2026年广东省深圳市南山外国语集团中考数学一模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年广东省深圳市南山外国语集团中考数学一模试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 621.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-04 00:00:00 | ||
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文档简介
2026年广东省深圳市南山外国语集团中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产.如图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都不相同
2.2026年春节假期九天（2月15日至2月23日），深圳全市共接待游客约1050万人次，较2025年春节假期（八天）增长17.9%.数据1050万用科学记数法表示为（ ）
A. 1.05×108 B. 1.05×107 C. 10.5×108 D. 0.105×107
3.下列运算正确的是（ ）
A. a2 a4=a8 B. （a-b）2=a2-b2 C. a3+a3=2a3 D. a4b2÷ab=a3
4.数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（ ）（精确到0.01）
A. 0.53 B. 0.52 C. 0.51 D. 0.50
5.2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《 年年有熊》.从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
7.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上（即甲是乙的两倍）；乙得甲九只羊，二家之数相当（相等），两人都在暗思对方有多少只羊.设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A. B.
C. D.
8.“湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安区滨海文化公园内，是国内首个全天景回转式轿厢摩天轮，共设有28个进口太空舱，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离约为71.5m,摩天轮匀速旋转一圈用时约27min.某轿厢从点A出发，9min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ）m.（结果保留π）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若x=1是关于x的一元二次方程x2-mx+3=0的一个根，则m的值为 .
10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，AC=2，则菱形ABCD的周长为 .
11.如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB，DC转动到∠BAE=60°，∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=10cm,则AB= cm.
12.如图，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数的图象经过OB的中点D且与边BC交于点E，连接DE、OE，若△ODE的面积为3，则k的值为 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，以CD为直角边向右侧作等腰直角△CDE，∠CDE=90°，CD=DE，CE与AB交于点F，连接BE，若BE=BF，则的值为 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
计算：.
15.(本小题8分)
以下是某同学计算的部分过程：
÷
=第一步
=第二步
=第三步
=…
老师在批改这道题时，发现了其中的错误.
（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
（2）请你给出正确的解答过程并求出当a=-3时分式化简后的值.
16.(本小题8分)
2025年郑州市深入实施学生体质健康、心理健康、美育浸润、劳动习惯养成计划，推进义务教育阶段学校落实课间10分钟变15分钟，确保中小学每天综合活动时间不少于2小时.某中学充分利用综合活动时间举行铅球比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示.
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3.
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数的数据如下.
选手统计量 甲 乙 丙
平均数 8.9 b 9.1
中位数 a 9.2 9.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a= ______，b= ______；
（2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，选手______成绩的稳定性更好（填“甲”或“乙”）；
（3）该校准备推荐一名选手参加市教育局举办的春季运动会，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
17.(本小题9分)
如图，AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边AB于点D，连接DC，已知∠DOC=2∠BCD，AC=6，CB=3.
（1）求证：CB是⊙O的切线.
（2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由.
②在①的条件下，求线段OF的长.
18.(本小题9分)
根据以下素材，完成问题一和问题二.
背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相.寓意喜气洋洋，其乐融融.
图片
素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元.
素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同.
素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完.
问题一 “喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？
问题二 若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.
19.(本小题11分)
综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计
【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1）.喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5米处.喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内.
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）.经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为（2，1.5），之后落回水面上的C点.
【建立模型】
（1）求该抛物线的函数表达式；
【数据计算】
（2）求音乐喷泉水池的半径OC的长；
【优化设计】
（3）公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好.
①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点B'的坐标应该如何改变？设B′（m,n），请求出m和n的函数关系式；
②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比.原方案的最高点高度为1.5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同.请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？
20.(本小题10分)
【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”.
【理解定义】（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD______（填“是”或“不是”）△ABC的“奇妙分割线”.
【运用定义】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，，BC=5，连接AC，若∠BAC=90°，E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F.求证：线段CF是△DCE的“奇妙分割线”.
【拓展提升】
（3）如图3，在△ABC中，AB=5，BC=3，sin∠ABC=，点D是线段BC上的动点（点D不与B、C重合），连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】4
10.【答案】8
11.【答案】
12.【答案】-4
13.【答案】
14.【答案】2．
15.【答案】二 ，
16.【答案】9.1，9.1； 乙； 推荐乙，理由见解答．
17.【答案】证明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
由条件可知∠DOC=∠OAD+∠ADO=2∠OAD，
∵∠DOC=2∠BCD，
∴∠OAD=∠BCD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠OAD+∠DCA=90°，
∴∠BCD+∠DCA=90°，
∴CB⊥AC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线 ①作图如下：
②
18.【答案】每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”玩偶的进价为90元；
w=-5a+3000；2700
19.【答案】y=-0.25x2+x+0.5 m ①；②由题意得m=2，
∴，
∴功率比为，即新方案功率是原方案的0.6倍．
建议：虽然新方案的落点更远（5米＞4.45米），但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用于水平推进）．建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保
20.【答案】是 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=5，，
∴△ADF∽△CEF，∠DCF=∠BAC=90°，
∴，△CDF为直角三角形，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，，
∵∠DCF=90°，
∴，
∴，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF是△DCE的“奇妙分割线” 1或
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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.沙头角鱼灯舞是深圳非物质文化遗产.如图是沙头角鱼灯舞中的某款鱼灯，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都不相同
2.2026年春节假期九天（2月15日至2月23日），深圳全市共接待游客约1050万人次，较2025年春节假期（八天）增长17.9%.数据1050万用科学记数法表示为（ ）
A. 1.05×108 B. 1.05×107 C. 10.5×108 D. 0.105×107
3.下列运算正确的是（ ）
A. a2 a4=a8 B. （a-b）2=a2-b2 C. a3+a3=2a3 D. a4b2÷ab=a3
4.数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为（ ）（精确到0.01）
A. 0.53 B. 0.52 C. 0.51 D. 0.50
5.2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《 年年有熊》.从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
7.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上（即甲是乙的两倍）；乙得甲九只羊，二家之数相当（相等），两人都在暗思对方有多少只羊.设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A. B.
C. D.
8.“湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安区滨海文化公园内，是国内首个全天景回转式轿厢摩天轮，共设有28个进口太空舱，其示意图如图所示.该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离约为71.5m,摩天轮匀速旋转一圈用时约27min.某轿厢从点A出发，9min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ）m.（结果保留π）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若x=1是关于x的一元二次方程x2-mx+3=0的一个根，则m的值为 .
10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，AC=2，则菱形ABCD的周长为 .
11.如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB，DC转动到∠BAE=60°，∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=10cm,则AB= cm.
12.如图，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数的图象经过OB的中点D且与边BC交于点E，连接DE、OE，若△ODE的面积为3，则k的值为 .
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，以CD为直角边向右侧作等腰直角△CDE，∠CDE=90°，CD=DE，CE与AB交于点F，连接BE，若BE=BF，则的值为 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
计算：.
15.(本小题8分)
以下是某同学计算的部分过程：
÷
=第一步
=第二步
=第三步
=…
老师在批改这道题时，发现了其中的错误.
（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误；
（2）请你给出正确的解答过程并求出当a=-3时分式化简后的值.
16.(本小题8分)
2025年郑州市深入实施学生体质健康、心理健康、美育浸润、劳动习惯养成计划，推进义务教育阶段学校落实课间10分钟变15分钟，确保中小学每天综合活动时间不少于2小时.某中学充分利用综合活动时间举行铅球比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示.
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3.
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数的数据如下.
选手统计量 甲 乙 丙
平均数 8.9 b 9.1
中位数 a 9.2 9.0
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a= ______，b= ______；
（2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，选手______成绩的稳定性更好（填“甲”或“乙”）；
（3）该校准备推荐一名选手参加市教育局举办的春季运动会，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由.
17.(本小题9分)
如图，AC是⊙O的直径，⊙O交△ABC的边AB于点D，连接DC，已知∠DOC=2∠BCD，AC=6，CB=3.
（1）求证：CB是⊙O的切线.
（2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出∠DOC的角平分线交DC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由.
②在①的条件下，求线段OF的长.
18.(本小题9分)
根据以下素材，完成问题一和问题二.
背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相.寓意喜气洋洋，其乐融融.
图片
素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元.
素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同.
素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完.
问题一 “喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？
问题二 若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.
19.(本小题11分)
综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计
【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1）.喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5米处.喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内.
【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）.经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为（2，1.5），之后落回水面上的C点.
【建立模型】
（1）求该抛物线的函数表达式；
【数据计算】
（2）求音乐喷泉水池的半径OC的长；
【优化设计】
（3）公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好.
①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点B'的坐标应该如何改变？设B′（m,n），请求出m和n的函数关系式；
②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比.原方案的最高点高度为1.5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同.请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？
20.(本小题10分)
【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”.
【理解定义】（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD______（填“是”或“不是”）△ABC的“奇妙分割线”.
【运用定义】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，，BC=5，连接AC，若∠BAC=90°，E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F.求证：线段CF是△DCE的“奇妙分割线”.
【拓展提升】
（3）如图3，在△ABC中，AB=5，BC=3，sin∠ABC=，点D是线段BC上的动点（点D不与B、C重合），连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】4
10.【答案】8
11.【答案】
12.【答案】-4
13.【答案】
14.【答案】2．
15.【答案】二 ，
16.【答案】9.1，9.1； 乙； 推荐乙，理由见解答．
17.【答案】证明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
由条件可知∠DOC=∠OAD+∠ADO=2∠OAD，
∵∠DOC=2∠BCD，
∴∠OAD=∠BCD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠OAD+∠DCA=90°，
∴∠BCD+∠DCA=90°，
∴CB⊥AC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线 ①作图如下：
②
18.【答案】每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”玩偶的进价为90元；
w=-5a+3000；2700
19.【答案】y=-0.25x2+x+0.5 m ①；②由题意得m=2，
∴，
∴功率比为，即新方案功率是原方案的0.6倍．
建议：虽然新方案的落点更远（5米＞4.45米），但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用于水平推进）．建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保
20.【答案】是 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=5，，
∴△ADF∽△CEF，∠DCF=∠BAC=90°，
∴，△CDF为直角三角形，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴，，
∵∠DCF=90°，
∴，
∴，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF是△DCE的“奇妙分割线” 1或
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