： | k 180 45 , k Z
终边在 y x 轴上的角的集合： | k 180 45 , k Z
若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系： 360 k
若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系： 360 k 180
若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： 180 k
角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系： 360 k 90
2
. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、
弧度与角度互换公式： 1rad＝180 °≈57.30°=57°18ˊ．
1°＝ ≈0.01745（rad）
180
1
2
1
2
3、弧长公式：l | | r .
扇形面积公式：s扇形
| | r
2
lr
4
、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边
上任取（异于
y
a的终边
P（x,y)
原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则
y
r
；
sin
r
o
x
；
y ；
x
；
r ；.
x
r .
x
r
tan
x
y
cot
sec
csc
cos
y
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，
三切四余弦）
y
y
y
y
-
+
+
T
+
+
-
-
+
-
P
-o
o
x
o
x
x
-
+
O
M
A x
y
余弦、正割
正切、余切
正弦、余割
1
6. 几个重要结论:
(1)
y
(2)
|
sinx|>|cosx|
6、三角函数线
sinx>cosx
|cosx|>|sinx|
|cosx|>|sinx|
O
O
x
x
第 27 cosx>sin4x7 页
|
sinx|>|cosx|
(3) 若 o2
正弦线：MP;
余弦线：OM;
正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数
定义域
x | x R
f (x) sinx
x | x R
f (x) cosx
1
f (x) tanx
x | x R且x k
, k
Z
2
x | x R且x k , k Z
f (x) cotx
1
2
f (x) secx
x | x R且x k
, k
Z
x | x R且x k , k Z
f (x) cscx
8
、同角三角函数的基本关系式： sin
cos
sin
tan
cot
cos
csc sin 1
sec cos 1
tan cot 1
sin cos
2
2
1 sec2 tan2 1 csc
2
cot 1
2
9、诱导公式：
k
把
的三角函数化为 的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二
公式
组三
公式组一
sin x
sin(2k x) sin x
sin( x) sin x
2
2
sinx·cscx=1
tanx=
sin x+cos x=1
cos x
cos(2k x) cos x
tan(2k x) tan x
cot(2k x) cot x
cos( x) cos x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
cos x
2
2
cosx·secx=1
tanx·cotx=1
公式组四
x=
1+tan x =sec x
sin x
2
2
1+cot x=csc x
公式组五
公式组六
第 28 页 共 247 页
sin( x) sin x
cos( x) cos x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
sin(2 x) sin x
cos(2 x) cos x
tan(2 x) tan x
cot(2 x) cot x
sin( x) sin x
cos( x) cos x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
（二）角与角之间的互换
公式组一
公式组二
cos( ) cos cos sin sin
sin 2 2sin cos
cos( ) cos cos sin sin
cos 2 cos2
sin2
2 cos2 1 1 2 sin
2
2
tan
tan2
sin( ) sin cos cos sin
tan 2
1
1 cos
sin( ) sin cos cos sin
sin
2
2
tan tan
1 cos
tan( )
cos
1
tan tan
2
2
tan tan
1 cos
1 cos
sin
1 cos
1 cos
sin
tan( )
tan
1
tan tan
2
公式组三
组五
1 公 式组 四
公式
sin cos
sin sin
2
1
cos sin sin sin
2
1
cos
cos cos
1
cos
sin
cos(
sin
)
2
tan
2
2
2
sin
cos
tan
1
cos cos
2
sin
1
1
tan
2
sin(
cos
)
2
2
1
tan( ) cot
1
1
tan
tan
2
2
2
1
2
1
2
2
sin
sin
2 sin
cos
sin
cos
cos(
tan(
sin
)
2
2
2
sin sin 2 cos
2
2
cot
2
tan
)
2
cos cos 2 cos
2
2
1
2
1
tan2
sin(
cos
)
2
cos cos 2sin
sin
2
2
,
,
,
.
6
2
6
2
tan15 cot 75
2
3 tan 75 cot15
2
3
sin15 cos75
sin 75 cos15
4
4
第 29 页 共 247 页
1
0. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
y Asin x
y
cos x
y tan x
y cot x
y
sin x
（A、 ＞0）
1
2
定 义
域
R
R
x | x R且x k
,k
Z
x | x R且x k ,k Z
R
[
1, 1]
[ 1, 1]
A, A
值域
周 期
性
R
R
2
2
2
奇 偶
性
奇 函
偶 函
奇函数
奇函数
当 0, 非奇非
偶
数
数
当 0, 奇函数
[
2k 1 ,
；
k , k
k , k 1
上为减
[
2k ,
k ]
2
2
2
k
2
2
2
(A),
2k ]
上 为 增 上 为 增 函 数 函数（ ）
k
Z
2
1
2k
2
( A)
上 为 增 函
数 （k Z ）
[
2k ,
2k 1 ]
函 数 ；
上为增函数；
[
2k ,
上 为 减
函数
2k
2
2
(A),
3
2k ]
3
2
2k
2
( A)
单 调 上 为 减 （k Z ）
上 为 减 函 数
性
函
（
数
（
k Z ）
k Z ）
第 30 页 共 247 页
注意：① y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反；y cos x 与 y cos x 的单调性也同样相
▲
y
反.一般地，若 y f (x) 在[a,b] 上递增（减），则 y f (x) 在[a,b] 上递减（增）.
②
③
与
的周期是 .
y sin x
y
cos x
x
O
2
y sin( x ) 或 y cos( x ) （ 0 ）的周期T
.
x 的周期为 2 （
2
，如图，翻折无效）.
y tan
T
T
2
④
y sin( x ) 的对称轴方程是 x k （k Z ），对称中心（ ）；y cos( x ) 的
k ,0
2
k
对称轴方程是 x k （k Z ），对称中心（k
）；y tan( x ) 的对称中心（
）.
,0
1
2 ,0
2
y cos 2x 原
点
对
称 y cos( 2x) cos 2x
⑤
当tan ·tan 1, k (k Z) ；tan ·tan 1, k (k Z) .
2
2
是同一函数,而 是偶函数，则
⑥
y cos x 与
y sin x
2k
y
( x
)
2
1
.
y ( x ) sin( x k ) cos( x)
2
⑦函数 y tan x在 R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个
定义域， y tan x为增函数，同样也是错误的].
⑧
定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条
件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
，奇函数：
f ( x)
f (x)）
f ( x) f (x)
1
3
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y tan x 是奇函数，
)
是非奇非偶.
y
tan(x
（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则 f (x) 一定有
f (0) 0 .（0 x 的定义域，则无
此性质）
▲
▲
y
y
⑨
不是周期函数；
为周期函数（ ）；
y sin x
y
sin x
T
x
1
/2
是周期函数（如图）；
为周期函数（ ）；
x
y cos x
y
cos x
T
y=cos|x|图象
y=|cos2x+1/2|图象
第 31 页 共 247 页
的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
1
2
y cos2x
.
y f (x) 5 f (x k),k R
b
a
⑩
y a cos bsin a b sin( ) cos
有 a2 b2 y .
2
2
1
1、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法
（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数 y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T
2 ，频率
，相位 x ; 初
1
|
|
f
|
T
2
|
相 （即当 x＝0 时的相位）．（当 A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩
短（当 0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿
y 轴的伸缩变换．（用 y/A 替换 y）
由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩
短（|ω|＞1）到原来的 倍，得到 y＝sinω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x
1
|
|
轴的伸缩变换．(用ωx 替换 x)
由 y＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜
φ｜个单位，得到 y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的
平移．(用 x＋φ替换 x)
由 y＝sinx 的图象上所有的点向上（当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜
b｜个单位，得到 y＝sinx＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移．（用 y+(-b)替换 y）
第 32 页 共 247 页
由 y＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）
x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图
（
象延 x 轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数：
函数 y＝sinx，
的反函数叫做反正弦函数，记作 y＝arcsinx，它的定义域
．
x
，
2
2
是［－1，1］，值域是
－
，
2
2
函数 y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作 y＝arccosx，
它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数 y＝tanx，
的反函数叫做反正切函数，记作 y＝arctanx，它的定
2
x ，
2
义域是（－∞，＋∞），值域是
．
，
2
2
函数 y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作 y＝arcctgx，
它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1
. 反三角函数：⑴反正弦函数 y arcsin x 是奇函数，故
arcsin x ， （ 一
arcsin( x)
x
1,1
定要注明定义域，若
，没有 x 与 y 一一对应，故 y sin x 无反函数）
x ,
.
注：sin(arcsin x) ， ，
1,1
x
x
arcsin x
,
2 2
⑵反余弦函数 y arccos x非奇非偶，但有
arccos( x) arccos(x) 2k ， .
x
1,1
注：①cos(arccos x) ，
1,1
，
arccos x 0,
.
x
x
②
⑶
是偶函数，
非奇非偶，而
和
为奇函数.
arcsin x
y cos x
y
arccos x
y
sin x
y
,
反正切函数：
，定义域( , ) ，值域（
），
是奇函数，
arctan x
y
arctan x
y
2
2
第 33 页 共 247 页
，
x .
arctan( x) arctan x
(
,
)
注：tan(arctan x)
， x .
x
(
,
)
,
⑷
反余切函数：
arc cot x ，定义域( , ) ，值域（
）， y arc cot x 是非奇非
y
2
2
偶.
，
x .
arc cot( x) arc cot(x) 2k
(
,
)
注：①cot(arc cot x) ， x .
x
(
,
)
②
y arcsin x 与 y arcsin(1 x) 互为奇函数， y arctan x 同理为奇而 y arccos x 与
非
y
arc cot x
奇非偶但满足arccos( x) arccos x 2k , x [ 1,1]arc cot x arc cot( x) 2k , x [ 1,1]
.
⑵
正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a 的取值范围
解集
a 的取值范围
②cos x a 的解集
a ＞1
解集
①
sin x a 的解集
a ＞1
a =1
a =1
x | x
x | x
arccosa, k
x
|
x
2
k
a
r
c
s
i
n
a
,
k
Z
2k
Z
x | x
arcsin a, k
k
1
Z
a
＜1
arccosa, k
a ＜1
k
k
Z
③
③
tan x a 的解集： x | x k arctan a, k Z
cot x a 的解集： x | x k arc cot a,k Z
二、三角恒等式.
cos cos 2 cos 4 ...cos 2n
sin 2n 1
2n 1 sin
sin 3 3sin 4sin3
sin 2 sin 2 sin sin
cos 3
4 cos3 3cos
cos2 cos2
组一
第 34 页 共 247 页
组二
n
sin
k 1
cos
cos cos cos cos
k
2
4
8
2n
2
2
n sin
2
n
n
sin((n 1)d) cos(x nd)
k 0
cos(x kd) cos x cos(x d) cos(x nd)
sin d
n
sin((n 1)d) sin(x nd)
k 0
sin(x kd) sin x sin(x d) sin(x nd)
sin d
tan tan tan tan tan tan
tan( )
1
tan tan tan tan tan tan
组三 三角函数不等式
sin x
sin x ＜ x ＜tan x, x (0,
)
f (x)
在(0, ) 上是减函数
2
x
若 A B C ，则 x y z 2yz cos A 2xz cos B 2xy cosC
2
2
2
高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比
分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．
考试要求：
（
（
（
（
1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
2）掌握向量的加法和减法．
3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的
坐标运算．
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理
有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且
第 35 页 共 247 页
能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1
.本章知识网络结构
2
.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：
a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.
单位向量 a 为单位向量 ｜a ｜＝1.
O
O
x1 x
(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ ，ｙ )＝（ｘ ，ｙ ）
2
1
1
2
2
y1
y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行
向量也称为共线向量.
3
.向量的运算
运算类
型
几何方法
坐标方法
运算性质
第 36 页 共 247 页
a b b a
向量的 1.平行四边形法则
a b (x x , y y )
(a b) c a (b c)
1
2
1
2
加法
2.三角形法则
AB BC AC
向量的
减法
a b a ( b)
三角形法则
a b (x x , y y )
1
1
2
2
AB BA,OB OA AB
1
. a 是 一 个 向 量 , 满
数
乘
向
量
( a) ( )a
足:| a | | || a |
( )a
a
a
2
. >0 时, a与a 同向;
a ( x, y)
(a b) b
a
<0 时, a与a 异向;
a //b
b
a
=0 时, a 0.
向
量
的
数
量
积
a b b a
a b 是一个数
( a) b a ( b) (a b)
1
.a 0或b 0时，
a b x x y y
2
(a b) c a c b c
a b 0 .
1
2
1
2
a
| a |2 即|a|= x2
y
2
a 0且b 0时，
2.
a b | a ||b | cos(a,b)
|
a b | | a || b |
4
.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e ，e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，
1
2
有且仅有一对实数λ ，
1
λ ，使 a＝λ e ＋λ e .
2
1
1
2
2
(2)两个向量平行的充要条件
第 37 页 共 247 页
a∥b a＝λb(b≠0) x y －x y ＝O.
1
2
2
1
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝O x x ＋y y ＝O.
1
2
1
2
(4)线段的定比分点公式
设点 P 分有向线段 P P 所成的比为λ，即 P P ＝λ PP ，则
1
2
1
2
1
1
OP ＝
OP1 ＋
OP2 (线段的定比分点的向量公式)
1
1
x1 x
1
y1 y2
x
2
,
(线段定比分点的坐标公式)
y
.
1
当λ＝1 时，得中点公式：
x1 x
x
2
,
1
2
OP ＝ （OP ＋OP ）或
1
2
2
y1
y2
y
.
2
(5)平移公式
设点 P(x，y)按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点 P′（x′，y′），
x x h,
则OP ＝OP +a 或
y k.
y
曲线 y＝f（x）按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理
a
b
c
正弦定理：
2R.
sin A
sin B
sin C
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
第 38 页 共 247 页
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 h ，h ，h ，半周长为 P，外接圆、内切
a
b
c
圆的半径为 R，r.
①
④
⑥
S =1/2ah =1/2bh =1/2ch
②S =Pr
③S =abc/4R
△
a
b
c
△
△
S =1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
△
⑤S = P P a P b P c
[海伦公式]
△
S =1/2（b+c-a）r [如下图]=1/2（b+a-c）r =1/2（a+c-b）r
b
△
a
c
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心A，其余 3 个是旁心.
如图：
A
A
F
E
c
A
c
b
b
O
C
cD
a
F
b
B
C
B
N
E
D
a
B
C
ra
I
F
B
C
ra
ra
a E
I
1
图2
图3
图4
图 1 中的 I 为 S△ABC
的内心， S =Pr
△
图 2 中的 I 为 S△ABC
的一个旁心，S =1/2（b+c-a）r
△
a
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
第 39 页 共 247 页
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若 BC=a，AC=b，AB=c [注：s 为△ABC 的半周长,
a b c
即
]
2
则：①AE=s a =1/2（b+c-a）
②BN=s b =1/2（a+c-b）
③FC=s c =1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）.
a b c
ab
特例：已知在 Rt△ABC，c 为斜边，则内切圆半径 r=
（如图 3）.
2
a b c
⑹在△ABC 中，有下列等式成立tan A tan B tan C tan A tan B tan C .
证明：因为 A B C, 所以tan A B tan C ，所以1tan A tan B
tan C ， 结论！
tan A tan B
AC BD AB BC
2
2
⑺在△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则 AD2
BD DC .
BC
证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 AD2 AB2 BD2 2 AB BD cos B ①
AB BC AC
2
2
2
在△ABC 中，由余弦定理有cos B
②，②代入①，化简
2
AB BC
AC BD AB BC
2
2
A
可得， AD2
BD DC （斯德瓦定理）
BC
图 5
1
①
②
③
若 AD 是 BC 上的中线，ma
2b2 2c2 a 2
；
2
2
若 AD 是∠A 的平分线，ta
bc p p a ，其B 中 p 为半周D 长；
C
b
c
2
若 AD 是 BC 上的高，ha
p p a p b p c ，其中 p 为半周长.
a
⑻△ABC 的判定：
c
2
a
2
b △ABC 为直角△ ∠A + ∠B =
2
2
c2 ＜a2 b2 △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B＜
2
第 40 页 共 247 页
c2 ＞a2 b2 △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B＞
2
附：证明：cosC
a
2
b2
c2 ，得在钝角△ABC 中，cosC
0
a b c
2
2
2
0, a b2 c
2
2
2
ab
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a b 2 a b 2 2( a 2 b 2 )
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
王
新奎
新敞
疆屯
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
王
新奎
新敞
疆屯
⑵
向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
王新敞
新奎疆屯
王
新奎
新敞
疆屯
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
王
新奎
新敞
疆屯
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
OB OA AB a b
BA OA OB a b
OP a( R)
运算律：⑴加法交换律：a b b a
⑵
⑶
3
加法结合律：(a b) c a (b c)
数乘分配律： (a b) a b
共线向量
王
新奎
新敞
疆屯
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线
向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．
第 41 页 共 247 页
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可
能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在
实数λ，使a ＝λb .
推论：如果l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意
一点 O，点 P 在直线l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式
OP OA t a ．
其中向量a 叫做直线l 的方向向量.
5
．向量与平面平行：
已知平面 和向量a ，作OA a ，如果直线OA 平行于 或在 内，那么我们
说向量a 平行于平面 ，记作：a // ．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
王
新奎
新敞
疆屯
王
新奎
新敞
疆屯
6
．共面向量定理：
如果两个向量 a,b 不共线， p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数 x, y 使
p xa yb
王
新奎
新敞
疆屯
推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ，
使MP xMA yMB 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB
式叫做平面MAB 的向量表达式
①
①
王
新奎
新敞
疆屯
7
空间向量基本定理：
王
新奎
新敞
疆屯
如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实
数组 x, y, z ，使 p xa yb zc
王
新奎
新敞
疆屯
第 42 页 共 247 页
推论：设O, A,B,C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个
有序实数 x, y, z ，使OP xOA yOB zOC
王
新奎
新敞
疆屯
8
空间向量的夹角及其表示：
王
新奎
新敞
疆屯
已知两非零向量a,b ，在空间任取一点O ，作OA a,OB b ，则 AOB 叫做向量
a 与 b 的夹角，记作 a,b ；且规定 0 a,b ，显然有 a,b b,a ；若
a,b ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b .
2
9．向量的模：
设OA a ，则有向线段OA的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a |.
1
0．向量的数量积： a b |a| |b| cos a,b ．
已知向量 AB a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点 A 在l 上的射影
A ，作点B 在l 上的射影 B ，则 A B 叫做向量 AB 在轴l 上或在e 上的正射影.
可以证明 A B 的长度| A B | | AB | cos a,e | a e | ．
1
1．空间向量数量积的性质：
（
1）a e | a | cos a,e ．（2）a b a b 0 ．（3）| a |2 a a ．
1
2．空间向量数量积运算律：
（
1）( a) b (a b) a ( b) ．（2）a b b a（交换律）（3）a (b c) a b a c （分
配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是
纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①
令a =(a ,a ,a ),b (b ,b ,b ) ，则
1
2
3
1
2
3
第 43 页 共 247 页
a b (a b ,a b ,a b )
a ( a , a , a )( R)
a b a b a b a b
a ∥
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
a1
a
b
2
a
a b a b a b a b 0
b a b ,a b ,a b ( R)
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
b1
b3
2
a a
a
2 a 2 2 a
2
(用到常用的向量模与向量之间的转化： a 2 a a a a a )
a
1
3
a b a b a b
3
a b
1
1
2
2
3
cos a,b
|
a | | b |
2 2 2
2 2
2
b
3
a
1
a
a
b
1
b
2
3
2
②
空间两点的距离公式：d (x x )2 (y y )2 (z z ) 2
.
2
1
2
1
2
1
（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记
作a ，如果a 那么向量a 叫做平面 的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面
|
AB n |
的一条射线，其中 A ，则点 B 到平面 的距离为
.
|
n |
②
利用法向量求二面角的平面角定理：设n , n 分别是二面角 l 中平面 , 的法
1
2
向量，则n , n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n , n 方向相同，
1
2
1
2
则为补角，n , n 反方，则为其夹角）.
1
2
③
证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面 ， A B a,C D ，且 CDE 三点不
共 线， 则 a∥ 的 充要 条 件 是存 在 有序 实 数 对 使 AB CD CE . （ 常设
AB CD CE 求解 , 若 , 存在即证毕，若 , 不存在，则直线 AB 与平面相交）.
A
B
B
▲
n
n1
C
▲
D
n2
E
A
C
第 44 页 共 247 页
高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的
定理，并会简单的应用．
（
（
（
3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
4）掌握简单不等式的解法．
5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1
. 不等式的基本概念
（
（
（
（
1） 不等（等）号的定义：a b
0
a
b;a b
0
a
b;a b
0
a
b.
2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
3）同向不等式与异向不等式.
4）同解不等式与不等式的同解变形.
2
.不等式的基本性质
（
（
（
（
（
1）
（对称性）
a
b
b
a
2）a b,b c a c （传递性）
3）
（加法单调性）
a
b
a
c
b c
4）
（同向不等式相加）
a
b,c
d
a
a
c
b
d
5）
（异向不等式相减）
a
b,c
d
c
b
d
第 45 页 共 247 页
（
（
（
6）a.
b,c
0
ac
bc
7）
ac
bc （乘法单调性）
a
b,c
0
8）
（同向不等式相乘）
a
b
0,c
d
0
ac bd
（异向不等式相除）
a
c
b
d
(9) a b 0,0 c d
1
1 （倒数关系）
b
(10) a b,ab 0
a
（
11）
bn (n Z,且n
1) （平方法则）
0
a
n
a
b
（12）a b 0 n a n b(n Z,且n 1) （开方法则）
3
.几个重要不等式
（1）若a R,则 | a | 0,a2 0
（2）若a、b R ,则a2 b2 2ab(或a2 b2 2 | ab | 2ab)（当仅当 a=b 时取等号）
（3）如果 a,b 都是正数，那么
a b （当仅当 a=b 时取等号）
ab
.
2
极值定理：若x, y R , x
S, xy
P, 则：
y
○
1
如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小；
如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大.
○
2
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
a b c
（当仅当 a=b=c 时取等号）
abc
(4)若a、b、c R ,则
3
3
b
a
a
b
2 （当仅当 a=b 时取等号）
(5) 若ab 0,则
(6)a 0时，| x | a x2 a2 x a 或 x a;
| x | a x2 a2 a x a
（7）若a、b
R,则|| a | | b || | a b | | a | | b |
4
.几个著名不等式
1）平均不等式：
（
如果 a,b 都是正数，那么
（当仅当 a=b
b2
2
a b
a
2
ab
.
1
1
2
2
a
b
第 46 页 共 247 页
时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数）：
a b
a
2 b
2
a b
a
2 b
2
特别地，ab
（当 a = b 时，(
）
(
)
2
)
2
ab
2
2
2
2
a2 b2 c 2
a
2
b
c
(a,b,c R,a b c时取等)
3
3
1
幂平均不等式：a1
2
a2
2
... an
2
(a a ... a )2
1
2
n
n
注：例如：(ac bd) 2 (a
2
b 2)(c d 2) .
2
1
1
1
1
1
1
1
常用不等式的放缩法：①
(n 2)
n
n 1 n(n 1)
n
2
n(n 1)
n 1 n
1
1
1
②
n 1
n
n
n 1(n 1)
n n 1
2 n
n n 1
（2）柯西不等式：
若a ,a ,a , ,a
R,b ,b ,b ,b
n
R;则
1
2
3
n
1
2
3
)
a b a b a b a b
2
a a a a2 )(b b b b2 )
(
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
（
1
1
2
2
3
3
n
n
1
2
n
n
a
a
a
a
当且仅当 1 2 3 n 时取等号
b
b2 b3 bn
1
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点
有
x , x (x
x2 ),
1
2
1
x1 x
2 )
f (x ) f (x )
1
2
x1 x
f ( 2 )
f (x1) f (x )
2 .
f (
或
2
2
2
2
则称 f(x)为凸（或凹）函数.
5
6
.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
第 47 页 共 247 页
f (x)g(x) 0
0
f (x)
f (x)
0 f (x)g(x) 0;
g(x)
g(x)
g(x) 0
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
f (x) 0
○
1
定义域
f (x) g(x) g(x) 0
f (x) g(x)
f (x)
0
0
○
f (x) 0
○
3
2
f (x)
0
f (x)
g(x)
g(x)
f (x) g(x) g(x) 0
或
g(x) 0
f (x) [g(x)]2
（
（
（
4）.指数不等式：转化为代数不等式
a f (x) ag(x) (a 1) f (x) g(x);
a f (x) ag(x) (0 a 1) f (x) g(x)
a f (x) b(a 0,b 0) f (x) lga lgb
5）对数不等式：转化为代数不等式
f (x) 0
f (x) 0
log f (x) log g(x)(a 1) g(x) 0
;
log f (x) log g(x)(0 a 1) g(x) 0
a
a
a
a
f (x) g(x)
f (x) g(x)
6）含绝对值不等式
○
○
1
应用分类讨论思想去绝对值；
应用化归思想等价转化
2 应用数形思想；
○
3
g(x) 0
|
|
f (x) | g(x)
g(x) f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) | g(x) g(x) 0( f (x), g(x)不同时为0)或
f (x) g(x)或f (x) g(x)
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
1
1 2
4
①
②
x(1 x)
2
2x(1 x)(1 x)
( )
2 3
3
2
27
2
x2 (1 x2 )(1 x2 )
1 2
4
2 3
9
y
x(1 x2 )
y 2
( ) 3
2 3
y
2
27
类似于 y sin xcos 2x sin x(1 sin
2x) ，③| x | | x | | | (x与 同号，故取等) 2
1
1
1
x
x
x
第 48 页 共 247 页
高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直
线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公
式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
（
（
（
（
3）了解二元一次不等式表示平面区域．
4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
x
1
. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直
x
线的倾斜角，其中直线与 轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范
围是0 180 (0 ) .
注：①当 90 或 x x 时，直线l 垂直于 x 轴，它的斜率不存在.
2
1
第 49 页 共 247 页
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每
一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2
. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点(a,0), (0,b) ，即直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为a,b(a 0,b 0)
x
y
时，直线方程是：
1.
a
b
2
2
注 ： 若 y x 2 是 一 直 线 的 方 程 ， 则 这 条 直 线 的 方 程 是 y x 2 ， 但 若
3
3
2
y x 2(x 0) 则不是这条线.
3
附：直线系：对于直线的斜截式方程 y kx b ，当 k,b 均为确定的数值时，它表示
一条确定的直线，如果k,b 变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，
它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行
直线.
3
. ⑴两条直线平行：
l ∥l k k 两条直线平行的条件是：①l 和l 是两条不重合的直线. ②在l 和l 的
1
2
1
2
1
2
1
2
斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”
都会导致结论的错误.
（
一般的结论是：对于两条直线 l ,l ，它们在 y 轴上的纵截距是 b ,b ，则 l ∥
1
2
1
2
1
l k k ，且b b 或l ,l 的斜率均不存在，即 A B B A 是平行的必要不充分条件，
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
且C C ）
1
2
推论：如果两条直线l ,l 的倾斜角为 , 则l ∥l .
1
2
1
2
1
2
1
2
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线l 和l 的斜率分别为k 和k ，则有l l k k 1
1
2
1
2
1
2
1
2
这里的前提是l ,l 的斜率都存在. ②l l k 0 ，且l 的斜率不存在或k 0 ，且l 的
1
2
1
2
1
2
2
1
第 50 页 共 247 页
斜率不存在. （即 A B A B 0 是垂直的充要条件）
1
2
2
1
4
. 直线的交角：
⑴
直线l 到l 的角（方向角）；直线l 到l 的角，是指直线l 绕交点依逆时针方向
1
2
1
2
1
k 2 k
1
旋转到与l 2 重合时所转动的角 ，它的范围是(0, ) ，当 90 时tan
.
1
k k
1
2
⑵
两条相交直线l 与l 的夹角：两条相交直线l 与l 的夹角，是指由l 与l 相交所
1
2
1
2
1
2
成的四个角中最小的正角 ，又称为l 和l 所成的角，它的取值范围是 0,
，当
1
2
2
k 2 k
1
9
0 ，则有tan
.
1
k1k
2
l :A x B y C 0
5
. 过两直线
1
1
1
1
的交点的直线系方程 A x B y C (A x B y C ) 0( 为
l :A x B y C 2
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
参数， A x B y C 0 不包括在内）
2
2
2
6
. 点到直线的距离：
⑴
点到直线的距离公式：设点 P(x ,y ) ，直线l : Ax By C 0, P 到l 的距离为 d ，则有
0
0
Ax By C
0
0
.
d
A2 B
2
注：
1
. 两点 P (x ,y )、P (x ,y )的距离公式：
.
(x2 x )
2
(y2
y )
1
2
|
P P |
1
1
1
2
2
2
1
2
1
特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：| OP |
x
2
y
2
2
. 定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段
, 其 中
PP所成的比为 即PP PP
1
2
1
2
x x
y1 y2
1
P (x ,y ),P (x ,y ).则
x
1
2 , y
1
1
1
2
2
2
1
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3
4
. 直线的倾斜角（0°≤ ＜180°）、斜率:k tan
y2 y
. 过两点
.
(x1
x2 )
P (x , y ),P (x , y )的直线的斜率公式：k
1
1
1
1
2
2
2
x2
x1
第 51 页 共 247 页
当 x x , y y （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 ＝ ，没有斜率
90
1
2
1
2
王新敞
学案
新疆
⑵
两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l : Ax By C 0,l : Ax By C 0(C C ) ，
1
1
2
2
1
2
C1 C
2
它们之间的距离为d ，则有d
.
A2 B
2
注；直线系方程
1
2
3
4
. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m R, C≠m).
. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m R)
. 过定点（x ,y ）的直线系方程是：
A(x-x )+B(y-y )=0 (A,B 不全为 0)
1
1
1
1
. 过直线 l 、l 交点的直线系方程：（A x+B y+C ）+λ( A x+B y+C ）=0 (λ R）
1
2
1
1
1
2
2
2
注：该直线系不含 l .
2
7
. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴
关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两
⑵
直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角
的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），
过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（ y x b ）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线
f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0.
第 52 页 共 247 页
②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1
. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的 与一个二元方程 f (x, y) 0
的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M (x, y) 其坐标与方程 f (x, y) 0 的一种
关系，曲线上任一点(x, y) 是方程 f (x, y) 0 的解；反过来，满足方程 f (x, y) 0 的解所
对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P (x ,y)线 C 上的充要条件是 f(x ,y )=0
0
0
0
0
2
. 圆的标准方程：以点C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是(x a)2 (y b)2 r 2 .
特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是： x2 y2 r 2 .
注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x a)2 (y b)2 b 2
[r b ,圆心(a,b)或(a, b)]
②与 y 轴相切的圆方程(x a)2 (y b)2 a 2
[
r
a ,圆心(a,b)或( a,b)]
③与x轴 y 轴都相切的圆方程(x a)2 (y a)2 a 2
[
r
a ,圆心( a, a)]
3
. 圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 .
D
E
D2 E 2 4F
当 D2 E 2 4F 0 时，方程表示一个圆，其中圆心C
, ，半径r
.
2
2
2
D
E
, .
2
当 D2 E 2 4F 0 时，方程表示一个点
2
当 D2 E 2 4F 0 时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程： x a r cos
（ 为参数）.
y b r sin
②
方 程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B 0 且 A C 0 且
第 53 页 共 247 页
.
2
E 2 4AF
D
0
③
圆的直径或方程：已知 A(x ,y )B(x ,y ) (x x )(x x ) (y y )(y y ) 0（用向量可征）.
1
1
2
2
1
2
1
2
4
. 点和圆的位置关系：给定点M (x ,y ) 及圆C : (x a)2 (y b)2 r 2 .
0
0
①
②
③
M 在圆C 内 (x a)2 (y b)2 r 2
0
0
M 在圆C 上 （x a)2 (y b)2 r 2
0
0
M 在圆C 外 (x a)2 (y b)2 r 2
0
0
5
. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：(x a)2 (y b)2 r 2(r 0) ；
直线l ： Ax By C 0(A2 B2 0) ；
Aa Bb C
圆心C(a,b) 到直线l 的距离d
.
A2 B
2
①
d r 时，l 与C 相切；
2 2
附：若两圆相切，则 x
y
D x E y F
1
0
相减为公切线方程.
1
1
x2 y2 D x E y F 0
2
2
2
②
d r 时，l 与C 相交；
2
2
E1y
F
C :x
y
D1x
0
附：公共弦方程：设
1
1
C :x y2 D2 x E2y F
2
0
2
2
有两个交点，则其公共弦方程为(D D )x (E E )y (F F ) 0 .
1
2
1
2
1
2
③
d r 时，l 与C 相离.
2 2
附：若两圆相离，则 x
y
D x E y F
0
相减为圆心O O 的连线的中与线方程.
1
1
1
1
2
x2 y2 D x E y F 0
2
2
2
由代数特征判断：方程组 (x a)2 (y b)2 r 2
用代入法，得关于 x（或 y ）的一元二
次方程，其判别式为 ，则：
0 l 与C 相切；
第 54 页 共 247 页
0 l 与C 相交；
0 l 与C 相离.
注：若两圆为同心圆则 x2 y2 D x E y F 0 ，x2 y2 D x E y F 0 相减，不表示直线.
1
1
1
2
2
2
6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆 x2 y2 r 2 的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是 y kx 1 k 2 r 过 圆
2
y2 Dx Ey
x
F
0
x x
y y
上一点 P(x ,y ) 的切线方程为： x x y y D
0 E
0 F 0 .
0
0
0
0
2
2
①
一般方程若点(x ,y )在圆上，则(x – a)(x – a)+(y – b)(y – b)=R2. 特别地，过
0
0
0
0
A
圆 x2 y2 r 2 上一点 P(x ,y ) 的切线方程为 x x y y r 2 .
0
0
0
0
y y k(x x )
1
0
1
0
C
②
若点(x ,y )不在圆上，圆心为(a,b)则
，联立求出Bk 切线方程.
b y1 k(a x1)
0
0
D (a,b)
R
R2 1
7
. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD
四类共圆. 已知 O 的方程 x2 y2 Dx Ey F 0 …① 又以 ABCD 为圆为方程为
…②
2
(x x )(x a) (y y A )(x b) k
A
b)
2
2
(x A a)2 (y
A
…③，所以 BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.
R
4
三、曲线和方程
1
.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如
下的关系：
1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）；
2
） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性）。则称方程 f(x,y)=0
为曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。
2
1
.求曲线方程的方法：.
）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;
2）参数法;
3）定义法，
4）
第 55 页 共 247 页
待定系数法.
第 56 页 共 247 页
高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
考试要求：
（
（
（
（
1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
4）了解圆锥曲线的初步应用．
§08. 圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1
. 椭圆方程的第一定义：
PF1 PF2 2a F F 方程为椭圆,
1
2
PF1 PF2 2a F F 无轨迹,
1
2
PF1 PF2 2a F F 以F ,F 为端点的线段
1
2
1
2
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： x2 y 2
1(a b 0) . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上：
2
2
a
b
2
2
2
2
.
y
x
1(a b 0)
a
b
2
2
2
2
x
y
②
一般方程：
.③椭圆的标准参数方程：
1 的参数方程为
Ax2 By 1(A 0, B 0)
2
a
b
x a cos
（
一象限 应是属于0 ）.
y bsin
2
⑵①顶点：( a,0)(0, b) 或(0, a)( b,0) .②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长2a ，短轴长2b .
2
2
a
a
③焦点：( c,0)(c,0) 或(0, c)(0,c) .④焦距： F1F 2 2c,c a2 b2 .⑤准线： x
或 y
.
c
c
第 57 页 共 247 页
c
⑥
离心率：e (0 e 1) .⑦焦点半径：
a
2
2
2
2
x
y
i. 设
为椭圆
1(a b 0) 上的一点， F ,F 为左、 右 焦点，则
ex0
PF ex , PF
a
a
P(x ,y )
0
0
1
2
1
0
2
a
b
由椭圆方程的第二定义可以推出.
2
2
2
2
x
y
ii.设P(x ,y ) 为椭圆
1(a b 0) 上的一点， F ,F 为上、下 焦 点，则
ey0
PF
a
ey , PF
a
0
0
1
2
1
0
2
b
a
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：pF
a
2
e(a2
归结起来为“左
x ) ex a(x 0)
e(x0 ) a ex (x 0), pF
1
0
0
2
0
0
0
c
c
加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得 N(a cos ,bsin ) 方程的轨迹为椭圆.
2
2
2
2
b
b
b
⑧
⑶
程
通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d
( c,
) 和(c,
)
2
a
a
a
2
2
2
2
x
y
c
共离心率的椭圆系的方程：椭圆
1(a b 0) 的离心率是e (c a2 b2 ) ，方
a
b
a
2
2
2
2
x
y
c
t(t 是大于 0 的参数，a b 0) 的离心率也是e
我们称此方程为共离心
a
b
a
率的椭圆系方程.
2
2
2
2
x
y
⑸
若 P 是椭圆：
1 上的点. F ,F 为焦点，若 F PF ，则 PF F 的面积为
1
2
1
2
1
2
a
b
b2 tan
（用余弦定理与
可
得
）
.
若
是
双
曲
线
，
则
面
积
为
2
.
PF
PF
2
a
b
c
o
t
1
2
2
2
二、双曲线方程.
▲
y
(bcos ,bsin )
(acos ,asin )
N
x
1
. 双曲线的第一定义：
PF PF 2a F1F 方程为双曲线
1
2
2
N 的轨迹是椭圆
PF PF 2a F1F 无轨迹
1
2
2
PF PF 2a F F 以F ,F 的一个端点的一条射线
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
y
x
⑴
①双曲线标准方程：
1(a,b 0),
1(a,b 0) . 一般方程：Ax2 Cy2 1(AC 0) .
a
b
a
b
⑵①i. 焦点在 x 轴上：
2
a
x
y
顶点： (a,0), ( a,0)
焦点： (c,0), ( c,0)
准线方程 x
渐近线方程：
0 或
c
a
b
2
2
2
2
x
y
0
a
b
第 58 页 共 247 页
2
a
ii. 焦点在 y 轴上：顶点：(0, a), (0, a) . 焦点：(0,c), (0, c) . 准线方程： y
. 渐近
④准
c
2
2
x a sec
x b tan
y
x
y
x
线方程：
0 或
0 ，参数方程：
或
.
a
b
a 2
b 2
y b tan
y a sec
c
②
轴 x, y 为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. ③离心率e .
a
2
2
2
a
c
2b
c
线距
（两准线的距离）；通径
. ⑤参数关系c2 a2 b2 ,e . ⑥焦点半径公
a
a
2
2
2
2
x
y
式：对于双曲线方程
的上下焦点）
1（ F ,F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线
1
2
a
b
“长加短减”原则：
MF1 ex0 a
M F ex0 a
1
构成满足
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
MF
MF
2a
MF 2 ex0 a
1
2
M F ex a
2
0
径要带符号计算，而双曲线不带
▲
y符号）
▲
y
F1
M
x
M'
M
MF1 ey0 a
x
MF 2 ey0 a
F2
F1
M'
M F ey a
0
1
F2
M F ey a
0
2
⑶等轴双曲线：双曲线 x2 y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率
e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双
x 2
a 2
y 2
b 2
x 2
a 2
y 2
b 2
曲线的共轭双曲线.
与
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近
2
2
2
2
x
y
线：
0 .
a
b
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
⑸共渐近线的双曲线系方程：
( 0) 的渐近线方程为
0 如果双曲线
2
2
a
b
a
b
▲
y
2
2
x
y
x
y
的渐近线为
0 时，它的双曲线方程可设为
( 0) .
4
3
a
b
a 2
b 2
2
1
1
例如：若双曲线一条渐近线为 y x 且过 p(3, ) ，求双曲线的方程？ 1
x
2
2
5 3
F1
F2
x 2
1
x
2
y
2
解：令双曲线的方程为：
y2 ( 0) ，代入(3, ) 得
1.
4
2
8
2
3
⑹直线与双曲线的位置关系：
第 59 页 共 247 页
区域①：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；
区域②：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；
区域③：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合
计 2 条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、
2、3、4 条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“ ”
法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
2
2
2
2
x
y
⑺若 P 在双曲线
1，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准
a
b
线的距离比为 m︰n.
PF
1
2
d
m
n
简证： 1
e
PF
=
.
d
2
e
常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.
三、抛物线方程.
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3. 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
2
2
2 py
y
2px
y2 2px
x
x2 2 py
图形
▲ y
▲y
▲y
▲y
x
x
x
x
O
O
O
O
p
p
F(0, p)
p)
焦点
F(
F(0,
F( ,0)
,0)
2
2
2
2
p
p
p
p
准线
x
x
y
y
2
2
2
2
x 0, y R
x 0, y R
x R, y 0
x R, y 0
范围
对称轴
顶点
x 轴
y 轴
（0，0）
e 1
离心率
焦点
p
p
p
p
PF
x1
PF
x1
PF
y1
PF
y1
2
2
2
2
2
注：①ay2 by c x 顶点(4ac b
b
) .
4
a
2a
②
y2 2px( p 0) 则焦点半径
P ; x2 2py( p 0) 则焦点半径为
2
P .
PF y
PF x
2
③通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
2
x 2pt
x
2pt
④
y 2px （或 x 2py ）的参数方程为
（或 y 2pt 2
）（t 为参数）.
2
2
y 2pt
四、圆锥曲线的统一定义..
4
. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨
迹.
当0 e 1时，轨迹为椭圆；
当e 1时，轨迹为抛物线；
第 61 页 共 247 页
当e 1时，轨迹为双曲线；
c
当e 0时，轨迹为圆（e ，当c 0, a b 时）.
a
5
. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线
的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点 F ,F 1．到两定点 F ,F
1
2
1
2
的距离之和为定
的距离之差的绝
对值为定值
值 2a(2a>|F F |)的
1
2
点的轨迹
2a(0<2a<|F F |)的
1
2
点的轨迹
2．与定点和直线 2．与定点和直线 与定点和直线的距
的距离之比为定
的距离之比为定 离相等的点的轨迹.
值 e 的点的轨迹.
值 e 的点的轨迹.
（0（e>1）
第 62 页 共 247 页
图形
标
x
2
2
y
2
2
x
2
2
y
2
2
方 准
方
( >0
(a>0,b>
1
a
b
1
a
b
a
b
y2=2px
)
0)
程
x acos
x asec
程 参
数
x
y
2pt2
2pt
y
sin
b
y b tan
(t 为参数)
(参数 为离心角）
(参数 为离心角）
方
程
范围
中心
顶点
─a x a，─b y b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
|x| a，y R
x 0
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0)
(0,0)
x 轴
对称轴
x 轴，y 轴；
x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴
长 2b.
长轴长 2a,短轴长
2
b
p
焦点
焦距
F (c,0), F (─c,0)
F (c,0), F (─c,0)
F( ,0)
1
2
1
2
2
2c （c=
a
2
b
2
） 2c （c=
a
2
b
2
）
c
c
离心率
准线
e
(0 e 1)
e
(e 1)
e=1
a
a
p
x
a
2
a
2
x=
x=
2
c
c
b
渐近线
y=± x
a
第 63 页 共 247 页
r a ex
p
焦半径
通径
r (ex a)
r x
2
b2
2
2b2
a
a
2
p
焦参数
2
2
a
a
c
c
P
1
2
3
5
6
. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
. 等轴双曲线
. 共轭双曲线
. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.
.共渐近线的双曲线系方程.
高中数学第九章-立体几何
考试内容
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面
直线的距离．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距
离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直
的判定与性质．
第 64 页 共 247 页
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;
能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像
它们的位置关系．
（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角
和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定
定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面
的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．
（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、
两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
（
（
（
（
（
5）会用反证法证明简单的问题．
6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
9（B）．直线、平面、简单几何体
考试内容：
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
第 65 页 共 247 页
两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的
角．向量在平面内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直
的判定和性质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求：
（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：
能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它
们的位置关系．
（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.
掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标
运算．
（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数
量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
（
6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异
（
面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平
第 66 页 共 247 页
面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
（
（
（
（
（
8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．
9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．
11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．
考生可在 9（A）和 9（B）中任选其一）
§09. 立体几何 知识要点
一、 平面.
1
. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2
3
. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面（. ①三条直线在一个平面内平行，
②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个.
4
. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z 三个方向）
二、 空间直线.
1
. 空间
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了
解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示
一些简单的集合．
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关
系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
0
1. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构:
第 1 页 共 247 页
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一） 集合
1
2
. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①
②
③
任何一个集合是它本身的子集，记为 A A；
空集是任何集合的子集，记为
A ；
空集是任何非空集合的真子集；
如果 A B ，同时 B A，那么 A = B.
如果 A B，B C，那么A C .
第 2 页 共 247 页
[注]：①Z= {整数}（√）
Z ={全体整数} （×）
②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（×）（例：S=N；
A= N ，则 C A= {0}）
s
③
④
空集的补集是全集.
若集合 A=集合 B，则 CA= ，C B =
C （C B）= D
（注：C B = ）.
B
A
S
A
A
3
. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
x y 3
例：
2
x 3y 1
解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ）
4
.①n 个元素的子集有 2n 个.
②n 个元素的真子集有 2n －1 个.
③n 个元素的非空真子集有 2n－2 个.
5
. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.
例：①若 a b 5，则a 2或b 3 应是真命题.
解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真.
x y 3.
x 1且y 2，
②
解：逆否：x + y =3x = 1 或 y = 2.
x y 3
x 1且y 2 x y 3,故
x 1且y 2
是
的既不是充分，
第 3 页 共 247 页
又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
x 5， x 5或x 2
例：若
.
6
.集合运算：交、并、补.
交：A B {x | x A,且x B}
并：A B {x | x A或x B}
补：C A {x U,且x A}
U
7
.主要性质和运算律
（1）包含关系：
A A, A, A U , CU A U ,
A B,B C A C; A B A, A B B; A B A, A B B.
A B A B A A B B C A B U
（2）等价关系：
U
（3）集合的运算律：
交换律： A B B A; A B B A.
结合律:(A B) C A (B C);(A B) C A (B C)
分配律:. A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C)
0
-1 律： A , A A,U A A,U A U
等幂律： A A A, A A A.
求补律：A∩C A=φ A∪C A=U C U=φ C φ=U
U
U
U
U
反演律：C (A∩B)= (C A)∪(C B)
C (A∪B)= (C A)∩(C B)
U
U
U
U
U
U
8
.有限集的元素个数
定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card(φ) =0.
第 4 页 共 247 页
基本公式：
(1)card(A B) card(A) card(B) card(A B)
(2)card(A B C) card(A) card(B) card(C)
card(A B) card(B C) card(C A)
card(A B C)
(3) card( A)= card(U)- card(A)
U
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1
.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①
将不等式化为 a (x-x )(x-x )…(x-x )>0(<0)形式，并将各因式 x 的系数化“+”；
0
1
2
m
(为了统一方便)
②
③
④
求根，并在数轴上表示出来；
由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；
若不等式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.
+
+
xm-3 -
x
x
xm-1
xm
x1
m-2
-
x2
x3
（自右向左正负相间）
a x a x 1 a x 2 a a
n
n
n
0
( 0)(
0)
则不等式
的解可以根据各
0
1
2
n
0
区间的符号确定.
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式 ax2+box>0(a>0)解的讨论.
第 5 页 共 247 页
0
0
0
二次函数
y ax
2
bx c
（
a 0 ）的图象
一元二次方程
bx c 0
有两相异实根
有两相等实根
ax
2
b
x , x (x x )
x x
无实根
a 0 的根
1
2
1
2
1
2
2
a
ax
2
bx c 0
b
x x x1或x x2
x x
(a 0)的解集
2a
R
ax
2
bx c 0
x x1 x x
2
(a 0)的解集
2
.分式不等式的解法
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
（1）标准化：移项通分化为
>0(或
<0)；
≥0(或
≤0)的形式，
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
f (x)
f (x)
f (x)g(x) 0
（2）转化为整式不等式（组）
0 f (x)g(x) 0;
0
g(x)
0
g(x)
g(x)
3
.含绝对值不等式的解法
ax b c
ax b
c(c 0)
（1）公式法：
,与
型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4
.一元二次方程根的分布
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
第 6 页 共 247 页
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“
或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命
题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的
命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；
非 p(记作“┑q” ) 。
3
、“或”、 “且”、 “非”的
互 逆
真值判
原 命 题
逆 命 题
若 p则 q
若 q则 p
互
为
逆否
断
互
否
互
否
逆
否
为
互
（
1）“非 p”形式复合命题的真假
与 F 的
逆 否 命 题
若 ┐q则 ┐p
否 命 题
若 ┐p则 ┐q
互 逆
真假相反；
（
2）“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；
3）“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真．
（
4、四种命题的形式：
原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；
否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
第 7 页 共 247 页
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命
题)
①
②
③
、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
、原命题为真，它的否命题不一定为真。
、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知 p q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。
若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)
矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
第 8 页 共 247 页
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶
性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数
的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概
念、图像
和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性
质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问
题．
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
F :A B
定 义
反 函 数
一 般 研 究
具 体 函 数
图 像
映 射
性 质
函 数
二 次 函 数
指 数 指 数 函 数
对 数 函 数
对 数
二、知识回顾：
（一）
映射与函数
第 9 页 共 247 页
1
2
. 映射与一一映射
.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用
的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法
则二者完全相同的函数才是同一函数.
3
.反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把
x 表示出，得到 x= (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= (y)，x 在 A
中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的
y f (x)(x A)
函数，这样的函数 x= (y) (y C)叫做函数
的反函数，记作
x f 1 (y),习惯上改写成 y f 1 (x)
（
二）函数的性质
函数的单调性
⒈
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x ,x
2,
1
⑴
若当 x
2
1
2
⑵
若当 x
1
2
1
2
若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间
具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这
一区间上的单调函数.
2
.函数的奇偶性
第 10 页 共 247 页
偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
7
. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数： f ( x) f (x)
设（a,b ）为偶函数上一点，则（ a,b ）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于 y 轴对称，例如： y x2 1在[1, 1) 上不是偶函数.
f (x)
②满足 f ( x) f (x) ，或 f ( x) f (x) 0 ，若 f (x) 0 时，
1.
f ( x)
⑵奇函数： f ( x) f (x)
设（a,b ）为奇函数上一点，则（ a, b ）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如： y x3 在[1, 1) 上不是奇函数.
f (x)
②满足 f ( x) f (x) ，或 f ( x) f (x) 0 ，若 f (x) 0 时，
1.
f ( x)
第 11 页 共 247 页
8
. 对称变换：①y = f（x） y轴 对 称 y f（ x）
②y =f（x） x轴对 称 y f（x）
③y =f（x） 原 点 对 称 y f（ x）
9
. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
（
x x ）(x x )
x
2 2
b
x
2 b2
2
1
2
1
2
f (x1) f (x2 )
1
2
2
2
2
x
b
x
b
x
1
在进行讨论.
1
0. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
x
例如：已知函数 f（x）= 1+
的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定义域是 B，则
.
1
x
B A
集合 A 与集合 B 之间的关系是
解：f (x) 的值域是 f ( f (x)) 的定义域B ，f (x) 的值域 R ，故 B R ，而 A x | x 1 ，故 B A.
1
1. 常用变换：
f (x)
①
f (x y) f (x) f (y) f (x y)
.
f (y)
f (y)
证： f (x y)
f (x) f [(x y) y] f (x y) f (y)
f (x)
x
②
f ( ) f (x) f (y) f (x y) f (x) f (y)
y
证： f (x) f ( x
y) f ( ) f (y)
x
y
y
1
2. ⑴熟悉常用函数图象：
| 2| → y 1
x
|x|
|x 2|
1
1
例： y 2|x| →| x | 关于 y 轴对称.
y
→ y
2
2
2
▲
▲
y
y
▲
y
(-2 ,1 )
(0,1)
x
x
x
▲
y
y |
2
2
1|
x2 x →| y | 关于 x 轴对称.
x
第 12 页 共 247 页
⑵熟悉分式图象：
2
x 1
7
例： y
2
定义域{x | x 3, x R} ，
x 3
x 3
值域{y | y 2, y R}→值域 x 前的系数之比.
▲
y
2
（三）指数函数与对数函数
x
3
y ax (a 0且a 1)
指数函数
的图象和性质
a>1
0
4.5
4.5
4
4
3.5
3
3
.5
3
图
象
2
.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
y=1
y=1
1
0.5
0.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-0.5
-0.5
-1
-1
(1)定义域：R
性
质
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1
(4)x>0 时，y>1;x<0 时， (4)x>0 时，0
（5）在 R 上是增函数
（5）在 R 上是减函数
第 13 页 共 247 页
对数函数 y=log x 的图象和性质:
a
对数运算：
(1)
log (M N) log M log N
a
a
a
M
N
loga
log M log N
a
a
log M
nlog M
12)
n
a
a
1
n
loga
M
log M
a
n
aloga N
N
log N
b
换底公式：
log N
a
log a
b
推论：log b log c log a 1
a
b
c
log a log a ... log
a log a
n
a
1
2
a
3
an 1
n
a
1
2
M 0, N 0,a 0,a 1, b 0, b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 且 ）
0
1
（以上
1
2
n
第 14 页 共 247 页
a>1
0
y= lo ga x
a >1
图
象
O
x
x =1
a <1
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
性
质
（
3）过点（1，0），即当 x=1 时，y=0
y 0
x ( 0,1)
y 0
x ( 0,1)
（4）
时
时
x (1, )
y 0
x (1, )时
时
y>0
第 15 页 共 247 页
（5）在（0，+∞）上是增函 在（0，+∞）上是减函数
数
注⑴：当a,b 0 时，
.
log(a b) log( a) log( b)
⑵：当M 0时，取“+”，当n 是偶数时且M 0 时，M
0 ，而
0
，故取“—”.
n
M
例如：log x2 2 log x (2 log x 中 x＞0 而log x2 中 x∈R）.
a
a
a
a
⑵
y a x （a 0, a 1）与 y loga x 互为反函数.
当a 1 时， y loga x 的a 值越大，越靠近 x 轴；当0 a 1时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
log N
(1)
log (M N) log M
a
a
a
M
N
loga
log M log N
a
a
log M
n
nloga
12)
M
a
1
n
loga
M
log M
a
n
alog
N
N
a
log N
b
换底公式：log N
a
log a
b
推论：log b log c log a 1
a
b
c
log a log a ... log
a log a
n
a
1
2
a
3
an 1
n
a
1
2
M 0, N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a ,a ...a 且 ）
0
1
（以上
1
2
n
第 16 页 共 247 页
注⑴：当a,b 0 时，log(a b) log( a) log( b) .
⑵：当M 0时，取“+”，当n 是偶数时且M 0 时，M
0 ，而
0
，故取“—”.
n
M
例如：log x2 2 log x (2 log x 中 x＞0 而log x2 中 x∈R）.
a
a
a
a
⑵
y a x （a 0, a 1）与 y loga x 互为反函数.
当a 1 时， y loga x 的a 值越大，越靠近 x 轴；当0 a 1时，则相反.
⑵
⑶
⑷
.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即
可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0；②偶次根式中被开方数不
小于 0；③对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；④零指数幂的底数不等于
零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；
④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹
.单调性的判定法：①设 x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且 x ＜x ；
1
2
1
2
②
判定 f(x )与 f(x )的大小；③作差比较或作商比较.
1
2
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)
第 17 页 共 247 页
之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0 为偶；
f(x)+f(-x)=0 为奇；③f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用
熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函
数图象.
高中数学 第三章 数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前 n 项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前 n 项和公式．
考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一
种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解
决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解
决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
数列的定义
项
数列的有关概念
数列的通项
项数
通项
数列
第 1
47 页
数列与函数的关系
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前 n 项和
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前 n 项和
等比数列
等差数列
等差数列
等比数列
an 1 an d
a
n 1 q(q 0)
定义
a
n
递 推
公式
an an 1 d ；an am n md
an an 1q ；a a qn m
n
m
第 19 页 共 247 页
a a (n 1)d
通 项
公式
n
1
a a qn 1 （a1, q 0 ）
1. ⑴ 等
差、等比
数列：
n
1
an k
an k
中项
A
G
an k an k (an k an k
0)
2
（
n, k N * , n k 0 ）
（n, k N * , n k 0 ）
n
前 n 项
和
na (q 1)
Sn
(a1 an )
1
2
S
n
a 1 q
a1 an q
1 q
n
1
(q 2)
n(n 1)
Sn
na1
d
1 q
2
重 要
性质
*
a a a a (m,n, p,q N*,m n p q)
am an
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
,
m
n
p
q
m n p q)
等差数列
等比数列
定义
{an}为A P an 1 an d(常数）
an 1
{a } G P
为
q(常数）
n
an
通 项 a =a +（n-1）d=a +（n-k） a a qn 1 ak qn k
n
1
k
n
1
公式 d=dn +a1 -d
n(a a )
n(n 1)
na1
(q 1)
求 和
公式
sn
1
n
na1
d
2
2
sn
n
a
1
an q
a (1 q )
1
d
d
(q 1
n2 (a1
)n
1
q
1 q
2
2
a b
中 项 A=
推 广 ： G
2
ab
。
推
广
：
2
公式 2an =an m an m
an
2
an m an m
1
若
m+n=p+q
则 若 m+n=p+q，则a a a a 。
m
n
p
q
a a a a
m
n
p
q
第 20 页 共 247 页
2
若{k } 成 A.P（其中 k N ） 若{k } 成等比数列 （其中
n
n
n
则{a }也为 A.P。
k N ），则{a } 成等比数
k
n
k
n
n
列。
3
4
．s ,s s ,s s
成等差数 s ,s s ,s s 成 等 比 数
2n 3n 2n
n
2n
n
3n
2n
n
n
列。
列。
an a1
n 1
am an
m n
an
a1
an
n 1
，
n m
d
(m n)
q
q
am
(m n)
5
⑵
①
②
③
⑶
①
②
看数列是不是等差数列有以下三种方法：
an an 1
d(n 2,d为常数)
2an an 1 an 1 (n 2 )
an kn b (n, k 为常数).
看数列是不是等比数列有以下四种方法：
an
an 1q(n 2,q为常数,且 0)
an2 an 1 a (n 2 ，a an 1an 1 0 )①
n 1
n
注①：i. b ac ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即b ac
ii. b ac （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.
iii. b ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分.
iv. b ac 且ac 0 →为 a、b、c 等比数列的充要.
a、b、c 等比数列.
注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞0，则等比中项一定有两个.
第 21 页 共 247 页
③
④
an cqn (c, q 为非零常数).
正数列{a }成等比的充要条件是数列{log a }（ x 1）成等比数列.
n
x
n
s a (n 1)
数列{a }的前n 项和S 与通项a 的关系：a
1
1
⑷
n
sn sn 1 (n 2)
n
n
n
[
注]： ①a a n 1 d nd a d （d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即
n
1
1
常数列也是等差数列）→若d 不为 0，则是等差数列充分条件）.
d
d
d
②
等差{a }前 n 项和S An2 Bn n2 a n
→ 可以为零也可不为零→为等差
n
n
1
2
2
2
的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若 d 不为零，则是等差数列
的充分条件.
③
非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数
．．
列）
2
. ①等 差数 列 依 次每 k 项 的和 仍 成 等差 数 列 ，其 公 差 为原 公 差 的 k2 倍
Sk , S2k Sk , S3k S2k ... ；
S
a
奇
偶
n
S S nd，
②
若等差数列的项数为 2n n N ，则
；
偶
奇
S
a
n 1
③
若等差数列的项数为2n 1 n N ，则S
n 1 2n 1 an ，且S
奇 S 偶 an ， S奇
n
2
S偶 n 1
代入n到2n 1得到所求项数 .
n n 1
3
. 常用公式：①1+2+3 …+n =
2
n n 1 2n 1
②
③
12 22 32 n2
6
2
n n 1
13 23 33 n3
2
注]：熟悉常用通项：9，99，999，… a 10n 1； 5，55，555，… a 10n 1 .
5
[
n
n
9
4
. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则
第 22 页 共 247 页
每年的产量成等比数列，公比为1 r . 其中第n 年产量为a(1 r)n 1 ，且过n 年后总产
量为：
a[a (1 r) ]
n
a
a(1 r) a(1 r)
2
... a(1 r)
n 1
.
1
(1 r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每
月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为a(1 r)n 元. 因此，第二年年初
可存款：
12
]
a(1 r)[1 (1 r)
a(1 r)
12
a(1 r)
11 10
a(1 r)
=
... a(1 r)
.
1
(1 r)
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清；
r 为年利率.
x 1 r m 1
ar 1 r m
1 r m 1
a 1 r m x 1 r m 1 x 1 r m 2 ......x 1 r x a 1 r m
x
r
5
. 数列常见的几种形式：
⑴
a
n 2 pan 1 qan （p、q 为二阶常数） 用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程 x2 Px q（ x 2
对应an 2
，x 对应a ），并设二根 x , x ②
n 1
1
2
若 x x 可设a c xn c xn ，若 x x 可设a (c c n)xn ；③由初始值a ,a 确定c ,c .
n.
1
2
1
1
2
1
2
n
1
2
1
1
2
1
2
2
⑵
an Pan 1 r （P、r 为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常
数 n 转化为an 2 Pan 1
c ,c 由a ,a 确定.
qa 的形式，再用特征根方法求a ；④a c c Pn 1（公式法），
n
n
n
1
2
1
2
1
2
r
①
转化等差，等比：an 1 x P(an x) an 1 Pan Px x x
.
P 1
r
r
②
选代法：an Pan 1 r P(Pan 2 r) r a (a
)Pn 1
(a1 x)Pn 1 x
n
1
P 1
P 1
Pn 1a1 Pn 2 Pr .
r
r
第 23 页 共 247 页
用特征方程求解：an 1 Pan r
③
相减， an 1
a Pa Pan 1 an 1
（P 1）a Pa .
n 1
an Pan 1 r
n
n
n
r
r
r
r
④由选代法推导结果：c1
，c a
，a c Pn 1 c （a 1）Pn 1
.
2
1
n
2
1
1
1
P
P
1
P
1
P
6
. 几种常见的数列的思想方法：
⑴
等差数列的前n 项和为S ，在d 0 时，有最大值. 如何确定使S 取最大值时的n
n
n
值，有两种方法：
d
d
一是求使an 0, an 1 0 ，成立的n 值；二是由Sn
n2 (a1 )n 利用二次函数的性质求
2
2
n 的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n 项 和 可 依 照 等 比 数 列 前 n 项 和 的 推 倒 导 方 法 ： 错 位 相 减 求 和 . 例 如 ：
1
2
1
1
1
,3 ,...(2n 1)
,...
4
2n
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两
个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d ，d 的最小公倍数.
1
2
2
. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n≥2 的任
an
意自然数,验证 an an 1 (
) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
an 1
2
an 1 an an 2 (a
2
n 1
an an 2 )n N 都成立。
am 0
3
. 在等差数列｛a ｝中,有关 S 的最值问题：(1)当a >0,d<0 时，满足
的
n
n
1
am 1
0
am 0
项数 m 使得 s 取最大值. (2)当a <0,d>0 时，满足
的项数 m 使得 sm 取最小
m
1
am 1
0
值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
第 24 页 共 247 页
（三）、数列求和的常用方法
1
2
. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
c
.裂项相消法:适用于
其中{ a }是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；
n
a a
n
n 1
部分无理数列、含阶乘的数列等。
3
.错位相减法:适用于 a b 其中{ a }是等差数列， b 是各项不为 0 的等比
n
n
n
n
数列。
4
.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.
5
.常用结论
n(n 1)
1）: 1+2+3+...+n =
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n
2
2
1
2
3）13 23 n3
n(n 1)
1
4
5
） 12 22 32 n
2
n(n 1)(2n 1)
6
1
1
1
1
1 1
1
）
）
( n 2)
n(n 1)
n
n 1
n(n 2)
2 n
1
1
1
1
6
( ) ( p q)
pq
q p p
q
高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、
余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
第 25 页 共 247 页
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数 y=Asin(ωx+φ)的图像．正
切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；
掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与
最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、
正切公式．
（
4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正
（
弦函数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图，理解 A.ω、φ的物理意义．
（
（
（
6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示．
7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα
cosα=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1
. ①与 （0°≤ ＜360°）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：
▲
y
2
3
sinx
第 26 页 共 247 页
sinx
4
1
cosx
cosx
x
cosx
cosx
| k 360 , k Z
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
终边在 x 轴上的角的集合： | k 180 , k Z
终边在 y 轴上的角的集合： | k 180 90 , k Z
终边在坐标轴上的角的集合： | k 90 , k Z
终边在 y=x 轴上的角的集合： | k 180 45 , k Z
终边在 y x 轴上的角的集合： | k 180 45 , k Z
若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系： 360 k
若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系： 360 k 180
若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： 180 k
角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系： 360 k 90
2
. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、
弧度与角度互换公式： 1rad＝180 °≈57.30°=57°18ˊ．
1°＝ ≈0.01745（rad）
180
1
2
1
2
3、弧长公式：l | | r .
扇形面积公式：s扇形
| | r
2
lr
4
、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边
上任取（异于
y
a的终边
P（x,y)
原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则
y
r
；
sin
r
o
x
；
y ；
x
；
r ；.
x
r .
x
r
tan
x
y
cot
sec
csc
cos
y
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，
三切四余弦）
y
y
y
y
-
+
+
T
+
+
-
-
+
-
P
-o
o
x
o
x
x
-
+
O
M
A x
y
余弦、正割
正切、余切
正弦、余割
1
6. 几个重要结论:
(1)
y
(2)
|
sinx|>|cosx|
6、三角函数线
sinx>cosx
|cosx|>|sinx|
|cosx|>|sinx|
O
O
x
x
第 27 cosx>sin4x7 页
|
sinx|>|cosx|
(3) 若 o
正弦线：MP;
余弦线：OM;
正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数
定义域
x | x R
f (x) sinx
x | x R
f (x) cosx
1
f (x) tanx
x | x R且x k
, k
Z
2
x | x R且x k , k Z
f (x) cotx
1
2
f (x) secx
x | x R且x k
, k
Z
x | x R且x k , k Z
f (x) cscx
8
、同角三角函数的基本关系式： sin
cos
sin
tan
cot
cos
csc sin 1
sec cos 1
tan cot 1
sin cos
2
2
1 sec2 tan2 1 csc
2
cot 1
2
9、诱导公式：
k
把
的三角函数化为 的三角函数，概括为：
2
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二
公式
组三
公式组一
sin x
sin(2k x) sin x
sin( x) sin x
2
2
sinx·cscx=1
tanx=
sin x+cos x=1
cos x
cos(2k x) cos x
tan(2k x) tan x
cot(2k x) cot x
cos( x) cos x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
cos x
2
2
cosx·secx=1
tanx·cotx=1
公式组四
x=
1+tan x =sec x
sin x
2
2
1+cot x=csc x
公式组五
公式组六
第 28 页 共 247 页
sin( x) sin x
cos( x) cos x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
sin(2 x) sin x
cos(2 x) cos x
tan(2 x) tan x
cot(2 x) cot x
sin( x) sin x
cos( x) cos x
tan( x) tan x
cot( x) cot x
（二）角与角之间的互换
公式组一
公式组二
cos( ) cos cos sin sin
sin 2 2sin cos
cos( ) cos cos sin sin
cos 2 cos2
sin2
2 cos2 1 1 2 sin
2
2
tan
tan2
sin( ) sin cos cos sin
tan 2
1
1 cos
sin( ) sin cos cos sin
sin
2
2
tan tan
1 cos
tan( )
cos
1
tan tan
2
2
tan tan
1 cos
1 cos
sin
1 cos
1 cos
sin
tan( )
tan
1
tan tan
2
公式组三
组五
1 公 式组 四
公式
sin cos
sin sin
2
1
cos sin sin sin
2
1
cos
cos cos
1
cos
sin
cos(
sin
)
2
tan
2
2
2
sin
cos
tan
1
cos cos
2
sin
1
1
tan
2
sin(
cos
)
2
2
1
tan( ) cot
1
1
tan
tan
2
2
2
1
2
1
2
2
sin
sin
2 sin
cos
sin
cos
cos(
tan(
sin
)
2
2
2
sin sin 2 cos
2
2
cot
2
tan
)
2
cos cos 2 cos
2
2
1
2
1
tan2
sin(
cos
)
2
cos cos 2sin
sin
2
2
,
,
,
.
6
2
6
2
tan15 cot 75
2
3 tan 75 cot15
2
3
sin15 cos75
sin 75 cos15
4
4
第 29 页 共 247 页
1
0. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
y Asin x
y
cos x
y tan x
y cot x
y
sin x
（A、 ＞0）
1
2
定 义
域
R
R
x | x R且x k
,k
Z
x | x R且x k ,k Z
R
[
1, 1]
[ 1, 1]
A, A
值域
周 期
性
R
R
2
2
2
奇 偶
性
奇 函
偶 函
奇函数
奇函数
当 0, 非奇非
偶
数
数
当 0, 奇函数
[
2k 1 ,
；
k , k
k , k 1
上为减
[
2k ,
k ]
2
2
2
k
2
2
2
(A),
2k ]
上 为 增 上 为 增 函 数 函数（ ）
k
Z
2
1
2k
2
( A)
上 为 增 函
数 （k Z ）
[
2k ,
2k 1 ]
函 数 ；
上为增函数；
[
2k ,
上 为 减
函数
2k
2
2
(A),
3
2k ]
3
2
2k
2
( A)
单 调 上 为 减 （k Z ）
上 为 减 函 数
性
函
（
数
（
k Z ）
k Z ）
第 30 页 共 247 页
注意：① y sin x 与 y sin x 的单调性正好相反；y cos x 与 y cos x 的单调性也同样相
▲
y
反.一般地，若 y f (x) 在[a,b] 上递增（减），则 y f (x) 在[a,b] 上递减（增）.
②
③
与
的周期是 .
y sin x
y
cos x
x
O
2
y sin( x ) 或 y cos( x ) （ 0 ）的周期T
.
x 的周期为 2 （
2
，如图，翻折无效）.
y tan
T
T
2
④
y sin( x ) 的对称轴方程是 x k （k Z ），对称中心（ ）；y cos( x ) 的
k ,0
2
k
对称轴方程是 x k （k Z ），对称中心（k
）；y tan( x ) 的对称中心（
）.
,0
1
2 ,0
2
y cos 2x 原
点
对
称 y cos( 2x) cos 2x
⑤
当tan ·tan 1, k (k Z) ；tan ·tan 1, k (k Z) .
2
2
是同一函数,而 是偶函数，则
⑥
y cos x 与
y sin x
2k
y
( x
)
2
1
.
y ( x ) sin( x k ) cos( x)
2
⑦函数 y tan x在 R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个
定义域， y tan x为增函数，同样也是错误的].
⑧
定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条
件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
，奇函数：
f ( x)
f (x)）
f ( x) f (x)
1
3
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： y tan x 是奇函数，
)
是非奇非偶.
y
tan(x
（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则 f (x) 一定有
f (0) 0 .（0 x 的定义域，则无
此性质）
▲
▲
y
y
⑨
不是周期函数；
为周期函数（ ）；
y sin x
y
sin x
T
x
1
/2
是周期函数（如图）；
为周期函数（ ）；
x
y cos x
y
cos x
T
y=cos|x|图象
y=|cos2x+1/2|图象
第 31 页 共 247 页
的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
1
2
y cos2x
.
y f (x) 5 f (x k),k R
b
a
⑩
y a cos bsin a b sin( ) cos
有 a2 b2 y .
2
2
1
1、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法
（正、余切曲线）.
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数 y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T
2 ，频率
，相位 x ; 初
1
|
|
f
|
T
2
|
相 （即当 x＝0 时的相位）．（当 A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩
短（当 0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿
y 轴的伸缩变换．（用 y/A 替换 y）
由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩
短（|ω|＞1）到原来的 倍，得到 y＝sinω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x
1
|
|
轴的伸缩变换．(用ωx 替换 x)
由 y＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜
φ｜个单位，得到 y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的
平移．(用 x＋φ替换 x)
由 y＝sinx 的图象上所有的点向上（当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜
b｜个单位，得到 y＝sinx＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移．（用 y+(-b)替换 y）
第 32 页 共 247 页
由 y＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）
x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图
（
象延 x 轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数：
函数 y＝sinx，
的反函数叫做反正弦函数，记作 y＝arcsinx，它的定义域
．
x
，
2
2
是［－1，1］，值域是
－
，
2
2
函数 y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作 y＝arccosx，
它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函数 y＝tanx，
的反函数叫做反正切函数，记作 y＝arctanx，它的定
2
x ，
2
义域是（－∞，＋∞），值域是
．
，
2
2
函数 y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作 y＝arcctgx，
它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1
. 反三角函数：⑴反正弦函数 y arcsin x 是奇函数，故
arcsin x ， （ 一
arcsin( x)
x
1,1
定要注明定义域，若
，没有 x 与 y 一一对应，故 y sin x 无反函数）
x ,
.
注：sin(arcsin x) ， ，
1,1
x
x
arcsin x
,
2 2
⑵反余弦函数 y arccos x非奇非偶，但有
arccos( x) arccos(x) 2k ， .
x
1,1
注：①cos(arccos x) ，
1,1
，
arccos x 0,
.
x
x
②
⑶
是偶函数，
非奇非偶，而
和
为奇函数.
arcsin x
y cos x
y
arccos x
y
sin x
y
,
反正切函数：
，定义域( , ) ，值域（
），
是奇函数，
arctan x
y
arctan x
y
2
2
第 33 页 共 247 页
，
x .
arctan( x) arctan x
(
,
)
注：tan(arctan x)
， x .
x
(
,
)
,
⑷
反余切函数：
arc cot x ，定义域( , ) ，值域（
）， y arc cot x 是非奇非
y
2
2
偶.
，
x .
arc cot( x) arc cot(x) 2k
(
,
)
注：①cot(arc cot x) ， x .
x
(
,
)
②
y arcsin x 与 y arcsin(1 x) 互为奇函数， y arctan x 同理为奇而 y arccos x 与
非
y
arc cot x
奇非偶但满足arccos( x) arccos x 2k , x [ 1,1]arc cot x arc cot( x) 2k , x [ 1,1]
.
⑵
正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a 的取值范围
解集
a 的取值范围
②cos x a 的解集
a ＞1
解集
①
sin x a 的解集
a ＞1
a =1
a =1
x | x
x | x
arccosa, k
x
|
x
2
k
a
r
c
s
i
n
a
,
k
Z
2k
Z
x | x
arcsin a, k
k
1
Z
a
＜1
arccosa, k
a ＜1
k
k
Z
③
③
tan x a 的解集： x | x k arctan a, k Z
cot x a 的解集： x | x k arc cot a,k Z
二、三角恒等式.
cos cos 2 cos 4 ...cos 2n
sin 2n 1
2n 1 sin
sin 3 3sin 4sin3
sin 2 sin 2 sin sin
cos 3
4 cos3 3cos
cos2 cos2
组一
第 34 页 共 247 页
组二
n
sin
k 1
cos
cos cos cos cos
k
2
4
8
2n
2
2
n sin
2
n
n
sin((n 1)d) cos(x nd)
k 0
cos(x kd) cos x cos(x d) cos(x nd)
sin d
n
sin((n 1)d) sin(x nd)
k 0
sin(x kd) sin x sin(x d) sin(x nd)
sin d
tan tan tan tan tan tan
tan( )
1
tan tan tan tan tan tan
组三 三角函数不等式
sin x
sin x ＜ x ＜tan x, x (0,
)
f (x)
在(0, ) 上是减函数
2
x
若 A B C ，则 x y z 2yz cos A 2xz cos B 2xy cosC
2
2
2
高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比
分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．
考试要求：
（
（
（
（
1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
2）掌握向量的加法和减法．
3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的
坐标运算．
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理
有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且
第 35 页 共 247 页
能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1
.本章知识网络结构
2
.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：
a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.
单位向量 a 为单位向量 ｜a ｜＝1.
O
O
x1 x
(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ ，ｙ )＝（ｘ ，ｙ ）
2
1
1
2
2
y1
y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行
向量也称为共线向量.
3
.向量的运算
运算类
型
几何方法
坐标方法
运算性质
第 36 页 共 247 页
a b b a
向量的 1.平行四边形法则
a b (x x , y y )
(a b) c a (b c)
1
2
1
2
加法
2.三角形法则
AB BC AC
向量的
减法
a b a ( b)
三角形法则
a b (x x , y y )
1
1
2
2
AB BA,OB OA AB
1
. a 是 一 个 向 量 , 满
数
乘
向
量
( a) ( )a
足:| a | | || a |
( )a
a
a
2
. >0 时, a与a 同向;
a ( x, y)
(a b) b
a
<0 时, a与a 异向;
a //b
b
a
=0 时, a 0.
向
量
的
数
量
积
a b b a
a b 是一个数
( a) b a ( b) (a b)
1
.a 0或b 0时，
a b x x y y
2
(a b) c a c b c
a b 0 .
1
2
1
2
a
| a |2 即|a|= x2
y
2
a 0且b 0时，
2.
a b | a ||b | cos(a,b)
|
a b | | a || b |
4
.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e ，e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，
1
2
有且仅有一对实数λ ，
1
λ ，使 a＝λ e ＋λ e .
2
1
1
2
2
(2)两个向量平行的充要条件
第 37 页 共 247 页
a∥b a＝λb(b≠0) x y －x y ＝O.
1
2
2
1
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝O x x ＋y y ＝O.
1
2
1
2
(4)线段的定比分点公式
设点 P 分有向线段 P P 所成的比为λ，即 P P ＝λ PP ，则
1
2
1
2
1
1
OP ＝
OP1 ＋
OP2 (线段的定比分点的向量公式)
1
1
x1 x
1
y1 y2
x
2
,
(线段定比分点的坐标公式)
y
.
1
当λ＝1 时，得中点公式：
x1 x
x
2
,
1
2
OP ＝ （OP ＋OP ）或
1
2
2
y1
y2
y
.
2
(5)平移公式
设点 P(x，y)按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点 P′（x′，y′），
x x h,
则OP ＝OP +a 或
y k.
y
曲线 y＝f（x）按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝f（x－ｈ)
(6)正、余弦定理
a
b
c
正弦定理：
2R.
sin A
sin B
sin C
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
第 38 页 共 247 页
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 h ，h ，h ，半周长为 P，外接圆、内切
a
b
c
圆的半径为 R，r.
①
④
⑥
S =1/2ah =1/2bh =1/2ch
②S =Pr
③S =abc/4R
△
a
b
c
△
△
S =1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
△
⑤S = P P a P b P c
[海伦公式]
△
S =1/2（b+c-a）r [如下图]=1/2（b+a-c）r =1/2（a+c-b）r
b
△
a
c
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心A，其余 3 个是旁心.
如图：
A
A
F
E
c
A
c
b
b
O
C
cD
a
F
b
B
C
B
N
E
D
a
B
C
ra
I
F
B
C
ra
ra
a E
I
1
图2
图3
图4
图 1 中的 I 为 S△ABC
的内心， S =Pr
△
图 2 中的 I 为 S△ABC
的一个旁心，S =1/2（b+c-a）r
△
a
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
第 39 页 共 247 页
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若 BC=a，AC=b，AB=c [注：s 为△ABC 的半周长,
a b c
即
]
2
则：①AE=s a =1/2（b+c-a）
②BN=s b =1/2（a+c-b）
③FC=s c =1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）.
a b c
ab
特例：已知在 Rt△ABC，c 为斜边，则内切圆半径 r=
（如图 3）.
2
a b c
⑹在△ABC 中，有下列等式成立tan A tan B tan C tan A tan B tan C .
证明：因为 A B C, 所以tan A B tan C ，所以1tan A tan B
tan C ， 结论！
tan A tan B
AC BD AB BC
2
2
⑺在△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则 AD2
BD DC .
BC
证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 AD2 AB2 BD2 2 AB BD cos B ①
AB BC AC
2
2
2
在△ABC 中，由余弦定理有cos B
②，②代入①，化简
2
AB BC
AC BD AB BC
2
2
A
可得， AD2
BD DC （斯德瓦定理）
BC
图 5
1
①
②
③
若 AD 是 BC 上的中线，ma
2b2 2c2 a 2
；
2
2
若 AD 是∠A 的平分线，ta
bc p p a ，其B 中 p 为半周D 长；
C
b
c
2
若 AD 是 BC 上的高，ha
p p a p b p c ，其中 p 为半周长.
a
⑻△ABC 的判定：
c
2
a
2
b △ABC 为直角△ ∠A + ∠B =
2
2
c2 ＜a2 b2 △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B＜
2
第 40 页 共 247 页
c2 ＞a2 b2 △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B＞
2
附：证明：cosC
a
2
b2
c2 ，得在钝角△ABC 中，cosC
0
a b c
2
2
2
0, a b2 c
2
2
2
ab
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a b 2 a b 2 2( a 2 b 2 )
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
王
新奎
新敞
疆屯
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
王
新奎
新敞
疆屯
⑵
向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
王新敞
新奎疆屯
王
新奎
新敞
疆屯
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
王
新奎
新敞
疆屯
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
OB OA AB a b
BA OA OB a b
OP a( R)
运算律：⑴加法交换律：a b b a
⑵
⑶
3
加法结合律：(a b) c a (b c)
数乘分配律： (a b) a b
共线向量
王
新奎
新敞
疆屯
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线
向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．
第 41 页 共 247 页
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可
能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在
实数λ，使a ＝λb .
推论：如果l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意
一点 O，点 P 在直线l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式
OP OA t a ．
其中向量a 叫做直线l 的方向向量.
5
．向量与平面平行：
已知平面 和向量a ，作OA a ，如果直线OA 平行于 或在 内，那么我们
说向量a 平行于平面 ，记作：a // ．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
王
新奎
新敞
疆屯
王
新奎
新敞
疆屯
6
．共面向量定理：
如果两个向量 a,b 不共线， p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数 x, y 使
p xa yb
王
新奎
新敞
疆屯
推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ，
使MP xMA yMB 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB
式叫做平面MAB 的向量表达式
①
①
王
新奎
新敞
疆屯
7
空间向量基本定理：
王
新奎
新敞
疆屯
如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实
数组 x, y, z ，使 p xa yb zc
王
新奎
新敞
疆屯
第 42 页 共 247 页
推论：设O, A,B,C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个
有序实数 x, y, z ，使OP xOA yOB zOC
王
新奎
新敞
疆屯
8
空间向量的夹角及其表示：
王
新奎
新敞
疆屯
已知两非零向量a,b ，在空间任取一点O ，作OA a,OB b ，则 AOB 叫做向量
a 与 b 的夹角，记作 a,b ；且规定 0 a,b ，显然有 a,b b,a ；若
a,b ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b .
2
9．向量的模：
设OA a ，则有向线段OA的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a |.
1
0．向量的数量积： a b |a| |b| cos a,b ．
已知向量 AB a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点 A 在l 上的射影
A ，作点B 在l 上的射影 B ，则 A B 叫做向量 AB 在轴l 上或在e 上的正射影.
可以证明 A B 的长度| A B | | AB | cos a,e | a e | ．
1
1．空间向量数量积的性质：
（
1）a e | a | cos a,e ．（2）a b a b 0 ．（3）| a |2 a a ．
1
2．空间向量数量积运算律：
（
1）( a) b (a b) a ( b) ．（2）a b b a（交换律）（3）a (b c) a b a c （分
配律）．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是
纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.
①
令a =(a ,a ,a ),b (b ,b ,b ) ，则
1
2
3
1
2
3
第 43 页 共 247 页
a b (a b ,a b ,a b )
a ( a , a , a )( R)
a b a b a b a b
a ∥
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
a1
a
b
2
a
a b a b a b a b 0
b a b ,a b ,a b ( R)
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
b1
b3
2
a a
a
2 a 2 2 a
2
(用到常用的向量模与向量之间的转化： a 2 a a a a a )
a
1
3
a b a b a b
3
a b
1
1
2
2
3
cos a,b
|
a | | b |
2 2 2
2 2
2
b
3
a
1
a
a
b
1
b
2
3
2
②
空间两点的距离公式：d (x x )2 (y y )2 (z z ) 2
.
2
1
2
1
2
1
（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记
作a ，如果a 那么向量a 叫做平面 的法向量.
（3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面
|
AB n |
的一条射线，其中 A ，则点 B 到平面 的距离为
.
|
n |
②
利用法向量求二面角的平面角定理：设n , n 分别是二面角 l 中平面 , 的法
1
2
向量，则n , n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n , n 方向相同，
1
2
1
2
则为补角，n , n 反方，则为其夹角）.
1
2
③
证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面 ， A B a,C D ，且 CDE 三点不
共 线， 则 a∥ 的 充要 条 件 是存 在 有序 实 数 对 使 AB CD CE . （ 常设
AB CD CE 求解 , 若 , 存在即证毕，若 , 不存在，则直线 AB 与平面相交）.
A
B
B
▲
n
n1
C
▲
D
n2
E
A
C
第 44 页 共 247 页
高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的
定理，并会简单的应用．
（
（
（
3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
4）掌握简单不等式的解法．
5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1
. 不等式的基本概念
（
（
（
（
1） 不等（等）号的定义：a b
0
a
b;a b
0
a
b;a b
0
a
b.
2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
3）同向不等式与异向不等式.
4）同解不等式与不等式的同解变形.
2
.不等式的基本性质
（
（
（
（
（
1）
（对称性）
a
b
b
a
2）a b,b c a c （传递性）
3）
（加法单调性）
a
b
a
c
b c
4）
（同向不等式相加）
a
b,c
d
a
a
c
b
d
5）
（异向不等式相减）
a
b,c
d
c
b
d
第 45 页 共 247 页
（
（
（
6）a.
b,c
0
ac
bc
7）
ac
bc （乘法单调性）
a
b,c
0
8）
（同向不等式相乘）
a
b
0,c
d
0
ac bd
（异向不等式相除）
a
c
b
d
(9) a b 0,0 c d
1
1 （倒数关系）
b
(10) a b,ab 0
a
（
11）
bn (n Z,且n
1) （平方法则）
0
a
n
a
b
（12）a b 0 n a n b(n Z,且n 1) （开方法则）
3
.几个重要不等式
（1）若a R,则 | a | 0,a2 0
（2）若a、b R ,则a2 b2 2ab(或a2 b2 2 | ab | 2ab)（当仅当 a=b 时取等号）
（3）如果 a,b 都是正数，那么
a b （当仅当 a=b 时取等号）
ab
.
2
极值定理：若x, y R , x
S, xy
P, 则：
y
○
1
如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小；
如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大.
○
2
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
a b c
（当仅当 a=b=c 时取等号）
abc
(4)若a、b、c R ,则
3
3
b
a
a
b
2 （当仅当 a=b 时取等号）
(5) 若ab 0,则
(6)a 0时，| x | a x2 a2 x a 或 x a;
| x | a x2 a2 a x a
（7）若a、b
R,则|| a | | b || | a b | | a | | b |
4
.几个著名不等式
1）平均不等式：
（
如果 a,b 都是正数，那么
（当仅当 a=b
b2
2
a b
a
2
ab
.
1
1
2
2
a
b
第 46 页 共 247 页
时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数）：
a b
a
2 b
2
a b
a
2 b
2
特别地，ab
（当 a = b 时，(
）
(
)
2
)
2
ab
2
2
2
2
a2 b2 c 2
a
2
b
c
(a,b,c R,a b c时取等)
3
3
1
幂平均不等式：a1
2
a2
2
... an
2
(a a ... a )2
1
2
n
n
注：例如：(ac bd) 2 (a
2
b 2)(c d 2) .
2
1
1
1
1
1
1
1
常用不等式的放缩法：①
(n 2)
n
n 1 n(n 1)
n
2
n(n 1)
n 1 n
1
1
1
②
n 1
n
n
n 1(n 1)
n n 1
2 n
n n 1
（2）柯西不等式：
若a ,a ,a , ,a
R,b ,b ,b ,b
n
R;则
1
2
3
n
1
2
3
)
a b a b a b a b
2
a a a a2 )(b b b b2 )
(
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
（
1
1
2
2
3
3
n
n
1
2
n
n
a
a
a
a
当且仅当 1 2 3 n 时取等号
b
b2 b3 bn
1
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点
有
x , x (x
x2 ),
1
2
1
x1 x
2 )
f (x ) f (x )
1
2
x1 x
f ( 2 )
f (x1) f (x )
2 .
f (
或
2
2
2
2
则称 f(x)为凸（或凹）函数.
5
6
.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
第 47 页 共 247 页
f (x)g(x) 0
0
f (x)
f (x)
0 f (x)g(x) 0;
g(x)
g(x)
g(x) 0
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
f (x) 0
○
1
定义域
f (x) g(x) g(x) 0
f (x) g(x)
f (x)
0
0
○
f (x) 0
○
3
2
f (x)
0
f (x)
g(x)
g(x)
f (x) g(x) g(x) 0
或
g(x) 0
f (x) [g(x)]2
（
（
（
4）.指数不等式：转化为代数不等式
a f (x) ag(x) (a 1) f (x) g(x);
a f (x) ag(x) (0 a 1) f (x) g(x)
a f (x) b(a 0,b 0) f (x) lga lgb
5）对数不等式：转化为代数不等式
f (x) 0
f (x) 0
log f (x) log g(x)(a 1) g(x) 0
;
log f (x) log g(x)(0 a 1) g(x) 0
a
a
a
a
f (x) g(x)
f (x) g(x)
6）含绝对值不等式
○
○
1
应用分类讨论思想去绝对值；
应用化归思想等价转化
2 应用数形思想；
○
3
g(x) 0
|
|
f (x) | g(x)
g(x) f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) | g(x) g(x) 0( f (x), g(x)不同时为0)或
f (x) g(x)或f (x) g(x)
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
1
1 2
4
①
②
x(1 x)
2
2x(1 x)(1 x)
( )
2 3
3
2
27
2
x2 (1 x2 )(1 x2 )
1 2
4
2 3
9
y
x(1 x2 )
y 2
( ) 3
2 3
y
2
27
类似于 y sin xcos 2x sin x(1 sin
2x) ，③| x | | x | | | (x与 同号，故取等) 2
1
1
1
x
x
x
第 48 页 共 247 页
高中数学第七章-直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直
线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公
式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
（
（
（
（
3）了解二元一次不等式表示平面区域．
4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程.
x
1
. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直
x
线的倾斜角，其中直线与 轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范
围是0 180 (0 ) .
注：①当 90 或 x x 时，直线l 垂直于 x 轴，它的斜率不存在.
2
1
第 49 页 共 247 页
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每
一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
2
. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地，当直线经过两点(a,0), (0,b) ，即直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为a,b(a 0,b 0)
x
y
时，直线方程是：
1.
a
b
2
2
注 ： 若 y x 2 是 一 直 线 的 方 程 ， 则 这 条 直 线 的 方 程 是 y x 2 ， 但 若
3
3
2
y x 2(x 0) 则不是这条线.
3
附：直线系：对于直线的斜截式方程 y kx b ，当 k,b 均为确定的数值时，它表示
一条确定的直线，如果k,b 变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，
它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行
直线.
3
. ⑴两条直线平行：
l ∥l k k 两条直线平行的条件是：①l 和l 是两条不重合的直线. ②在l 和l 的
1
2
1
2
1
2
1
2
斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”
都会导致结论的错误.
（
一般的结论是：对于两条直线 l ,l ，它们在 y 轴上的纵截距是 b ,b ，则 l ∥
1
2
1
2
1
l k k ，且b b 或l ,l 的斜率均不存在，即 A B B A 是平行的必要不充分条件，
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
且C C ）
1
2
推论：如果两条直线l ,l 的倾斜角为 , 则l ∥l .
1
2
1
2
1
2
1
2
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线l 和l 的斜率分别为k 和k ，则有l l k k 1
1
2
1
2
1
2
1
2
这里的前提是l ,l 的斜率都存在. ②l l k 0 ，且l 的斜率不存在或k 0 ，且l 的
1
2
1
2
1
2
2
1
第 50 页 共 247 页
斜率不存在. （即 A B A B 0 是垂直的充要条件）
1
2
2
1
4
. 直线的交角：
⑴
直线l 到l 的角（方向角）；直线l 到l 的角，是指直线l 绕交点依逆时针方向
1
2
1
2
1
k 2 k
1
旋转到与l 2 重合时所转动的角 ，它的范围是(0, ) ，当 90 时tan
.
1
k k
1
2
⑵
两条相交直线l 与l 的夹角：两条相交直线l 与l 的夹角，是指由l 与l 相交所
1
2
1
2
1
2
成的四个角中最小的正角 ，又称为l 和l 所成的角，它的取值范围是 0,
，当
1
2
2
k 2 k
1
9
0 ，则有tan
.
1
k1k
2
l :A x B y C 0
5
. 过两直线
1
1
1
1
的交点的直线系方程 A x B y C (A x B y C ) 0( 为
l :A x B y C 2
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
参数， A x B y C 0 不包括在内）
2
2
2
6
. 点到直线的距离：
⑴
点到直线的距离公式：设点 P(x ,y ) ，直线l : Ax By C 0, P 到l 的距离为 d ，则有
0
0
Ax By C
0
0
.
d
A2 B
2
注：
1
. 两点 P (x ,y )、P (x ,y )的距离公式：
.
(x2 x )
2
(y2
y )
1
2
|
P P |
1
1
1
2
2
2
1
2
1
特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：| OP |
x
2
y
2
2
. 定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点 P(x,y) 分 有 向 线 段
, 其 中
PP所成的比为 即PP PP
1
2
1
2
x x
y1 y2
1
P (x ,y ),P (x ,y ).则
x
1
2 , y
1
1
1
2
2
2
1
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3
4
. 直线的倾斜角（0°≤ ＜180°）、斜率:k tan
y2 y
. 过两点
.
(x1
x2 )
P (x , y ),P (x , y )的直线的斜率公式：k
1
1
1
1
2
2
2
x2
x1
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当 x x , y y （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 ＝ ，没有斜率
90
1
2
1
2
王新敞
学案
新疆
⑵
两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l : Ax By C 0,l : Ax By C 0(C C ) ，
1
1
2
2
1
2
C1 C
2
它们之间的距离为d ，则有d
.
A2 B
2
注；直线系方程
1
2
3
4
. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m R, C≠m).
. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m R)
. 过定点（x ,y ）的直线系方程是：
A(x-x )+B(y-y )=0 (A,B 不全为 0)
1
1
1
1
. 过直线 l 、l 交点的直线系方程：（A x+B y+C ）+λ( A x+B y+C ）=0 (λ R）
1
2
1
1
1
2
2
2
注：该直线系不含 l .
2
7
. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴
关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两
⑵
直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角
的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），
过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线（ y x b ）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线
f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0.
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②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a – x, 2b – y)=0.
二、圆的方程.
1
. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的 与一个二元方程 f (x, y) 0
的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M (x, y) 其坐标与方程 f (x, y) 0 的一种
关系，曲线上任一点(x, y) 是方程 f (x, y) 0 的解；反过来，满足方程 f (x, y) 0 的解所
对应的点是曲线上的点.
注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P (x ,y)线 C 上的充要条件是 f(x ,y )=0
0
0
0
0
2
. 圆的标准方程：以点C(a,b) 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是(x a)2 (y b)2 r 2 .
特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是： x2 y2 r 2 .
注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x a)2 (y b)2 b 2
[r b ,圆心(a,b)或(a, b)]
②与 y 轴相切的圆方程(x a)2 (y b)2 a 2
[
r
a ,圆心(a,b)或( a,b)]
③与x轴 y 轴都相切的圆方程(x a)2 (y a)2 a 2
[
r
a ,圆心( a, a)]
3
. 圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 .
D
E
D2 E 2 4F
当 D2 E 2 4F 0 时，方程表示一个圆，其中圆心C
, ，半径r
.
2
2
2
D
E
, .
2
当 D2 E 2 4F 0 时，方程表示一个点
2
当 D2 E 2 4F 0 时，方程无图形（称虚圆）.
注：①圆的参数方程： x a r cos
（ 为参数）.
y b r sin
②
方 程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B 0 且 A C 0 且
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.
2
E 2 4AF
D
0
③
圆的直径或方程：已知 A(x ,y )B(x ,y ) (x x )(x x ) (y y )(y y ) 0（用向量可征）.
1
1
2
2
1
2
1
2
4
. 点和圆的位置关系：给定点M (x ,y ) 及圆C : (x a)2 (y b)2 r 2 .
0
0
①
②
③
M 在圆C 内 (x a)2 (y b)2 r 2
0
0
M 在圆C 上 （x a)2 (y b)2 r 2
0
0
M 在圆C 外 (x a)2 (y b)2 r 2
0
0
5
. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：(x a)2 (y b)2 r 2(r 0) ；
直线l ： Ax By C 0(A2 B2 0) ；
Aa Bb C
圆心C(a,b) 到直线l 的距离d
.
A2 B
2
①
d r 时，l 与C 相切；
2 2
附：若两圆相切，则 x
y
D x E y F
1
0
相减为公切线方程.
1
1
x2 y2 D x E y F 0
2
2
2
②
d r 时，l 与C 相交；
2
2
E1y
F
C :x
y
D1x
0
附：公共弦方程：设
1
1
C :x y2 D2 x E2y F
2
0
2
2
有两个交点，则其公共弦方程为(D D )x (E E )y (F F ) 0 .
1
2
1
2
1
2
③
d r 时，l 与C 相离.
2 2
附：若两圆相离，则 x
y
D x E y F
0
相减为圆心O O 的连线的中与线方程.
1
1
1
1
2
x2 y2 D x E y F 0
2
2
2
由代数特征判断：方程组 (x a)2 (y b)2 r 2
用代入法，得关于 x（或 y ）的一元二
次方程，其判别式为 ，则：
0 l 与C 相切；
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0 l 与C 相交；
0 l 与C 相离.
注：若两圆为同心圆则 x2 y2 D x E y F 0 ，x2 y2 D x E y F 0 相减，不表示直线.
1
1
1
2
2
2
6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆 x2 y2 r 2 的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是 y kx 1 k 2 r 过 圆
2
y2 Dx Ey
x
F
0
x x
y y
上一点 P(x ,y ) 的切线方程为： x x y y D
0 E
0 F 0 .
0
0
0
0
2
2
①
一般方程若点(x ,y )在圆上，则(x – a)(x – a)+(y – b)(y – b)=R2. 特别地，过
0
0
0
0
A
圆 x2 y2 r 2 上一点 P(x ,y ) 的切线方程为 x x y y r 2 .
0
0
0
0
y y k(x x )
1
0
1
0
C
②
若点(x ,y )不在圆上，圆心为(a,b)则
，联立求出Bk 切线方程.
b y1 k(a x1)
0
0
D (a,b)
R
R2 1
7
. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD
四类共圆. 已知 O 的方程 x2 y2 Dx Ey F 0 …① 又以 ABCD 为圆为方程为
…②
2
(x x )(x a) (y y A )(x b) k
A
b)
2
2
(x A a)2 (y
A
…③，所以 BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.
R
4
三、曲线和方程
1
.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如
下的关系：
1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）；
2
） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性）。则称方程 f(x,y)=0
为曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。
2
1
.求曲线方程的方法：.
）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;
2）参数法;
3）定义法，
4）
第 55 页 共 247 页
待定系数法.
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高中数学第八章-圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
考试要求：
（
（
（
（
1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
4）了解圆锥曲线的初步应用．
§08. 圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程.
1
. 椭圆方程的第一定义：
PF1 PF2 2a F F 方程为椭圆,
1
2
PF1 PF2 2a F F 无轨迹,
1
2
PF1 PF2 2a F F 以F ,F 为端点的线段
1
2
1
2
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： x2 y 2
1(a b 0) . ii. 中心在原点，焦点在 y 轴上：
2
2
a
b
2
2
2
2
.
y
x
1(a b 0)
a
b
2
2
2
2
x
y
②
一般方程：
.③椭圆的标准参数方程：
1 的参数方程为
Ax2 By 1(A 0, B 0)
2
a
b
x a cos
（
一象限 应是属于0 ）.
y bsin
2
⑵①顶点：( a,0)(0, b) 或(0, a)( b,0) .②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长2a ，短轴长2b .
2
2
a
a
③焦点：( c,0)(c,0) 或(0, c)(0,c) .④焦距： F1F 2 2c,c a2 b2 .⑤准线： x
或 y
.
c
c
第 57 页 共 247 页
c
⑥
离心率：e (0 e 1) .⑦焦点半径：
a
2
2
2
2
x
y
i. 设
为椭圆
1(a b 0) 上的一点， F ,F 为左、 右 焦点，则
ex0
PF ex , PF
a
a
P(x ,y )
0
0
1
2
1
0
2
a
b
由椭圆方程的第二定义可以推出.
2
2
2
2
x
y
ii.设P(x ,y ) 为椭圆
1(a b 0) 上的一点， F ,F 为上、下 焦 点，则
ey0
PF
a
ey , PF
a
0
0
1
2
1
0
2
b
a
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定义可知：pF
a
2
e(a2
归结起来为“左
x ) ex a(x 0)
e(x0 ) a ex (x 0), pF
1
0
0
2
0
0
0
c
c
加右减”.
注意：椭圆参数方程的推导：得 N(a cos ,bsin ) 方程的轨迹为椭圆.
2
2
2
2
b
b
b
⑧
⑶
程
通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d
( c,
) 和(c,
)
2
a
a
a
2
2
2
2
x
y
c
共离心率的椭圆系的方程：椭圆
1(a b 0) 的离心率是e (c a2 b2 ) ，方
a
b
a
2
2
2
2
x
y
c
t(t 是大于 0 的参数，a b 0) 的离心率也是e
我们称此方程为共离心
a
b
a
率的椭圆系方程.
2
2
2
2
x
y
⑸
若 P 是椭圆：
1 上的点. F ,F 为焦点，若 F PF ，则 PF F 的面积为
1
2
1
2
1
2
a
b
b2 tan
（用余弦定理与
可
得
）
.
若
是
双
曲
线
，
则
面
积
为
2
.
PF
PF
2
a
b
c
o
t
1
2
2
2
二、双曲线方程.
▲
y
(bcos ,bsin )
(acos ,asin )
N
x
1
. 双曲线的第一定义：
PF PF 2a F1F 方程为双曲线
1
2
2
N 的轨迹是椭圆
PF PF 2a F1F 无轨迹
1
2
2
PF PF 2a F F 以F ,F 的一个端点的一条射线
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
y
x
⑴
①双曲线标准方程：
1(a,b 0),
1(a,b 0) . 一般方程：Ax2 Cy2 1(AC 0) .
a
b
a
b
⑵①i. 焦点在 x 轴上：
2
a
x
y
顶点： (a,0), ( a,0)
焦点： (c,0), ( c,0)
准线方程 x
渐近线方程：
0 或
c
a
b
2
2
2
2
x
y
0
a
b
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2
a
ii. 焦点在 y 轴上：顶点：(0, a), (0, a) . 焦点：(0,c), (0, c) . 准线方程： y
. 渐近
④准
c
2
2
x a sec
x b tan
y
x
y
x
线方程：
0 或
0 ，参数方程：
或
.
a
b
a 2
b 2
y b tan
y a sec
c
②
轴 x, y 为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. ③离心率e .
a
2
2
2
a
c
2b
c
线距
（两准线的距离）；通径
. ⑤参数关系c2 a2 b2 ,e . ⑥焦点半径公
a
a
2
2
2
2
x
y
式：对于双曲线方程
的上下焦点）
1（ F ,F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线
1
2
a
b
“长加短减”原则：
MF1 ex0 a
M F ex0 a
1
构成满足
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
MF
MF
2a
MF 2 ex0 a
1
2
M F ex a
2
0
径要带符号计算，而双曲线不带
▲
y符号）
▲
y
F1
M
x
M'
M
MF1 ey0 a
x
MF 2 ey0 a
F2
F1
M'
M F ey a
0
1
F2
M F ey a
0
2
⑶等轴双曲线：双曲线 x2 y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率
e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双
x 2
a 2
y 2
b 2
x 2
a 2
y 2
b 2
曲线的共轭双曲线.
与
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近
2
2
2
2
x
y
线：
0 .
a
b
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
⑸共渐近线的双曲线系方程：
( 0) 的渐近线方程为
0 如果双曲线
2
2
a
b
a
b
▲
y
2
2
x
y
x
y
的渐近线为
0 时，它的双曲线方程可设为
( 0) .
4
3
a
b
a 2
b 2
2
1
1
例如：若双曲线一条渐近线为 y x 且过 p(3, ) ，求双曲线的方程？ 1
x
2
2
5 3
F1
F2
x 2
1
x
2
y
2
解：令双曲线的方程为：
y2 ( 0) ，代入(3, ) 得
1.
4
2
8
2
3
⑹直线与双曲线的位置关系：
第 59 页 共 247 页
区域①：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；
区域②：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；
区域③：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合
计 2 条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、
2、3、4 条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“ ”
法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
2
2
2
2
x
y
⑺若 P 在双曲线
1，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准
a
b
线的距离比为 m︰n.
PF
1
2
d
m
n
简证： 1
e
PF
=
.
d
2
e
常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.
三、抛物线方程.
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3. 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
2
2
2 py
y
2px
y2 2px
x
x2 2 py
图形
▲ y
▲y
▲y
▲y
x
x
x
x
O
O
O
O
p
p
F(0, p)
p)
焦点
F(
F(0,
F( ,0)
,0)
2
2
2
2
p
p
p
p
准线
x
x
y
y
2
2
2
2
x 0, y R
x 0, y R
x R, y 0
x R, y 0
范围
对称轴
顶点
x 轴
y 轴
（0，0）
e 1
离心率
焦点
p
p
p
p
PF
x1
PF
x1
PF
y1
PF
y1
2
2
2
2
2
注：①ay2 by c x 顶点(4ac b
b
) .
4
a
2a
②
y2 2px( p 0) 则焦点半径
P ; x2 2py( p 0) 则焦点半径为
2
P .
PF y
PF x
2
③通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
2
x 2pt
x
2pt
④
y 2px （或 x 2py ）的参数方程为
（或 y 2pt 2
）（t 为参数）.
2
2
y 2pt
四、圆锥曲线的统一定义..
4
. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨
迹.
当0 e 1时，轨迹为椭圆；
当e 1时，轨迹为抛物线；
第 61 页 共 247 页
当e 1时，轨迹为双曲线；
c
当e 0时，轨迹为圆（e ，当c 0, a b 时）.
a
5
. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线
的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点 F ,F 1．到两定点 F ,F
1
2
1
2
的距离之和为定
的距离之差的绝
对值为定值
值 2a(2a>|F F |)的
1
2
点的轨迹
2a(0<2a<|F F |)的
1
2
点的轨迹
2．与定点和直线 2．与定点和直线 与定点和直线的距
的距离之比为定
的距离之比为定 离相等的点的轨迹.
值 e 的点的轨迹.
值 e 的点的轨迹.
（0
第 62 页 共 247 页
图形
标
x
2
2
y
2
2
x
2
2
y
2
2
方 准
方
( >0
(a>0,b>
1
a
b
1
a
b
a
b
y2=2px
)
0)
程
x acos
x asec
程 参
数
x
y
2pt2
2pt
y
sin
b
y b tan
(t 为参数)
(参数 为离心角）
(参数 为离心角）
方
程
范围
中心
顶点
─a x a，─b y b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
|x| a，y R
x 0
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0)
(0,0)
x 轴
对称轴
x 轴，y 轴；
x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴
长 2b.
长轴长 2a,短轴长
2
b
p
焦点
焦距
F (c,0), F (─c,0)
F (c,0), F (─c,0)
F( ,0)
1
2
1
2
2
2c （c=
a
2
b
2
） 2c （c=
a
2
b
2
）
c
c
离心率
准线
e
(0 e 1)
e
(e 1)
e=1
a
a
p
x
a
2
a
2
x=
x=
2
c
c
b
渐近线
y=± x
a
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r a ex
p
焦半径
通径
r (ex a)
r x
2
b2
2
2b2
a
a
2
p
焦参数
2
2
a
a
c
c
P
1
2
3
5
6
. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
. 等轴双曲线
. 共轭双曲线
. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.
.共渐近线的双曲线系方程.
高中数学第九章-立体几何
考试内容
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面
直线的距离．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距
离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直
的判定与性质．
第 64 页 共 247 页
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;
能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像
它们的位置关系．
（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角
和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定
定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面
的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．
（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、
两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
（
（
（
（
（
5）会用反证法证明简单的问题．
6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
9（B）．直线、平面、简单几何体
考试内容：
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
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两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的
角．向量在平面内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直
的判定和性质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求：
（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：
能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它
们的位置关系．
（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.
掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标
运算．
（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数
量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
（
6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异
（
面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平
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面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
（
（
（
（
（
8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．
9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．
11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．
考生可在 9（A）和 9（B）中任选其一）
§09. 立体几何 知识要点
一、 平面.
1
. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2
3
. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）
. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面（. ①三条直线在一个平面内平行，
②三条直线不在一个平面内平行）
[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1 个.
4
. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z 三个方向）
二、 空间直线.
1
. 空间
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